均值不等式的证明精选多篇.docx

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均值不等式的证明精选多篇

均值不等式的证明（精选多篇）

第一篇：

常用均值不等式及证明证明

常用均值不等式及证明证明

这四种平均数满足hn?

gn?

an?

qn

?

、ana1、a2、

?

r?

，当且仅当a1?

a2?

?

?

an时取“=”号

仅是上述不等式的特殊情形，即d（-1）≤d（0）≤d

（1）≤d

（2）由以上简化，有一个简单结论，中学常用

均值不等式的变形：

（1）对实数a,b，有a

2

22

?

b2?

2ab（当且仅当a=b时取“=”号），a,b?

0?

2ab

（4）对实数a,b，有

a?

a-b?

?

b?

a-b?

a2?

b2?

2ab?

0

（5）对非负实数a,b，有

（8）对实数a,b,c，有

a2?

b2?

c2?

ab?

bc?

ac

a?

b?

c?

abc（10）对实数a,b,c，有

均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：

设a≥0，b≥0，则?

a?

b?

?

an?

na?

n-1?

b

n

注：

引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0

，a+b≥0（用数学归纳法）。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

那么当n=k+1时，不妨设ak?

1是则设

a1,a2,?

ak?

1中最大者，

kak?

1?

a1?

a2?

?

?

ak?

1s?

a1?

a2?

?

?

ak

用归纳假设

下面介绍个好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：

上凸函数f?

x?

x1,x2,?

xn是函数f?

x?

在区间（a,b）内的任意n个点，

设f?

x?

?

lnx，f

?

x?

为上凸增函数所以，

在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

第二篇：

均值不等式证明

均值不等式证明一、

已知x,y为正实数，且x+y=1求证

xy+1/xy≥17/4

1=x+y≥2√（xy）

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥2

当且仅当xy=1/xy时取等

也就是xy=1时

画出xy+1/xy图像得

01时，单调增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥（1/4）+1/（1/4）=4+1/4=17/4

得证

继续追问：

拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

补充回答：

我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的

法二：

证xy+1/xy≥17/4

即证4（xy）²-17xy+4≥0

即证（4xy-1）（xy-4）≥0

即证xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈r+，x+y=1

显然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√（xy）

∴xy≤1/4，得证

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=（4x²y²-4-17xy）/4xy

=（1-4xy）（4-xy）/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?

!

二、

已知a>b>c，求证：

1/（a-b）+1/（b-c）+1/（c-a）>0

a-c=（a-b）+（b-c）≥2√（a-b）*（b-c）

于是c-a≤-2√（a-b）*（b-c）即：

1/（c-a）≥-1/【2√（a-b）*（b-c）】

那么

1/（a-b）+1/（b-c）+1/（c-a）

≥1/（a-b）+1/（b-c）-1/【2√（a-b）*（b-c）】

≥2/【√（a-b）*（b-c）】-1/【2√（a-b）*（b-c）】=1+1/a2+..+1/an）

证明：

1.sqrt（（（a1）_+（a2）_+..（an）_）/n）≥（a1+a2+..an）/n

两边平方,即证（（a1）_+（a2）_+..（an）_）≥（a1+a2+..an）_/n

（1）如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：

柯西不等式变式：

a1_/b1+a2_/b2+...an_/bn≥（a1+a2+...an）_/（b1+b2...+bn）

当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立

只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可

（2）柯西不等式

（a1_+a2_+...an_）*（b1+b2...+bn）≥（a1b1+a2b2+...anbn）_

2.（a1+a2+..an）/n≥n次根号（a1a2a3..an）

（1）琴生不等式:

若f（x）在定义域内是凸函数，则nf（（x1+x2+...xn）/n）≥f（x1）+f（x2）+...f（xn）

令f（x）=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数

nf（（x1+x2+...x1a2a3...an

（3）数学归纳法:

但要用到（1+x）

>1+nx这个不等式，不予介绍

3.n次根号（a1a2a3..an）≥n/（1/a1+1/a2+..+1/an）

原不等式即证：

n次根号（a1a2a3..an）*（1/a1+1/a2+..+1/an）≥n

左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号

由2得和≥n*n次根号（它们的积）所以左边≥n*n次根号

（1）=n

所以（a1a2a3..an）≥n/（1/a1+1/a2+..+1/an）

证毕

特例：

sqrt（a_+b_/2）≥（a+b）/2≥sqrt（ab）≥2/1/a+1/b

证明：

1.sqrt（a_+b_/2）≥（a+b）/2两边平方a_+b_≥（a+b）_/4即证（a/2-b/2）_≥0显然成立

2.（a+b）/2≥sqrt（ab）移项即证（sqrt（a）-sqrt（b））≥0显然成立

此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，（a+b）/2=rsqrt（ab）就是垂直于直径的弦，而r≥弦的一半

3.sqrt（ab）≥2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt（ab）*（1/a+1/b）≥2

而sqrt（ab）*（1/a+1/b）=sqrt（a/b）+sqrt（b/a）≥2。

第四篇：

均值不等式及证明

一、均值不等式

（一）概念：

第五篇：

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是an?

gn:

一些大家都知道的条件我就不写了

x1?

x2?

