必修一2集合的基本运算培优知识点+典型例题教师版.docx

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必修一2集合的基本运算培优知识点+典型例题教师版

集合的基本运算

知识讲解

一、交集、并集、补集概念

1.交集

定义：

由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．

记作（读作“交”），即且

①数学符号表示：

且

②Venn图反映：

2.并集

定义：

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．

并集．（读作“并”）

①数学符号表示：

或

②Venn图反映：

3.补集

全集：

一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作

补集：

对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作，即且

①数学符号表示：

且

②Venn图反映：

二、集合的运算性质

（1）

（2）

（3）

（4）；

（5）

三、容斥原理

．

典型例题

1．（2017秋•西宁期末）已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；

（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．

【解答】解：

（Ⅰ）因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

所以B={x|2≤x≤4}，

根据题意，由图可得：

C=A∩（CUB），

因为B={x|2≤x≤4}，则CUB={x|x＞4或x＜2}，

而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（CUB）={x|1≤x＜2}；

（Ⅱ）因为集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤4}，

所以A∪B={x|1≤x≤4}，．

若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），

则有，

解得2＜a≤3，

即实数a的取值范围为（2，3]．

2．（2017秋•林芝县校级期末）设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=∅，求m的范围．

【解答】解：

集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，

若A∩B=∅，

当B=∅，可得m+1＞2m﹣1，解得m＜2；

当B≠∅，可得或，

得或，

即为m∈∅或m＞4，

综上可得m的范围是m＞4或m＜2．

3．（2016秋•安庆期末）已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，

（1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）；

（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

【解答】解：

（1）当a=0时，A={x|0≤x≤8}，

∵B={x|x＜﹣1或x＞5}，全集为R，

∴A∩B={x|5＜x≤8}，∁RB={x|﹣1≤x≤5}，

则A∪∁RB={x|﹣1≤x≤8}；

（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，

∴a+8＜﹣1或a＞5，

解得：

a＜﹣9或a＞5．

4．（2017秋•天山区校级期中）已知全集U=R，集合A={x|﹣3≤x≤4}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．

（1）若m=3时，求A∪（∁UB）；

（2）若A∪B=A，试求实数m的取值范围．

【解答】解：

（1）m=3时，B={x|2≤x≤7}，∁UB={x|x＞7或x＜2}，

A={x|﹣3≤x≤4}，

则A∪（∁UB）={x|x≤4或x＞7}；

（2）若A∪B=A，则B⊆A，

①B=∅时，可得m﹣1＞3m﹣2解得m＜；

②B≠∅时，可得，解得．

综上所述，m≤2．

5．（2016秋•抚顺期末）已知集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），B={x|x2﹣4x+a=0，a∈R}．

