均值不等式教案Word格式.docx
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提出问题
&
#61480;
1&
#61481;
均值定理的内容是什么？
怎样进行证明？
&
2&
你能证明a2＋b2≥2ab吗？
3&
你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？
4&
均值不等式有哪些变形式？
活动：
教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a、b的a＋b2叫做数a、b的算术平均值，数ab叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：
两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．
利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab也可让学生重新证明这个结论：
∵a2＋b2－2ab＝2，
当a≠b时，有2＞0.
当a＝b时，有2＝0，所以2≥0，即a2＋b2≥2ab.
这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．
如图1，AB是圆的直径，点c是AB上一点，Ac＝a，Bc＝b.过点c作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？
图1
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△AcD∽△DcB.所以可得cD＝ab.或由射影定理也可得到cD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即cD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：
a＋b2≥ab.
显然，上述不等式当且仅当点c与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．
还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：
a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．
讨论结果：
略．
均值不等式的几何解释是：
半径不小于半弦长．
若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；
若a、b∈R＋，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立；
若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立．
应用示例
例1
本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的ba和ab相当于均值不等式中的a、b.因此必须有ba，ab∈R＋
点评：
初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.
变式训练
已知a、b、c都是正实数，求证：
≥8abc.
证明：
∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0.
∴≥2ab&
#8226;
2bc&
2ac＝8abc，
即≥8abc.
例2已知＞2，求证：
x－ya－b＋a－bx－y≥2.
教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x－ya－b与a－bx－y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x－ya－b与a－bx－y为正数开始证题．
∵＞2，
∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.
∴ax－ay＋by－bx＞0.
∴－＞0.
∴＞0，
即a－b与x－y同号．
∴x－ya－b与a－bx－y均为正数．
∴x－ya－b＋a－bx－y≥2x－ya－b&
a－bx－y＝2．
∴x－ya－b＋a－bx－y≥2.
本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x－ya－b与a－bx－y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．
例3若a＞b＞1，P＝lga&
lgb，Q＝12，R＝lga＋b2，则
A．R＜P＜Q
B．P＜Q＜R
c．Q＜P＜R
D．P＜R＜Q
这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．
答案：
B
解析：
∵a＞b＞1，
∴lga＞lgb＞0.
∴12＞12&
2lga&
lgb，即Q＞P.
又∵a＋b2＞ab，
∴lga＋b2＞lgab＝12．
∴R＞Q.故P＜Q＜R.
应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．
例4
这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；
在中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．
本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：
在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．
知能训练
．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
c．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
．A 解析：
一方面，当a＝18时，对任意的正数x，有2x＋ax＝2x＋18x≥1；
另一方面，对任意正数x，都有2x＋ax≥1，只要2x＋ax≥22a≥1，即得a≥18.
2．[9，＋∞） 解法一：
令ab＝t，
由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，得t2≥2t＋3，
解得t≥3，即ab≥3，故ab≥9.
解法二：
由已知得ab－b＝a＋3，b＝a＋3，
∴b＝a＋3a－1．
∴ab＝a&
a＋3a－1＝[＋1]a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4＋a－1＋4a－1
＝a－1＋4a－1＋5≥2&
a－1&
4a－1＋5＝9.
当且仅当a－1＝4a－1时取等号，即a＝b＝3时，ab的最小值为9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞）．
此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．
由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．
课堂小结
．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？
有哪些收获？
2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；
两正数a、b的算术平均数，几何平均数及它们的关系．两关系式成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．
作业
习题3—2A组，4,5,6.习题3—2B组，1,2.
设计感想
．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：
①x，y都是正数；
②积xy为定值；
③x与y必须能够相等．
2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；
证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．
第2课时
思路1.让学生回忆上节课我们探究的重要结果：
一是如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab；
二是均值不等式：
如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab．在这个不等式中，a＋b2为a，b的算术平均数，ab为a，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：
半弦长不大于半径．a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．
思路2.通过上节课a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体，从而展开新课．
回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？
都有哪些变形？
均值不等式都有哪些方面的应用？
在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？
教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2＋b2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a2＋b2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；
而前者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，仍然能使a＋b2≥ab成立．
两个不等式中等号成立的条件都是a＝b，故a＝b是不等式中等号成立的充要条件．
在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．
本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．
应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．
本例是求函数的最值．教师引导学生将f变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．
解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.
函数y＝loga－1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则1m＋2n的最小值为________．
8
∵y＝loga－1恒过点，∴A．
又∵A在直线上，
∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.
