初三数学圆经典例题.docx
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初三数学圆经典例题
•圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1:
圆的对称性：
圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:
确定圆的条件；圆心和半径
1圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
2不在同一条直线上的三点确定一个圆；
考点3:
弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：
圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：
圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）
弓形：
弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：
弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：
考点4:
三角形的外接圆:
锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在
考点5
点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,
则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d>r;②点在圆上d=r;③点在圆内dvr;
【典型例题】
例1在"ABC中，/ACB90°,AC=2,BO4,CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与OC有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2.已知，如图，CD是直径，EOD84,AE交OO于B,且AB=OC求/A的度数。
例3OO平面内一点P和OO上一点的距离最小为3cm,最大为8cm,则这圆的半径是
cm。
例4在半径为5cm的圆中，弦AB//CDAB=6cmCD=8cm则AB和CD的距离是多少?
例5如图，OO的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cmEB=2cm,CEA30,
求CD的长.
D
例6.已知：
OO的半径0A=1,弦ABAC的长分别为2八3,求BAC的度数.
例7.如图，已知在ABC中，A90,AB=3cmAC=4cm以点A为圆心，AC长为半
径画弧交CB的延长线于点D,求CD的长.
例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm那么拱形的半径是.
m
.思考题D
如图所示,已知O0的半径为10cm,P是直径AB上一点，弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.
【考点速览】考点1
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.
推论1:
1平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.
2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.
3平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.
推论2•圆的两条平行弦所夹的孤相等.
垂径定理及推论1中的三条可概括为：
①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）：
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
CNM
例1如图ABCD是OO的弦，MN分别是ABCD的中点，且AMN
求证：
AB=CD
例2已知，不过圆心的直线I交OO于CD两点，AB是OO的直径，AELI于E,BF丄I于
F。
求证：
CE=DF
例3如图所示，OO的直径AB=15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A,点D与B不重合），且CELCD交AB于E,DFLCD交AB于F。
（1）求证：
AE=BF
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？
若是定值，请给出证明,
并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4如图，在OO内，弦CD与直径AB交成45°角，若弦CD交直径AB于点P,且OO
例5.如图所示，在O0中，弦AB丄AC,弦BD丄BAACBD交直径MN于E、F.求证：
ME=NF.
例6.（思考题）如图，与02交于点A,B,过A的直线分别交,02于M,N,
C为MN的中点，P为O1O2的中点，求证：
PA=PC.
三•圆周角与圆心角
【考点速览】
考点1
圆心角：
顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆周角：
顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可.
Eg:
判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
ABCDE
考点2
定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
Eg:
如下三图，请证明。
13.如图，已知A、BCD是OO上的四个点，AB=BC,BD交AC于点E,连接CDAD
（1）求证：
DB平分/ADC
（2）若BE=3,ED=6，求AB的长.
14.如图所示，已知AB为OO的直径，CD是弦，且ABCD于点E.连接ACOCBC
（1）
求证：
ACOBCD
（2）若EB=8cm,CD=24cm，求OO的直径.
15.如图，在Rt△ABC中，/ACB=90°,AC=5,CB=12,人。
是厶ABC的角平分线，过A、
CD三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE=
（1）求证：
AC=AE
（2）
求厶ACD外接圆的半径。
16.已知：
如图等边△ABC内接于O0,点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD•
（1）若AP过圆心0，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？
并说明理由.
（2）
若AP不过圆心0,如图②，△PDC又是什么三角形？
为什么？
四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】
圆心角，弧,弦,弦心距之间的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论：
在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等•
（务必注意前提为：
在同圆或等圆中）
例1•如图所示，点0是/EPF的平分线上一点，以0为圆心的圆和角的两边分别交于A、
B和C、D,求证：
AB=CD
例2、已知：
如图，EF为O0的直径，过EF上一点P作弦ABCD且/APF=ZCPF。
求证：
PA=PC
例3•如图所示，在ABC中，/A=72,OO截ABC的三条边长所得的三条弦等长,
求/BOC.
例4.如图，OO的弦CBED的延长线交于点A,且BC=DE求证：
AC=AE
如图所示，已知在OO中，弦AB=CB/ABC=120,ODLAB于D,OELBC于E.
例6.如图所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的OO分别交ABAC于点DE。
（1）试说明△ODE的形状;
（2）如图2，若/A=60o,AB^AC,则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。
例7弦DF//AC,EF的延长线交BC的延长线于点G.
（1）求证：
△BEF是等边三角形；
例8已知：
如图，/AOB=90,CD是弧AB的三等分点，A盼别交OG0D于点E、F。
求证:
AE=BF=CD
六.会用切线，能证切线
考点速览：
考点1
直线与圆的位置关系
图形
公共点个数
d与r的关系
直线与圆的位置关系
G
I
0
d>r
相离
1
d=r
相切
A
2
d相交
考点2切线：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言
•/0A丄I于A,OA为半径
•••I为O0的切线
考点3判断直线是圆的切线的方法：
1与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
2圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
3经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（请务必记住证明切线方法：
有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法：
见切线就要连圆心和切点得到垂直）
1如图，在矩形ABCD中，点0在对角线AC上，以0A的长为半径的圆0与
ADAC分别交于点E、F,且/ACB=/DCE
（1）判断直线CE与O0的位置关系，并证明你的结论；
⑵若AB=3,BC=4,DE=D，求O0的半径.