...?

xn

n

?

x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

a?

b?

c?

d?

（a?

b）?

（c?

d）?

2ab?

2cd?

4八维时:

（a?

b?

c?

d）?

（e?

f?

g?

h）?

4abcd?

4efgh?

8abcdefgh

abcd

?

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1?

x2?

...?

x2n

2

n

?

2

n

x1x2...x2n

令x1?

x1,...,xn?

xn;xn?

1?

xn?

2?

...?

x2?

n

x1?

x2?

...?

xn

n

?

a

由这个不等式有

a?

na?

（2?

n）a

2

nn

?

2

n

x1x2..xna

2?

n

n

?

（x1x2..xn）2a

n

1?

n2

n

即得到

x1?

x2?

...?

xn

n

?

n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0?

ai?

1（i?

1,2,...,n）证明?

i?

1

11?

ai

?

n

1?

（a1a2...an）n

例2：

n

若ri?

1（i?

1,2,...,n）证明?

i?

1

1ri?

1

?

n

1?

（r1r2...rn）n

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

当n?

2时11?

a1

?

11?

a2

?

?

（1?

?

a1?

a2）?

2（1?

a1）（1?

a2）

设p?

a1?

a2,q?

?

（1?

q）（2?

p）?

2（1?

p?

q）

?

p?

2q?

pq?

2q?

p（1?

q）?

2q（q?

1）?

p?

2q，而这是2元均值不等式因此11?

a1?

?

11?

a22

n

?

11?

a3

?

11?

a4

?

?

此过程进行下去

n

?

因此?

i?

1

1?

ai

1?

（a1a2...a2n）2

n

令an?

1?

an?

2?

...?

a2n?

（a1a2...an）n?

g

n

有?

i?

1n

11?

ai

11?

ai

?

（2?

n）

n

11?

g

?

n

n2?

n

n

?

n

1?

（gg

?

n1?

g

n

）

n

1?

g

即?

i?

1

例3：

已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都?

1（1?

i?

n）,记r?

t?

n

1n

n

?

r,s

ii

?

1n

n

?

s

i

i

1n

n

?

t,u

ii

?

1n

n

?

u

i

i

v?

1n

n

?

v，求证下述不等式成立：

ii

?

i?

1

（

risitiuivi?

1risitiuivi?

1

）?

（

rstuv?

1rstuv?

1

）

n

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数f（x）?

ln因此

e?

1e?

1

x

x

是在r上单调递减

rstuv?

?

（

rstuv?

1rstuv?

1

）?

n

我们要证明：

n

?

（rstuv

i?

1

iii

i

risitiuivi?

1

i

?

1

）?

证明以下引理：

n

?

（x

i?

1

xi?

1

i

x2?

1x2?

1

n

?

1

）?

n?

2时，?

（令a?

x1?

1x1?

1

）（

）?

2

?

a（x1x2?

1?

x1?

x2）?

（x1?

x2?

1?

x1x2）

?

2a（x1x2?

x1?

x2?

1）?

a（x1x2?

1?

x1?

x2）?

（1?

x1x2?

x1?

x2）?

2a（x1x2?

1?

x1?

x2）

?

（a?

1）（x1x2?

1）?

2a（x1x2?

1）显然成立

2?

n

n

n

因

此?

（

i?

1

xi?

1xi?

1

n

）?

（

g?

1g?

1

）

2?

n

n

?

（

gggg

n

n

n

n

?

1?

1

2?

n2

n

），g?

n

?

（

g?

1g?

1

n

）

因此?

（

i?

1

xi?

1xi?

1

n

）?

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明jensen:

f（x1）?

f（x2）

?

f（

x1?

x2

），则四维：

f（x1）?

f（x2）?

f（x3）?

f（x4）?

2f（

x1?

x2

）?

2f（

x3?

x4

）?

4f（

x1?

x2?

x3?

x4

）

一直进行n次有

f（x1）?

f（x2）?

...?

f（x2n）

n

?

f（

x1?

x2?

...?

x2n

n

）,

令x1?

x1,...,xn?

xn;xn?

1?

xn?

2?

...?

x2?

n

x1?

x2?

...?

xn

n

n

?

a

有

f（x1）?

...?

f（xn）?

（2?

n）f（a）

n

n

?

f（

na?

（2?

n）a

n

）?

f（a）

所以得到

f（x1）?

f（x2）?

...?

f（xn）

n

?

f（

x1?

x2?

...?

xn

n

）

所以基本上用jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比jensen的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件