精品导学案 平面向量的概念及其线性运算.docx

精品导学案 平面向量的概念及其线性运算.docx

《精品导学案 平面向量的概念及其线性运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精品导学案 平面向量的概念及其线性运算.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

精品导学案平面向量的概念及其线性运算

第1讲　平面向量的概念及其线性运算

[最新考纲]

1．了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．

3．理解向量的几何表示．

4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识梳理

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量

运算

定　义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量

和的运算

三角形法则

平行四边形法则

（1）交换律：

a＋b＝b＋a.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝

a＋（b＋c）

续表

减法

求a与b的

相反向量

－b的和的

运算叫做

a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与

向量a的积

的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝λμa；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

辨析感悟

1．对共线向量的理解

（1）若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．（×）

（2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（×）

（3）（2013·郑州调研改编）设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－.（√）

（4）（2013·陕西卷改编）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要条件．（√）

2．对向量线性运算的应用

（5）＋＋＝.（√）

（6）（教材习题改编）在△ABC中，D是BC的中点，则＝（＋）．（√）

学生用书第69页

[感悟·提升]

1．一个区别　两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向

量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．

2．两个防范　一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如

（1）；二是注重零向量的特殊性，如

（2）.

考点一　平面向量的有关概念

【例1】给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中真命题的序号是________．

解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确．∵＝，

∴||＝||且∥，

又∵A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.

答案　②③

规律方法对于向量的概念应注意以下几条：

（1）向量的两个特征：

有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；

（2）相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；

（3）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．

【训练1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）．

A．0B．1C．2D．3

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

答案　D

考点二　平面向量的线性运算

例2】如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，B＝，＝.试用a，b表示，及.

解　由题意知，在平行四边形OADB中，＝B

＝＝（－）＝（a－b）＝a－b，

则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.

＝＝（＋）＝（a＋b）＝a＋b，

＝－＝（a＋b）－a－b＝a－b.

规律方法

（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

【训练2】

（1）（2013·四川卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.

（2）（2013·泉州模拟）已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有（　　）．

A.＝2B.＝2

C.＝2D.＝2

解析　

（1）∵＋＝＝2，∴λ＝2.

（2）∵＋＋＝＝－，

∴＝－2＝2.

答案　

（1）2　

（2）D

考点三　向量共线定理及其应用

【例3】（2013·郑州一中月考）设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

审题路线　

（1）由向量的加法，得＝＋⇒用a，b表示⇒得到与的关系式⇒由向量共线定理，得与共线⇒再看是否有公共点⇒得到证明的结论．

（2）假设存在实数k⇒利用向量共线定理⇒列出方程⇒根据a，b是两个不共线的向量⇒得出方程组⇒解得k值．

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝5（a＋b）＝5.

∴，共线，又它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

（2）解　假设ka＋b与a＋kb共线，

则存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即（k－λ）a＝（λk－1）b.

又a，b是两不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.

规律方法

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.

学生用书第70页

【训练3】（2014·西安模拟）已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d同向，则实数λ的值为_____．

解析　由于c与d同向，所以c＝kd（k＞0），

于是λa＋b＝k[a＋（2λ－1）b]，

整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b.

由于a，b不共线，所以有

整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.

又因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.

答案　1

1．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．

2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置（共线或不共线）与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算

【典例】（2012·浙江卷）设a，b是两个非零向量．（　　）．

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

[一般解法]（排除法）选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然a⊥b不成立；

选项B，若a⊥b且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；

选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

综上，A，B，D都不正确，故选C.

[优美解法]（数量积法）把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得（a＋b）2＝（|a|－|b|）2，

即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos，

所以cos＝－1.又因为∈[0，π]，

所以＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．

[反思感悟]部分学生做错的主要原因是：

题中的条件“|a＋b|＝|a|－|b|”在处理过程中误认为“|a＋b|＝|a－b|”，从而得到“a⊥b”这个错误的结论．

【自主体验】

在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B.

C.D.

解析　由＝λ，∴||＝λ||.

又∵||＝|a|cosA＝|a|·＝，

||＝|b－a|，∴λ＝＝.故选C.

答案　C

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（　　）．

A.＝＋B.＝－

C.＝－＋D.＝－－

解析　由图可知＝－.

答案　B

2.

（2014·汕头二模）如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于（　　）．

A．0B.

C.D.

解析　因为ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.

答案　D

3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

答案　A

4．（2014·开封模拟）下列命题中，正确的是（　　）．

A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b

B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

C．若ka＝0，则k＝0或a＝0

D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b|

解析　对于A，显然不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到（a＋b）2－（a－b）2＝4a·b，显然a·b与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C.

答案　C

5．（2014·兰州质检）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为（　　）．

A.B.C.D.

解析　

设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝

，也就是△A