2.如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C,使BEDC.
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
3.如图，已知Rt△ABC/ABC=90°,以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,连结BD.
（1）取BC的中点E,连结ED,试证明ED与。
0相切.
（2）在
（1）的条件下，若A吐3,AO5,求DE的长;
4.如图，已知AB是。
0的直径，点C在。
O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC/COB=ZPCB.
（1）求证：
PC是。
O的切线;
（2）求证：
BC=2AB
是AB上一点O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F.
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的。
O经过点D,E是。
O上一点，
（1）若/AED=45o.试判断CD与O0的关系，并说明理由.
（2）
若/AED=J0o,AD=4,求O0半径。
7.在Rt△ACB中,ZC=90°,AC=3cmBC=4cm以BC为直径作O0交AB于点D.
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与。
O相切？
请说明理由.
8.如图，已知△ABC内接于。
O,AC是。
O的直径，D是AB的中点，过点D作
直线BC的垂线，分别交CBCA的延长线E、F
（1）求证：
EF3是O的切线；
（2）若A吐8，E吐2,求OO的半径.
如图，已知。
0是厶ABC的外接圆，AB为直径，若PALAB,P0过AC的中点M求证：
PC是OO的切线。
20,已知；如图，在中，D是曲边上一点，圆O过Zh乩C三点…ZDOC=2^4CD^9QQ.卫
（1）求证：
直线且C是！
9。
的切线；#
（2）如果乙亍，圆0的半径为2,求度）的长。
20EM汕汕在心昶中"4ZGWT是角干分城,E讦7分/AHC交個于点械经注月M两虑的0"交BCT/?
1G交AT于点氏恰为。
住阐貞社.
u>求证：
he40o4in?
ji
20.已知：
AB是OO的弦，ODLAB于M交OO于点D,CBLAB交AD的延长线于C.
（1）求证：
AD=DC
（2）过D作OO的切线交BC于E,若DB2,CE=,
求OO的半径.
m则划.ah为期附a^4.y.i（:
冲（o卜，rr_oc.acr=nr.（门证M防堆①心的切纯；
（2>改理匚与瞬■的星悅舞兗于点Mt若MGr求乙耐CT7的大小*
2L巴却/】閨，也"叩半軽卄点*连接出匚过点止惟注联VPGtt改匕作
祕伽交阳陡K就于点□尼鼠3衽林•尸点肚门）求证皿D为00的切規*
（2）若卫匚琅Offltjfe.
20•在Rt△AFD中，/F=90°点BC分别在ADFD上以A助直径的半圆O过点C,联
结AC将厶AFC沿AC翻折得△aec且点E恰好落在直径A吐.
（1）判断：
直线FC与半圆O的位置关系是;并证明你的结论.
（2）若OB=BD=2,求CE勺长.
20.如图所示，AB是OO的直径，ODL弦BC于点F,且交OO于点E,若/AEC/ODB
（1）判断直线BD和OO的位置关系，并给出证明；
（2）
当AB=10,BC=8时，求BD的长.
20.已知：
如图，在厶ABC中，AB=AC以AB为直径的OO分别交BC
AC于点DE,
联结EB交OD于点F.
（1）求证：
ODLBE;
（2）若DE='、5,AB=5,求AE的长.
20.如图，AB是eO的直径，BAC30,M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于
点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ECF
（1）证明CF是eO的切线
（2）
E.
八•三角形内切圆
考点速览
设OO的半径为1.且AC=CE求MO的长.
考点1
概念：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
概念推广：
和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多
边形•考点2
三角形外接圆与内切圆比较:
名称
确定方法
图形
性质
外心（三角形
外接圆的圆
心）
三角形三边
中垂线的交点
八、、
（1）OA=OB=OC
（2）外心不一定在三角
形的内部.
内心（三角形
内切圆的圆
心）
三角形三条
角平分线的
交占
八、、
A
（1）到三边的距离相等；
（2）OAOBOC分别平
分/BAG/ABC/ACB
（3）内心在三角形内部.
考点3
求三角形的内切圆的半径
1直角三角形△ABC内切圆OO的半径为r
2、一般三角形
①已知三边，求△ABC内切圆OO的半径r.
2S
r
abc
（海伦公式S^=、s（sa）（sb）（sc）,其中s=-—b—）
2
例仁如图，△ABC中，/A=m.
（1）如图
（1），当0是厶ABC的内心时，求/BOC的度数;
（2）如图
（2），当0是厶ABC的外心时，求/BOC的度数;
（3）如图（3）,当0是高线BD与CE的交点时，求/BOC的度数.
（4）
求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离.
考点速练2
1如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，？
然后作这个正方形的内切圆，又在这
3.如图，已知△ABC的内切圆OO分别和边BC,ACAB切于D,E,F,?
