高代题库试题与答案汇编.docx

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高代题库试题与答案汇编

高等代数（下）试题（10）

一填空题（每小题三分共15分）

1A,B为n阶可逆矩阵，C=，则C＝________。

2A为n阶矩阵，=，则=_______

3设f是一个n元负定的二次型，则二次型f的秩等于______________.

4设线性无关，W=L（），则W的维数为______________。

5数量矩阵A=aE的特征根为_______________。

二单项选择题（每小题三分共15分）

1设A是m矩阵,B是nm矩阵,则（）

（A）当m>n时，必有行列式0

（B）当m>n时，必有行列式=0

（C）当n>m时，必有行列式0　

（D）当n>m时，必有行列式=0

2设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，则（）

（A）AB的秩与AC的秩不一定相等。

（B）AB的秩与AC的秩一定相等。

（C）AB的秩与AC的秩一定不相等。

（D）AB的秩一定不超过C的秩。

3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）

　（A）　r=1；　　　　（B）r=2　；

（C）　r=m（有限数）；　　（D）　r=1或

4　数域F上n维向量空间V有（　　）个基

（A）　　１；　　　　（B）　　n；

（C）　　n!

；　　（D）无穷多.　

5设向量空间W={（a,2a,3a）},则W的基为：

　（　　　　）

（A）　（1,2,3,）　　；　（B）　（a,a,a）；

（C）　（a,2a3a）；　　（D）（1,0,0）,（0,2,0）,（0,0,3）

三（15分）

X=求X

四（15分）

把二此型

f（,x,x）=xx+x,x+xx

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）

求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间交的基和维数

1），

2），

六（10分）求矩阵

A=的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1设A为n阶矩阵，A=2E,证明B=A-2A+2E可逆，并求B

2设A，B都是n元正定矩阵，试证：

A+B也是正定矩阵。

3设U是n维向量空间V的非平凡子空间，证明：

存在不止一个V的

高等代数（下）试题（9）

一填空题（每小题三分共15分）

1若=a，则=_____________.

2A=，则秩A=__________。

3t满足________时二次型x+4x+x+2txx+10xx+6xx为

正定二次型。

4形如A=的矩阵（aF）作为M（F）的子空间，

其维数为______________。

5设n阶矩阵A满足A=A，则A的特征根只有___________.

二单项选择题（每小题三分共15分）的

1A,B为n阶矩阵，则下列式子成立的是（）

（A）=+

（B）（A+B）=A+B

（C）AB=BA

（D）若AB=B+E，则有BA=B+E

2A,B，C为n阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A+B+C=（）

（A）3E（B）2E（C）E　（D）O矩阵

3设与均为向量空间V中向量，L（）

=L（），则下列结论成立的是（）

（A）S=m;（B）可由线性表出；

（C）是L（）的一个基

（D）线性相关时，必有也相关+

4设W，W都是V的子空间，则下列结论成立的是（）

（A）W+（WW）=WW

（B）W+（WW）=W+W

（C）W+（WW）=W

（D）W+（WW）=W

5设A=，则A的特征根为（）

（A）1（二重）　；　　　　（B）5（二重）　；

（C）-4，6　；　　（D）1，5

三（15分）

已知A=,求A及（A）

四（15分）

把二此型

f（x,x,x）=x+2x+4x+2xx+4xx

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）

在P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

=（2，0，1，2）=（-1，1，0，3）

=（0，2，1，8）=（5，-1，2，1）

六（10分）

求矩阵

A=的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1A,B为n阶方阵，ABA=B,证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.

2证明：

若A为正定阶矩阵，则A也为正定阶矩阵。

3设V与V是V的互不相同的非平凡子空间，且V=V+V，证明：

存在

V的非平凡子空间WV，I=1,2,使得V=WW。

高等代数（下）试题（8）

一填空题（每小题三分共15分）

1A=,B为秩等于2三阶矩阵，则秩AB=________。

2A=,B=,=2,则=__________　。

3实二次型f（x,x,x）=x+2xx-2x-x的秩为______；符号差为______。

4是向量空设间V中的一个向量，则的负向量由__________唯一确定。

5齐次线性方程组（X=0的__________都是A的________特征向量。

二单项选择题（每小题三分共15分）

1A,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则（）成立

（A）CBA=I（B）BAC=I（C）ACB=I（D）BCA=I

2A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为（）

（A）A+B对称;（B）AB对称;

（C）A+B对称;　（D）AB+BA对称。

3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）

　（A）　r=1；　　　　（B）r=2　；

（C）　r=m（有限数）；　　（D）　r=1或

4　数域F上n维向量空间V有（　　）个基

（A）　　１；　　　　（B）　　n；

（C）　　n!

