（4）利用墓本积分公式J=F（“）+C求出原函数：
Jg（x）〃x=f/（0（X））0'（X）〃X=J傾＞）=Jf（ii）du=F（“）+C
⑸将u=（p{x）代入上面的结果，回到原来的积分变星X得:
Jg（x）dx=Jf（（p{xy）（p\x）dx=J/（如））〃0（x）=J=F（tt）+C=F（（p（x））+C
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变長"=卩（对，省略⑶（4）步骤，这与复合函数的求导法则类似。
二.典型例题
（心0）;
①j*f（ax+b）dx=—Jf（ax+b）d（ax+b）
1.解：
令u=2x-\，du=2dx,
2.解：
令f=x2,
『_1『皿_1f（f+1-1）山
J1+JV‘2Jl+/2y/\+t
—J\/t+\d（t+1）—㊁J—；d（/+1）
=丄・-（r+1）1--・2皿7+0=丄（宀1£-Jl+F+C2323
3.解：
7一-：
JJW2）,
Jl+F+Jd+b&1+小+（1+，）亍
令l+十=t
2jrj2山.耐J耐
\t+t^
=2Jl+、/7+C=2、/1+Jl++C
一打〃（1-小+打上二4J肛72」
=--x2x\/l-x4+—arcsinx2+C
42
=—（arcsinx2_）+C
2
（2）j/（siiiA）cosAzZr=j/（sinx）6/sinx,j/（cosx）sinxdx=-j/（cosx）Jcosx,
仝—=-ff（cotx\lcotx;sirrx」
f/（tanx）d\=f/（tanx）6/tanx,[/（cotx）-
Jcos^xJJ0
例1.Jtanxclx[2]
”r1+sinx+cosx,rn
例3J一———11
J1+sinr
例⑴
Jsinxcos^x
例2.口
Jsirrx
dx
⑴
sinxcos4x
”.rsinxcosxtfn
例钉卅
Jsinx+cosx
tanx
例4.
例7•设为常数，且心0,计算/彳一卢千一/"】Jcrsin*x+Zrcos*x
1•解：
设”=cos兀,du=—sinxdx,-du=sinAzZr
ftanxclx=fS'nX-dx=-f—=-ln（w）+C=-ln（cosx）+C」」cosxJu
2.解：
j*——dx=Jxj（cotx）=—ACOtX4-JCOtXtZv
=—xcotx+lnsinx+C
3解：
r+siz+cos%=「.卫_+厂/（cw）+
J1+sin~x」2-cosrJ2-cos"x
rcl（sinx）
Jl+2sin‘x
dx
dx
V2+COSX
=f聖r_—\=hi「二’八宀、+arctan（sinx）
」cos'x（2sec~x-l）2（2J2-cosx
In
+cosx,・、rdtanx
—=+arctan（suu）+
a/2—cosxj1+2tan~x
2?
2ln
、伍+COSXa/2-cosx
+arctan（siiu）+
arctan（V2tanx）+C
4•解：
J—訂
JSU1XCOSXJ
sin2x+cos2x
sinxcos4x
dx
sinx
cos4x
dx+
sin2x+cos2x
sinxcos2x
dx
=-f
dcosx
cos4x
cdeosx
」cos2x
dx
sinx
++Incscx-cotx+C
3cosxcosx
5•解：
fdxrdxrsin-x+cos'xr
=：
—=；——dtanx
Jsinxcos"xJtanxcosxJtanxcos"x
1+tan"x.1-||小
dtanx=—tan*x+ni|tan.xj+C
tanx
6•解：
令u=2x,再令"=cos”，
rsinxcosx,1r
4\~^x=_
Jsinx+cosx2J
sin2x,1「
；dx=-
〉1。
4J
cos~2x+—sin。
2x
2
1f（ICOSH_1r
__束—2丄1—1厂_"2J1+v2
22
=-—arctanv+C=-—arctan（cos2x）+C
22
sinu,
1•,〃"COS"U+—Sill"u2
dv
tanx
tanxdtanx
上rianxruinxuuinx
7,解：
訂cosU/tan?
