数列知识点总结及题型归纳总结.docx

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数列知识点总结及题型归纳总结

高三总复习----数列

一、数列的概念

（1）数列定义：

按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；

数列的一般形式：

，，，……，，……，简记作。

例：

判断下列各组元素能否构成数列

（1）a,-3,-1,1,b,5,7,9;

（2）2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：

如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：

①：

1，2，3，4，5，…

②：

…

数列①的通项公式是=（7，），

数列②的通项公式是=（）。

说明：

①表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，==；

③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：

123456

项：

456789

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。

例：

画出数列的图像.

（4）数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：

有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：

单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：

下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？

（1）1，2，3，4，5，6，…

（2）10,9,8,7,6,5,…

（3）1,0,1,0,1,0,…（4）a,a,a,a,a,…

（5）数列{}的前项和与通项的关系：

例：

已知数列的前n项和，求数列的通项公式

练习：

1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；

（2），，，；

（3），，，。

（4）9，99，999，9999…

（5）7，77，777，7777，…

（6）8,88,888,8888…

2．数列中，已知

（1）写出，，，，；

（2）是否是数列中的项？

若是，是第几项？

3．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。

4、由前几项猜想通项：

根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.

5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.

A．40个B．45个C．50个D．55个

二、等差数列

题型一、等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

用递推公式表示为或。

例：

等差数列，

题型二、等差数列的通项公式：

；

说明：

等差数列（通常可称为数列）的单调性：

为递增数列，为常数列，为递减数列。

例：

1.已知等差数列中，等于（）

A．15B．30C．31D．64

2.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于

（A）667（B）668（C）669（D）670

3.等差数列，则为为（填“递增数列”或“递减数列”）

题型三、等差中项的概念：

定义：

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

其中

，，成等差数列即：

（）

例：

1．（14全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则（）

A．B．C．D．

2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）

A．1B.2C.4D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

题型五、等差数列的前和的求和公式：

。

（是等差数列）

递推公式：

例：

1.如果等差数列中，，那么

（A）14（B）21（C）28（D）35

2.（2015湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）

A．13B．35C．49D．63

3.（2015全国卷Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=

4.（2015重庆文）

（2）在等差数列中，，则的值为（）

（A）5（B）6（C）8（D）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A.13项B.12项C.11项D.10项

6.已知等差数列的前项和为，若

7.（2014全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则

8．（2014全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.

（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；

9.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于（）

C.D.

10.（2015陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则

11．（2013全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。

12.等差数列的前项和记为，已知

求通项；若=242，求

13.在等差数列中，

（1）已知；

（2）已知；（3）已知

题型六.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇；②；

（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。

题型七.对与一个等差数列，仍成等差数列。

例：

1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

A.130B.170C.210D.260

2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为。

3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为

4.设为等差数列的前项和，=

5．（2015全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝

A．B．C．D．

题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

定义法：

是等差数列

中项法：

是等差数列

通项公式法：

是等差数列

前项和公式法：

是等差数列

例：

1.已知数列满足，则数列为（）