；　　（D）无穷多

5设A=，则A的特征根为（）

（A）1（二重）　；　　　　（B）5（二重）　；

（C）-4，6　；　　（D）1，5

三（15分）解矩阵方程

XA=B+2X，其中

A=B=

四（15分）

把二此型

f（x,x,x）=xx+4xx-6x

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）

求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间交的基和维数

，

，

六（10分）求矩阵

A=的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1设A为n阶矩阵，A0，且A=0，B为n阶可逆矩阵，

证明当AX=XB时，必有B=0

2设A实对称矩阵，证明：

当t充分大后，tE+A是正定矩阵。

3证明：

如果V=VV，V=VV，则V=VVV.

高等代数（下）试题（7）

1A=,B=,=2,则=__________　。

2A=,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=_____________。

3二次型f（x,x,x）=x+2xx+2xx则f的秩为_______。

正惯性指标为_______。

4t满足________时二次型2x+x+5x+2txx-2xx+4xx为正定二次型。

5A=特征值为____________。

二单项选择题（每小题三分共15分）的

1A,B，C为n阶矩阵，AB=BC=CA=E，则A+B+C=（）

（A）3E（B）2E（C）E　（D）O矩阵

2设A为n阶矩阵，A是A的伴随矩阵，则一定有（）

（A）（A）=A（B）A=A

（C）AA=AA=I（D）（A）=

3设W，W都是V的子空间，则不一定V的子空间的是（）

（A）WW（B）WW（C）W+W（D）W+V

4设是矩阵A的特征根，并且有，则是的___________

特征根（）

（A）-A（B）A（C）A（D）A

5设向量空间W={（a,2a,3a）},则W的基为：

　（　　　　）

（A）　（1,2,3,）　　；　（B）　（a,a,a）；

（C）　（a,2a3a）；　　（D）（1,0,0）,（0,2,0）,（0,0,3）

三（15分）

A=求A

四（15分）

把二此型

f（x,x,x）=x-3x-2xx+2xx-6xx

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）

求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间交的基和维数

，

，,

六（10分）求矩阵

A=的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1设A,B为n阶矩阵，A=B=1且+=0，证明（A+B）不可逆。

2为mn阶实矩阵，B=E+AA,证明：

当0时，B为正定阶矩阵。

3A为n阶实反对称矩阵，即A=-A，证明：

若是矩阵A的特征根，

则-也是矩阵A的特征根

高等代数（下）试题（6）

一填空题（每小题三分共15分）

1A为n阶矩阵，A是A的伴随矩阵，则AA=______________。

2A=，则秩A=__________。

3实二次型f（x,x,x）=x+2xx-2x-x的秩为_____；符号差为____。

4数域F上任意n维向量空间V都可表为___________个一维子空间的直和

5设n阶矩阵A满足A=A，则A的特征根只有____________________。

二单项选择题（每小题三分共15分）

1设A是3矩阵,则等于（）

（A）-2（B）2（C）-8（D）8

2A,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则（）成立

（A）CBA=I（B）BAC=I（C）ACB=I（D）BCA=I

3设与均为向量空间V中向量，L（）

=L（），则下列结论成立的是（）

（A）S=m;（B）可由线性表出；

（C）是L（）的一个基

（D）线性相关时，必有也相关

4设向量空间W={（a,2a,3a）},则W的基为：

　（　　）

（A）　（1,2,3,）　　；　（B）　（a,a,a）；

（C）　（a,2a3a）；　　（D）（1,0,0）,（0,2,0）,（0,0,3）

5设A=　则A的特征根是（）

（A）1（四重）　；　　　　（B）1（二重），2（二重）　；

（C）2（二重），3（二重）　；　（D）1（二重），2，3　

三（15分）

设A是A的伴随矩阵，X满足AX=A+2X，求矩阵X，其中

A=

四（15分）

把二此型

f（,x,x）=2xx+2x,x-6xx

通过非退化线性替换化成平方和。

五（10分）

在P中，求由向量（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。

，

，

六（15分）求矩阵

A=的特征值与特征向量

七证明题（15分）

1设A为n阶反对称矩阵，（即A=-A），E-A，E+A皆可逆，

2如果A…A是n阶正定矩阵，k…k是正数，

证明：

kA+…+kA也是正定矩阵。

3证明：

每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和

高等代数（下）试题（5）

一填空题（每小题三分共15分）

1A=，为n阶单位矩阵，则A＝________。

2A为n阶矩阵，=，则=________