"戸）0taMx+F
=—ln（^tan^+/r）+C
\f（ex）exdx=\f（ex）dex
例町册才
例2.Je5Wr[2]
dx
例打上一厶⑴
（1+丹
例l.\~C=dxw
JJk-2
例6.J
2”・3"
9V-4r
曲】
例8.
rIntanx,
dxJcosxsinx
1•解:
rdx
」x（l+21nx）
pd\nx
J1+2Inx
罟弓心叶c
3•解：
令“=3+4eA,chi=4exdx,
]]i
Je"曰汕蔦咖+c
=」ln（3+4k）+C
4
4•解:
令u=Inx,du=-dxx
=arcsin（lnx）+C
^^十丄+C
X
\+e2
6•解:
Jy_4V
=jJl
（宀
]
2（ln3-ln2）
In
In—
2
（2）v一i
2
3
（尹+1
2（ln3-ln2）ln|3x+2v
曲"：
7=2j\d（J宀2）
yjCx—2
=2xjex-2-2j>lex-2dx
令丁-2=r2,ex=2+f\x=ln（2+r2）,dx=——-dt
2+r
原式=2x^ex-2-f=2xylex-2-4f匚2二〃
J2+广J2+r
=2x^—2-4f（l-—^）dt
J2+r
（Intanx）2
2_
=2x\lex-2-4/+8・-^=arctan-L-+C
V2V2
8•解：
］
\111tanAdx=flntanAcltanx=fhitanxJ（lntanx）cosxsinx」tanxJ
=2xJ
x-2_4Je"-2+4、於arctuny—1-C
+C
4丄”X）必"（心0）,f/（-）^=-f/（-W（-）
/IAA
jf（yfx）—^==2Jf（yfx）d（-Jx）
rarcsinvxfrn例一dxt，]
1•解：
d長
2Jx
j丘_
—^dx=2J严'dy[x
\lxv
对于右端第一个积分，凑微分得
[-rX--dx=-[（l-x2pJ（l-x2）=_71-X2+C
JVI-X2J
第二个积分中，用代换x=sin/
i^=d.x=『山cosM=fisj
J71-x2cost2
=--—sin2/+C=—arcsinx-—xVl-x2+C
2422
原式=larcsinx-丄（x+2）Jl-/+C
22
—!
—fJinx+a〃（lnx+a）+—!
—fy/\nx+bd（\nx+b）a—b）a-bJ
7•解：
］
=-2jl-xarcsin4x+2>fx+C
5打（arcsinx）<、=f/（arcsina）Jarcsinx
Vl-x2
ch
J/（arctanx）-_=|/（arctanx）r/arctanx;
arcco&t
例订孚h
例打竺竺.芝s
JQVl-x2
2•解:
3•解:
rarctanVxfr2arctanx，厂j/—fz厂、
—=dx=dy/x=2arctan-7xt/（arctanvx）
Jy[x（\+X）J1+XJ
=（arctanVx）2+C
fvl+arctanVx,rvl+^rctanVxf
=dx===——ax
JVx（l+x）JVx[l+（Vx）2]
=2J71+arctand（arctan\[x+1）
=—（1+arctan+C
3
4.解：
］
「xdx1「dx1pf/arcsinx2
Vl-x4（arcsinx2）32（arcsinA-2）371-x42J（arcsinx2）5
=-^-（arcsinx2）'2+C
5.解：
faics*nxJx=farcsinxJ（arcsinx）=—（arcsinx）2+C）yj\-X232
令x=sin/,
=5+C=-+C
..arcsinxJy=卜吓讼〃（"「"）=-arcsinx（S
JX1y/\-X2Jv%
—_—arcsinx+lnkvl+C
X
6复杂因式
1
1
=-^=arctan
72
A"7「1x2-l
—■=—fC=—arctan——fC
J2J2Q2x
1
arctan-〔〔〔〔
3•解:
\j^lx=_J（arctan—）J（arctan—）=-—（arctan—）2+C
1+x2
ln（x+\+.x）〃兀=J\能（尤+yl\+x2）〃（ln（x+y/x2+1））
=-[ln（x+Vl+x2）]2+C
3
=-excotx+fC
sinx
1.在下列各式等号右端的空白处埴入适当的系数，使等式成立:
（1）drdk%HO）;
⑶・vdxd（5X2）;
（2）d.vd（7r3）；
（4）xdxd（lA2）;
（5）
d（3疋2）;
⑹e2vd.v
d（e2v）；
dx
（8）—
x
（9）
dr
7T7
d（larcsinx）;
xdx
（1（，）7T7
dVl-X2；
dx
（11）耐
d（arct;in3.v）;
（13）（3A-2）d.v
d（2xX3）；
dv
（12）市•
2x
（14）cos（—1）d.v
3
d（arctaily/2a）；
dsin（—1）.
