高三数学考前冲刺一 第1讲 六招秒杀客观题快得分.docx

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高三数学考前冲刺一第1讲六招秒杀客观题快得分

第1讲　“六招”秒杀客观题——快得分

题型解读　高考客观题分为选择题与填空题，选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：

充分地利用题干和选项两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解.而填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”.解答此类题目的方法一般有直接法、特例法、数形结合法、构造法、排除法等.

方法一　直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

【例1】

（1）（2018·全国Ⅲ卷）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），则λ＝________.

（2）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________.

解析　

（1）2a＋b＝（4，2），因为c＝（1，λ），且c∥（2a＋b），所以1×2＝4λ，即λ＝.

（2）

设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

答案　

（1）　

（2）＋＝1

探究提高　1.直接法是解答客观题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果.

2.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.

【训练1】

（1）（2017·全国Ⅲ卷改编）设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝（　　）

A.8B.－8C.4D.－4

（2）（2018·石家庄质检）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.

解析　

（1）由{an}为等比数列，设公比为q.

即

显然q≠－1，a1≠0，

得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，

所以a4＝a1q3＝1×（－2）3＝－8.

（2）设点M的横坐标为x0，易知准线x＝－1，∵点M到焦点的距离为10，根据抛物线定义，x0＋1＝10，∴x0＝9，因此点M到y轴的距离为9.

答案　

（1）B　

（2）9

方法二　特例法

在求解选择题或填空题时，可以取一个（或一些）特殊值（特殊点、特殊函数、特殊位置、特殊图形）来确定结果进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.

【例2】

（1）（2017·山东卷）若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（　　）

A.a＋＜＜log2（a＋b）

B.＜log2（a＋b）＜a＋

C.a＋＜log2（a＋b）＜

D.log2（a＋b）＜a＋＜

（2）AD，BE分别是△ABC的中线，||＝||＝1，且与的夹角为120°，则·＝________.

解析　

（1）令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2（a＋b）＝log2∈（1，2），则＜log2（a＋b）＜a＋，B正确.

（2）等边三角形为符合题意的△ABC的一个特例，则AB＝，

∴·＝||||cos60°＝.

答案　

（1）B　

（2）

探究提高　1.特例法具有简化运算和推理的功效，填空题的结论唯一或题设条件暗示答案为定值是利用该法的前提.

2.特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.

【训练2】

（1）（2018·长春一模）已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：

x2－y2＝λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为（　　）

A.B.C.λD.无法确定

（2）（2018·佛山调研）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.

解析　

（1）因为点M为双曲线上任一点，所以可取点M双曲线的右顶点，由渐近线y＝x知△OMN为等腰直角三角形，此时|OM|＝，|ON|＝|MN|＝，所以|ON|·|MN|＝.

（2）法一　当△ABC为等边三角形时，满足题设条件，

则c＝，C＝且a＝b＝.

∴△ABC的面积S△ABC＝absinC＝.

法二　∵c2＝（a－b）2＋6，

∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②

由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.

∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.

答案　

（1）B　

（2）

方法三　图解法（数形结合法）

对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.

【例3】

（1）设函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f（x）＝k（x＋1）（k>0）恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

（2）（2018·武汉模拟改编）若函数y＝f（x）图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y＝f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）.已知函数f（x）＝则此函数的“和谐点对”有________对.

解析　

（1）直线y＝kx＋k（k>0）恒过定点（－1，0），在同一直角坐标系中作出函数y＝f（x）的图象和直线y＝kx＋k（k>0）的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以≤k<.

（2）作出f（x）＝的图象，f（x）的“和谐点对”数可转化为y＝ex（x<0）和y＝－x2－4x（x<0）的图象的交点个数（如图）.

由图象知，函数f（x）有两对“和谐点对”.

答案　

（1）B　

（2）2

探究提高　1.本例的求解转化为研究函数图象的位置关系，利用几何直观，再辅以简单的计算，可有效提高解题速度和准确性.

2.运用数形结合（图解法）的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象导致错误的选择.

【训练3】

（1）记集合P＝，Q＝{（x，y）|0≤y≤}表示的平面区域分别为区域P，区域Q，P∩Q表示的平面区域为区域M，若向区域Q内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在区域M内的概率为（　　）

A.B.C.D.

（2）（2018·潍坊质检）已知函数f（x）在区间[－1，1]上的解析式为f（x）＝2|x|，且周期为2，若在区间[－2，3]上关于x的方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.

解析　

（1）在平面直角坐标系中分别作出区域P，Q，则区域M是图中的阴影部分.

由图形的对称性可知，区域M可以看作半径为2的半圆的.

又区域Q表示的平面图形是半径为2的半圆，

于是所求的概率P＝.

（2）作出y＝f（x），x∈[－2，3]的图象（如图），

又直线y＝（x＋2）a过定点（－2，0），依题意y＝a（x＋2）与y＝f（x），x∈[－2，3]的图象有四个交点，

则解之得

答案　

（1）B　

（2）

方法四　估算法

估算法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量.