而1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn
＝2＋nm＋2＋4mn≥4＋2×
2＝8，
当n＝12，m＝14时取“＝”．
∴1m＋2n的最小值为8.
例2已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；
已知a、b为实数，求函数y＝2＋2的最小值．
因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号．又&
14x－5不是常数，所以应对4x－2进行拆项“配凑”．从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到＋为定值，则用变形不等式m2＋n22≥2更简捷．
解：
∵x＜54，∴5－4x＞0.
∴y＝4x－2＋14x－5＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．
∴当x＝1时，ymax＝1.
∵y＝2＋2＝2＋2
≥2[&
x－a&
＋&
b－x&
2]2＝&
a－b&
22，
当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．
∴当x＝a＋b2时，ymin＝&
22.
若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；
如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.
已知在△ABc中，∠AcB＝90°
，Bc＝3，Ac＝4，P是AB上的点，则点P到Ac、Bc的距离乘积的最大值是__________．
3
方法一：
以cA、cB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为x4＋y3＝1，设P，则a4＋b3＝1．
∴ab＝12&
a4&
b3≤122＝3，
当且仅当“a＝4b3”时等号成立．
方法二：
设P到Bc的距离为a，到Ac的距离为b.
由相似三角形易得a4＝PB5，b3＝PA5，
∴a4＋b3＝PB＋PA5＝1.以下解法同一．
例3当x＞－1时，求函数f＝x2－3x＋1x＋1的值域．
教师引导学生观察函数f的分子、分母特点，可作如下变形：
f＝x2－3x＋1x＋1＝&
x＋1&
2－5&
＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5.
这样就可以应用均值不等式了．
∵x＞－1，
∴x＋1＞0.
∴f＝x2－3x＋1x＋1＝&
＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2&
5x＋1&
－5＝25－5，当且仅当2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．
另一解x＝－5－1＜－1，故函数值域为[25－5，＋∞）．
本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：
①各项均为正数；
②和或积有一个为定值；
③等号一定取到，这三个条件缺一不可.
已知x1&
x2&
x3&
…&
xXX＝1，且x1、x2、x3、…、xXX都是正数，则…的最小值是__________．
2XX
∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，
同理，1＋x2≥2x2，
……
＋xXX≥2xXX，
各式相乘，得
…≥2XX&
x1&
xXX＝2XX.
取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝xXX＝1，
∴所求最小值为2XX.
例4设0＜x＜2，求函数f＝3x&
8－3x&
的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜43时，原函数f有没有最大值？
0＜x≤1时，f有没有最大值？
若有，请你求出来；
若没有，请你说明理由．
对本例中的函数可变形为f＝24x－9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．
∵0＜x＜2，∴8－3x＞0.
∴f＝3x&
≤&
3x＋8－3x2&
2＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时取“＝”．
∴函数f的最大值为4，此时x＝43.
又f＝－9x2＋24x＝－&
3x－4&
2＋16，
∴当0＜x＜43时，f递增；
当x＞43时，f递减．
∴当0＜x＜43时，原函数f没有最大值．
当0＜x≤1时，有最大值f，即f＝15
通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆项或配凑因式．
．函数f＝xx＋1的最大值为
A.25
B.12
c.22
D．1
2．求函数y＝x＋1x的最小值，以及此时x的值．
3．已知x、y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
．B 解析：
当x＝0时，f＝0；
当x＞0时，f＝xx＋1＝1x＋1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．
2．解：
∵x＞0，∴x＋1x≥2&
x&
1x＝2，
当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．
∴当x＝1时，x＋1x的值最小，最小值是2.
3．解：
由2x＋8y－xy＝0得y＝2x.
∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0.
∴x＋y＝2xx－8＋x＝x－8＋16x－8＋10≥2&
x－8&
16x－8＋10＝18，
当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，x＋y取最小值18.
．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？
应注意些什么？
2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：
函数的解析式中，各项均为正数；
函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：
一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．
习题3—2A组2、3、7、8、9；
习题3—2B组3、4.
．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．
2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．
3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．
备课资料
一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法
设a1，a2，a3，…，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝a1＋a2＋…＋
ann，G＝na1a2…an，即A≥G，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地，当n＝2时，a＋b2≥ab；
当n＝3时，a＋b＋c3≥3abc.
用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：
A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：
①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝A＋a2＋a3＋…＋an－1＋a1＋an－An＝A，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝nAa2a3…an－1&
a1＋an－A&
，
∵A－a1an＝，由a1＜A＜an，得＞0，则A＞a1an.∴Aa2a3…an－1＞a1a2…an－1&
#822
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