基本不等式均值不等式技巧.docx
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基本不等式均值不等式技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧
【基本知识】
22
R，则ab?
L（当且仅当a
2
时取“二”）
2.⑴若a,b
R*，则心ab
（2）若a,b
2
R*，则ab2.ab（当且仅当a
时取“=”）
号成立;
（当且仅当ab时取“=”）
2
“=”号成立.
【技巧讲解】
技巧一：
凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）
51
1:
已知X，求函数y4x2的最大值。
44x5
2.当•时，求yx（82x）的最大值。
3
3：
设Ox，求函数y4x（32x）的最大值。
2
1
4、求函数yx2（x1）的最小值。
2（x1）2
5已知x0，y°，且满足3x2y12，求Xigy的最大值.
6已知x，y为正实数，且x2+y2=1,求x'1+y2的最大值.
7若a,b,c°且a（abc）be42.',求2abc的最小值
技巧一答案:
2解析：
由_■--■■-知，：
亠〔［，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x（82x）8为定值，故只需将
yx（82x）凑上一个系数即可。
当-…，即卩x=2时取等号当x=2时，yx（82x）的最大值为8。
评注：
本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不
3、解：
•••°x
—32x°y
2
4x（32x）22x（32x）2
2
2x32x
2
等式求最大值。
Q3时等号成立。
2
4解析:
评析：
利用均值不等式求几个正数和的最小值时，
积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
5、分析lgxlgylg（xy）,xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式Xy是否
3x2y
定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为6，再用均
当且仅当3x2y，即
x2,y
3时，等号成立•所以lgxlgy的最大值是lg6.
值不等式.
lg6
6分析：
因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
x.1+y2=x
2・号2”2
3
4
同时还应化简詁1+y2中y2前面的系数为
7分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用
即x1+y2
.2x
2+专三
ab2ab+b来解决.换个思
1解析一：
本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（分离。
x+1）的项，再将其
巴丄莎FEZ4
"1x+1*'
丿|■■'时,y2、（x1）
2、解：
可将上式转化为
4
459（当且仅当
x1
（x+1）
x=1时取“=”号）。
y
[（x1）-1][1+2（x+1-1）]
（x+1）
2（x+1）-3（x1）+1
当x>-1时，x+1>0
1一+2（1+x）2-2此时y
（x+1）
当x<-1时,-（x+1）>0
AA_
一+2（1+x）=-（一+2（-1-x））-2.2,此时y（x+1）（-x-1
1
丙+2（1+x）-3
1
2.2-3
所以值域为：
11
（-,][-,+）
2、2-32、2+3
2「2+3
技巧三：
换元
2
、x7x10“士「亠
1、求y（x1）的值域。
x1
Jx2
y
2、求函数2x5的最大值.
用不等式求最值。
即化为ymg（x）
然后运用基本不等式来求最值。
B（A0,B
0）,g（x）恒正或恒负的形式,
2
4、已知x,y为正实数，且x2+y2=1,求x「+厂2的最大值.
参考答案:
2分析可先令x2t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决•
所以x3时，取最大值为二2.
令
8
x
・2sinx
则有
x
8
・2sin
x
丄
2
cosx
y
1
y
2
cos
x
x2y
8
2
8csc2x
c2
2secx
8（1
・2
2
sinx
cosx
2222
cotx）2（1tanx）108cotx2tanx
3、解法三：
（三角换元法）
24
102（8cot2x）（2tan2x）18，易求得x12,此时y3时“二”号成立，故最小值
是18
技巧四：
消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）
1、已知正数x、y满足xy，求x2y的最小值。
1
2、已知a,b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=不的最小值•
2
y_
3、设x，y，z为正实数，x2y3z°，则xz的最小值是•
1解法：
（消元法）
丄81」/曰x丄
由1得y，由
xyx8
16
当且仅当x8代即x12,此时y
3时“=”号成立，故此函数最小值是
a=
30—2b
b+1
30—2b
ab=b+1
—2b2+30b
b+1
18。
2x2（x8）1616
x2yxxx2-
y
0
x
0又x
0
x
8
则
x8
16
Jz
16
（x
8）
1610
2（x
8）
10
18
x8
x8
x8x8x8
t=b+1,1vtv16,ab=
—2t2+34t—31
t
由a>0得，0vbv15
1616/__
=—2（t+7）+34Vt+Y>2.t•7
ab<18
1
•••y>当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。
18
x3zy
y—
3分析本题也是三元式的最值问题•由题意得2，则可对xz进行消元,
用x，z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题•
解：
由x,z0,y勺丝,可得
y2x29z26xz6xz6xz
=3,
xz4xz4xz
当且仅当x3z,即xy,z1时，取“=”.
3
2
故乞的最小值为3.
xz
技巧五：
整体代换（条件不等式）
19
1：
已知x0,y0，且1，求xy的最小值。
xy
8
2、已知正数x、y满足—
x
错因：
解法中两次连用基本不等式,
y2xy等号成立条件是xy，在
Xymin12。
—19
192-等号成立条件是即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，
xy■.xyxy
在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否
有误的一种方法。
正解：
Q
x
0,y
c19彳
0,1，x
y
x
1y-
9
y9x
1061016
xy
x
y
xy
当且仅当
y
9x
1
9
1，
J
x
y
时，上式等号成立，
又_
x
y
可得
x4,y
12时，xymin16。
变式：
（1）
若x,yR且2x
y
1，
求丄
1白
勺最小值
x
y
（2）
i已知
a,b,x,yR且
ab
1
，求
x
y的最小值
xy
2、解法：
（利用均值不等式）
:
8丄1
x2y（8$（x2y）10仝型102x16y18,当且仅当xy
xyyxVyxx16y
yx
即x12,y3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
技巧六：
转化为不等式
1
1.已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=£的最小值•
2、已知正数xy满足xyxy3，试求xy、xy的范围。
1解：
由已知得：
30-ab=a+2b•/a+2b>22ab/•30—ab>22ab
令u=,ab则u2+22u—30W0，—52•••abw3.2，abw18，「.y>秸
点评：
①本题考查不等式
abab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②
2
R）出发求得ab的范围，关键是寻找到
如何由已知不等式aba2b30（a,b
1解法：
由x0,y0,则xyxy3xy3xy2xy，即（、xy）22xy30解得、.一刃1（舍）或；xy3，当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号,
故xy的取值范围是［9,）。
又xy3xy（U）2（xy）24（xy）120xy2（舍）或xy6，
2
当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号，故xy的取值范围是［6,）
技巧六：
取平方
1、已知x，y为正实数，3x+2y=10,求函数W=3x+2y的最值.2:
求函数y.2x—15—2x』x5）的最大值。
解法一：
若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,
号22
3x+2y<2（3x）2+（*；2y）2=2.3x+2y=2,5
解法二：
条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形
式，再向“和为定值”条件靠拢。
W>0,W2=3x+2y+23x•2y=10+23x•,2y<10+（3x）2・（2y）2=10+（3x+2y）=20
•••W—20=25
解析：
注意到2x1与52x的和为定值。
y2（12x
15
2x）24
2.（2x1）（5
2x）4
（2x1）（52x）8
又y0，
所以0
y22
当且仅当2x
1=5
2x，即x
3
-时取等号。
2
故Ymax
2、2。
评注：
本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
注意：
在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f（x）x-的单
x
调性。
x25
1：
求函数y的值域。
Jx24
2、若x、yR，求f（x）x
4（0x1
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