投篮角度问题.docx
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投篮角度问题
投篮角度问题
LT
篮球运动员在中距离投篮训练时被告之，为提高投篮命中率，应以45度投射角投球。
请通过建立数学模型说明其中是否有道理。
理论模型建立：
假设：
对于职业篮球运动员而言，投篮时出手点与篮筐基本持平，且球能精确地落入篮筐。
设：
球出手时的初速率为v（m/s）；
球的出手角度为
（rad）；
球与篮筐的水平距离为d（m）；
球的水平位移为x（m），竖直位移为y（m）；
投篮示意图
由此可知：
水平速率为
；竖直速率为
。
球的运动方程为：
因此，可知：
令y=0（且x>0），可解得:
.
由于要保证球能投入篮筐，因此必须满足：
，即：
由实际经验可知，一个人力气越小，投篮就越费力，球就越难以掌控。
因此，为了提高投篮稳定性，必须使人的用力最小，即：
球的出手速度尽量小。
因此，整个问题就归结为如下优化模型：
因此，原问题就等价于如下优化模型：
容易求得，问题的解为：
。
最优投篮角度（°）
45.18964
45.23666
45.28353
45.33024
高度差h（m）
1.6
1.8
2.0
3
最优投篮角度（°）
45.3768
45.42321
45.46947
45.69851
结论：
从计算结果可以看出，只要高度差小于2米，最优投篮角度都差不多在45°左右。
即使是3米的高度差，最优投篮角度也不会超过46°。
（一般而言，正常人投篮时，球与篮筐之间的高度差大概1米多，因此，不论是谁，均可遵循45°的最优投篮角度这一规则。
）
三、探索性学习：
（1）当出手点比篮筐高度还高时，最优投篮角度如下表：
高度差h（m）
0
-0.2
-0.4
-0.6
最优投篮角度（°）
45
44.95219
44.90423
44.8561
高度差h（m）
-0.8
-1.0
-1.2
-1.4
最优投篮角度（°）
44.80781
44.75936
44.71074
44.66196
高度差h（m）
-1.6
-1.8
-2.0
-2.2
最优投篮角度（°）
44.61302
44.56391
44.51463
44.46518
结论1：
当投篮出手点低于篮筐高度时，最优投篮角度都不小于45°；当投篮出手点高于篮筐高度时，最优投篮角度都不超过45°。
结论2：
运动员越高，最优投篮角度就越小。
（2）高度差与最优投篮角度之间的近似函数关系：
下图反映了不同高度差时，对应的最优投篮角度之间的关系：
上图反映了高度差h在[0,30]之间时，最优投篮角度
与h之间的函数关系图（横坐标为高度差，纵坐标为最优投篮角度）。
事实上，由
可以直接解得：
（h>0时的解析解）。
高度差在[0,300]内的数值解与解析解的比较图如下：
（黑点：
数值计算结果；红线：
解析解）
实际应用中，由于高度差一般不会超过三米，因此只要确定高度差在0~3m范围内的最优投篮角度即可：
函数图象大致如下：
可见，高度差在0~3m范围内时，h与最优投篮角度之间大致是线性关系，由一元线性回归可得到近似函数关系如下：
（注：
这里的角度单位为：
度）
另一方面，如果利用解析解
的泰勒展开，可得到：
，转化为角度制后即为：
。
由此可见，解析解的近似值与数值解之间仅有0.0086h的误差，由于
，故误差值最大仅为0.716°左右（这个误差角度用肉眼都很难分辨出来）。
计算程序如下：
（R软件）
fv=function（t,h）{
d=3.5;g=9.8
v1=2*h*（cos（t））^2+g*d^2
v2=d*sin（2*t）
（v1/v2）^2
}#速度平方函数
h=seq（0,2,0.2）;n=length（h）;th=0
for（iin1:
n）{
ff=function（t）fv（t,h[i]）
opt=optimize（ff,c（0.001,pi/2-0.001）,tol=1e-8）
theta=opt$minimum
th[i]=theta*180/pi
}#计算不同高度差时的最优投篮角度
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