如果AF=2,BD=7,
CE=4
（1）求厶ABC的三边长；
（2）如果P为弧DF上一点，过P作O0的切线，交AB于M,交BC于汕求厶BMN勺
周长.
十•圆与圆位置的关系
考点速览：
1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，圆心距为d）
外离
外切
相交
内切
内含
图形
3
公共
占
八、、
0个
1个
2个
1个
0个
d、r、
R的关系
dRr
dRr
RrdRr
dRr|
dRr|
外公
切线
2条
2条
2条
1条
0条
内公切线
2条
1条
0条
0条
0条
2•有关性质：
（1）连心线：
通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：
和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁
3.相交两圆的性质
定理：
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4.相切两圆的性质
定理：
相切两圆的连心线经过切点
经典例题：
例1、如图，已知OQ与O。
2相交于AB两点，P是OO1上一点，PB的延长线交O。
2于点C,PA交O。
2于点D,CD的延长线交OOi于为N.
（1）过点A作AEO1证：
PA=PE.
（2）连接PN若PB=4BC=2求PN的长.
例2如图，在ABC中，BAC90,ABAC22，圆A的半径为1若点O在BC
课堂练习：
1.已知OOi与OO2的半径分别为5cm和3cm,圆心距020=7cm,则两圆的位置关系为
A.外离B.外切C.相交D.内切
2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是
（）
A.0d1B.d5C.0d1或d5D.010,则这两圆的位置关系为（）
.相交D•内含6cm则这两圆的位置关系是（）
D.外离
4,则另一圆的半径是
D.3
卜一.圆的有关计算
考点速览:
【例题经典】
有关弧长公式的应用
有关阴影部分面积的求法
的半圆分别与两腰相切于D、E.求圆中阴影部分的面积.
求曲面上最短距离
例3如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，
一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它
爬行的最短路线长是（）
求圆锥的侧面积
例4如图10,这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，？
它是以圆柱体的上底面为底面，
在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm高
BC=8cm求这个零件的表面积.（结果保留根号）
三、应用与探究:
1.
如图所示，A是半径为1的OO外一点，0A=2AB是OO的切线，B为切点，弦BC//
于点E,交BC的延长线于点F.
求证：
AD是O0的切线；
（2）若AC6，求AD的长.
圆的综合测试
一：
选择题
1.有下列四个命题：
①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧•其中正确的有（）
2.下列判断中正确的是（）
A.平分弦的直线垂直于弦B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
3.
如上图，已知OO的弦ABCD相交于点E,I的度数为60°,/的度数为100°,则/AEC等于（）
4•圆内接四边形ABCD中,ZA/B、/C的度数比是2:
3:
6，则/D
的度数是（）
5.过OO内一点M的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长为（）.
A、.3cmB、,5cmC、2cmD3cm
6.两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和5，如果OP与这两个圆都相切，则OP的半径为（）
或7或
7.AABC的三边长分别为a、b、c,它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（
（a+b+c）r
d的取值范围是（
11
A.（a+b+c）r（a+b+c）C.（a+b+c）rD.
23
&已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距
（）
11.有一张矩形纸片ABCD
其中AD=4cm上面有一个以A
AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC
则圆O的半径为cm.
那么这段弧所对圆心角
15.
（1）已知圆的面积为81cm2，其圆周上一段弧长为3cm，
的度数是
（2）如图13所示，ABCD是OO的直径，OO的半径为R,AB丄CD以B为圆心，以
BC为半径作弧CED则弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积为
（3）如图14,某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m的正六边形，池底是水磨
石地面，现用的磨光机的磨头是半径为A2dm的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部
A
16.如图2,圆锥的底面半径为
6cm,高为8cm,那么这个圆锥的
侧面积是
2
.cm
17.
如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm母线长是8cm,在点A处有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对且离圆锥顶点3.2cm的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是.
18、如图，A、BCD是OO上的四个点，AB=ACAD交BC于E,
AE=2、ED=6贝UAB=.
19.
个和三
已知矩形ABCDAB=8,AD=9工人师傅在铁皮上剪去
边都相切的OP后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的O
OQ的直径是
20.如图所示，AB是OOi的直径，AOi是O。
2的直径，弦MN/
AB,且MN与O。
2相切于点C.若OOi的半径为2,则由QB、
弧BNNG弧COI围成图形的面积等于.
25
21.如图，已知半圆O的直径为AB半径长为，点C在AB上,
4
OC7,CDAB,CD交半圆°于D那么与半圆相切，且与BC,
AOCB
4
CD相切的圆°的半径长是。
三、综合题
22.以Rt△ABC勺直角边AC为直径作OO,交斜边AB于点D,E为BC边的中点，连DE⑴请判断DE是否为OO的切线，并证明你的结论.
⑵当ADDB=9:
16时，DE：
8cm时，求OO的半径R
23.如图，已知AB是OO的直径，点C在O0上，过点C的直线与AB的延长线交于
点P,ACPC,COB2PCB•
（1）求证：
PC是OO的切线;
1
（2）求证：
BCAB；
2
4，求MN*MC勺值.
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB
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