（Ⅰ）若A∩B≠∅，求a的取值范围；

（Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范围．

【解答】解：

令f（x）=x2﹣4x+a=（x﹣2）2+a﹣4，则对称轴为x=2，

（Ⅰ）由题意得B≠∅，∴△=16﹣4a≥0，解得a≤4…①

∵A∩B≠∅，又∵A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），

∴f（3）＜0，解得a＜3…②，

由①②得，实数a的取值范围为（﹣∞，3）．

（Ⅱ）∵A∩B=B，

∴B⊆A，当△=16﹣4a＜0，即a＞4时，B=∅，这时满足A∩B=B，

当△=16﹣4a≥0时，B≠∅，此时a≤4…③，

∵B⊆A，

∴f（﹣1）＜0，解得a＜﹣5…④，

由③④，得a＜﹣5．

综上所述，得实数a的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪[4，+∞）．

6．（2017秋•天津期中）已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．

（1）m=3时，求A∪（∁UB）；

（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．

【解答】解：

（1）把m=3代入得：

B={x|2≤x≤7}，

∴∁UB={x|x＜2或x＞7}，

∵A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}={x|﹣3≤x≤4}，

∴A∪（∁UB）={x|x≤4或＞7}；

（2）∵A∩B=B，

∴B⊆A，

∴当B=∅，即m﹣1＞3m﹣2，此时m＜；

当B≠∅，即m﹣1≤3m﹣2，此时m≥，则有，

解得：

﹣2≤m≤2，此时≤m≤2，

综上，m的范围是{m|m≤2}．

7．（2017秋•运城期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求实数m的值；

（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．

【解答】解：

（1）集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}

∵A∩B={2}，∴2∈B．

即4+4（m+1）+（m2﹣5）=0，解得m=﹣1或m=﹣3

若m=﹣1，x2﹣4=0，x=±2符合题意；

若m=﹣3，x2﹣4x+4=0，x=2符合题意；

综上：

m=﹣1或m=﹣3；

（2）∵A∪B=A，∴B⊆A

①B=∅，△=4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，即m＜﹣3

②B为单元集，△=0得m=﹣3，若m=﹣3时，B={2}符合

③B为双元集，则B={1，2}．由无解

综上：

m取值范围是{m|m≤﹣3}．

8．（2017秋•涪城区校级期中）设全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，若A∩∁UB={2}，求a、b的值．

【解答】解：

全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，

若A∩∁UB={2}，则2∈A，

可得4+2a﹣12=0，解得a=4，

即有A={x|x2+4x﹣12=0}={2，﹣6}，

则﹣6∈B，

可得36﹣6b+b2﹣28=0，

解得b=2或b=4，

则B={﹣6，4}或B={﹣6，2}．

显然b=4舍去．

故a=4，b=2．

9．（2018春•启东市校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．

（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；

（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．

【解答】解：

（1）集合A={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}，

∵集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，

∴t≤2，

（2）∵集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，

令x2﹣ax+b=0，

∵A∩B={x|2≤x≤3}，

∴3是方程x2﹣ax+b=0的一个根，且△=a2﹣4b＞0

∴9﹣3a+b=0，

∴b=3a﹣9，

∴a2﹣4（3a﹣9）=a2﹣12a+36=（a﹣6）2＞0，

解得a≠6

∵方程的另一个根为x+3=a，

即x=a﹣3，∵A∩B={x|2≤x≤3}，

∴1＜a﹣3≤2，

解得4＜a≤5

故a的取值范围为（4，5]

10．（2016秋•青浦区期末）已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．

【解答】解：

集合A={x|x2+x＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}

∵A∪B=R

∴B中的元素至少有{x|﹣1≤x≤0}

∵A∩B={x|0＜x≤2}，

∴B={x|﹣1≤x≤2}

∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两个根，

∴a=﹣1，b=﹣2

即a，b的值分别是﹣1，﹣2．

11．（2017秋•沈阳期末）已知集合，关于x的不等式|x|＜2的解集为B

（1）求A∩∁RB；

（2）设P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．

【解答】解：

集合={x|﹣3＜x＜4}，

关于x的不等式|x|＜2的解集为B={x|﹣2＜x＜2}；

（1）∁RB={x|x≤﹣2或x≥2}，

∴集合A∩∁RB={x|﹣3＜x≤﹣2或2≤x＜4}；

（2）P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}={﹣2，2，3}，

Q={x|m﹣1≤x≤m+1}，

若P中只有两个元素属于Q，

则，或，

解得m∈∅，或2≤m≤3，

∴m的取值范围是2≤m≤3．

12．（2018•上海模拟）已知集合，集合B={x||x﹣a|≤1，x∈R}．

（1）求集合A；

（2）若B∩∁RA=B，求实数a的取值范围．

【解答】解：

（1）由，得⇒﹣1＜x≤2，

∴A=（﹣1，2]．

（2）CRA=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B=[a﹣1，a+1]，

由B∩CRA=B，得B⊆CRA，

所以a+1≤﹣1或a﹣1＞2

所以a的范围为（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）．

13．（2017秋•上城区校级期中）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．

（1）若a=2，求A∩B，A∩（∁RB）；

（2）若A∪B=R，求a的取值范围．

【解答】解：

（1）a=2时，集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），

B={x|x≥2﹣1}={x|x≥1}=[1，+∞）；

A∩B={1}∪[2，+∞）；

∁RB=（﹣∞，1），

∴A∩（∁RB）=（﹣∞，1）；

（2）当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣2，+∞）；

若A∪B=R，则a﹣2≤1，∴1＜a≤3；

当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；

当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣2，+∞），

若A∪B=R，则a﹣2≤a，显然成立，∴a＜1；

综上，a的取值范围是（﹣∞，3]．