3
求j*2cos2.vd.v.
4求卜Jl-Fd.v.
6求f/J.dx«>0）.
Jy/a2-x2
8求Jsinlvdx.
例9求f—1-dA<；2为常教，：
C0）・
Ja-x
例11求Jcos3xc（>s2.vd.v.
例13求J
tan5xsec?
xdx
2•求下列不定积分:
l-2x
⑵J（3-2x）3dA;
b
dx
fdv
」xlnxlnlnx"
（8）jxe-1dv;
（9）
dx
sinxcosx
（10）JtanVl+x2
xdx
Jl+F
（14）
rsinx
Jcos3X
1、解被积函数中，cos2x是cosu与"2*的篦台函数，常数因于2恰好是中间变長
U2x的导数，因此作变長代换u2卫便有
J2cos2xdxjcos2x・2dx
cos2x・（2x）'dx=Jcosudu=sinu+C.
再以u2x代入，即得J2c（）s2.vd.vsin2.v+-C
2、解
磊可看成士与“2+的复台函数，被积函教中虽没有2这个因于，但
我们可以凑出这个因于:
]£]
2x+522x+5
7^•（2.V+-5）*,
2x+5
从而令u
2卄5,便有
rl衣J厂
7lnI
般地，对于积分］7（如总可以作变星代换”卅b,把它化为
J/（«A+^）d¥=J—
3、解ftan.vd.vfdx=-
JJcosx
j
11
-―-（2卄5）氐=-2x+52J2x+5
\u\+C=-ln|2x+5|+C
2
COSX
d（2x+5）=丄[-du
2Ju
寸6）=f[j/.
（cosx）'dx=一f—!
—d（cos劝令“=COSXJcos牙■=
ln|z/|+Cln|cosx|+C.
类似地可得Jcot
•vdxInsinx
+C
4>解\x
—Jy/\—X2（1—X"）'d.v=
IJ（1-x2）2d（lx2）
]313
"-3/?
+C3
在对变呈代换比较熟练以后，就不一圭写出中间变長
5、解
-[—1一d（-）"+（.2G
a
只需做到“心中有er即可.
Xx1X
）—arctail—+C・
aaa
6、解
xarcsin—+C.
7、解
Jsin3.vdx=J（1-cos2x）sinEx
J（1—cos"a）d（cosx）
Jd（COSA）+JCOS~xd（CQSA）
13
cos.r*-—cosx+C.
3
gr・*>rl-cos2x1ff1e1
8解Jsin"e*jdy—jdx—Jcos2xd（2©—x
222
sin2x+Q・
类似地可得
r211.j
COS.vd.v=—yH—sin2y+C・
J24
ln|secx+kmx|+C
类似地可得
jescxd.vIn|cscx-cotx|+C.
11、解利用三角函数的积化和差公式有
—sin.\H-—sin5x+Q・
210
13、解Jtan、xse
xd*jtan4xsec2xscca^uiaxI.vj（sec2x-1）2sec2xd（secx）
|（sec6x-2sec4x+sec2x）dsecx
172513
—secx——secx+-secx+C・753
4-解：
J斜訂存叮右旅
（5）j/（liix）—dx=J/（Inx}dInx,
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