均值不等式的证明方法Word下载.doc

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一般的均值不等式我们通常考虑的是:

一些大家都知道的条件我就不写了

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

这样的步骤重复n次之后将会得到

令

由这个不等式有

即得到

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

例2：

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

例3：

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数是在R上单调递减

因此

我们要证明：

证明以下引理：

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

，则四维：

一直进行n次有

有

所以得到

所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件