【例4】

（1）已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（　　）

A.πB.πC.4πD.π

（2）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则（　　）

A.p1

C.p3

解析　

（1）球的半径R不小于△ABC的外接圆的半径r，又△ABC是边长为2的等边三角形，

∴r＝×2×＝，

故S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，只有D满足.

（2）满足条件的x，y构成的点（x，y）在正方形OBCA及其边界上.事件“x＋y≥”对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较，可得p2

答案　

（1）D　

（2）B

探究提高　1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.

2.在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.

【训练4】

（1）若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则a，b，c的大小关系是________.

（2）设M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为（　　）

A.B.1C.D.2

解析　

（1）由y＝2x在R上单调递增，知1b>c.

（2）如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，故C项满足.

答案　

（1）a>b>c　

（2）C

方法五　构造法

用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型，从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的，首先应观察题目，观察已知条件形式上的特点，然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型，深刻了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.

【例5】

（1）（2015·全国Ⅱ卷改编）设函数f′（x）是定义在（0，＋∞）上函数f（x）的导函数，f

（1）＝0，如果满足xf′（x）－f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是________.

（2）（2018·合肥模拟）如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.

解析　

（1）令g（x）＝，则g′（x）＝，由于xf′（x）－f（x）<0，得g′（x）<0，

∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数，

由f

（1）＝0，知g

（1）＝0，∴g（x）>0的解集为（0，1），

因此f（x）>0的解集为（0，1）.

（2）如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.

∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的体积V＝＝π.

答案　

（1）（0，1）　

（2）π

探究提高　1.第

（1）题构造函数，利用函数的单调性解不等式；第

（2）题将三棱锥补成正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，使问题容易得到解决.

2.构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.

【训练5】

（1）（2017·全国Ⅲ卷）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝（　　）

A.－B.C.D.1

（2）在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________.

解析　

（1）法一　构造函数g（x）＝ex＋e－x，可知该函数为偶函数，其图象关于y轴对称.把g（x）的图象向右平移一个单位长度，得到函数h（x）＝ex－1＋e－x＋1的图象，该函数图象关于直线x＝1对称.

函数y＝x2－2x的图象也关于直线x＝1对称，所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.函数f（x）有唯一零点，则该零点只能是x＝1.

由f

（1）＝12－2×1＋a（e1－1＋e－1＋1）＝0，解得a＝.

法二　构造函数g（x）＝f（x＋1）＝x2－1＋a（ex＋e－x），易知函数g（x）的图象是由函数f（x）的图象向左平移一个单位长度得到的，所以函数f（x）有唯一的零点等价于函数g（x）有唯一零点.

显然函数g（x）为偶函数，如果其有唯一零点，则该零点只能是x＝0，由g（0）＝－1＋2a＝0，解得a＝.

（2）由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2（an＋1），

又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，

∴数列{an＋1}是首项为2，公比q＝2的等比数列，

因此an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.

答案　

（1）C　

（2）an＝2n－1

方法六　排除（淘汰）法

排除（淘汰）法是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法.

【例6】

（1）（2018·全国Ⅲ卷）函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为（　　）

（2）若函数f（x）＝x＋asinx－sin2x在R上单调递增，则a的取值范围是（　　）

A.[－1，1]B.

C.D.

解析　

（1）当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在（－1，1）上有三个极值点，所以排除C，故选D.

（2）根据选项特点验证a＝1，a＝－1是否符合题意.

当a＝1时，f（x）＝x＋sinx－sin2x，

则f′（x）＝1＋cosx－cos2x，

当x＝π时，f′（π）＝－<0，不符合题意，排除选项A.

当a＝－1时，f（x）＝x－sinx－sin2x，

则f′（x）＝1－cosx－cos2x，

当x＝0时，f′（0）＝－<0，不符合题意，排除选项B，D.只有选项C满足.

答案　

（1）D　

（2）C

探究提高　1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.

2.

（1）排除法常与特例法、数形结合法联合使用，在高考题求解中更有效发挥功能.

（2）如果选项之间存在包含关系，必须根据题意才能判定.

【训练6】

（1）（2018·潍坊质检）函数y＝x2－ln|x|的图象大致为（　　）

（2）设x∈R，定义符号函数sgnx＝则下面正确的是（　　）

A.|x|＝x|sgnx|B.|x|＝xsgn|x|

C.|x|＝|x|sgnxD.|x|＝xsgnx

解析　

（1）由y＝x2－ln|x|的定义域{x|x∈R且x≠0}，排除B，C；当x>0时，y＝x2－lnx，令y′＝2x－＝0，得x＝，∴f（x）＝x2－lnx在（0，＋∞）上不单调，排除选项D，A项正确.

（2）当x<0时，|x|＝－x，sgnx＝－1.

则x·|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝x.

因此，选项A，B，C均不成立.

答案　

（1）A　

（2）D

1.从考试的角度来看，解客观题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以解题可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因.另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大做，真正做到准确和快速.

2.填空题的主要特征是题目小、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.