Jacobi 迭代法与GaussSeidel迭代法算法比较.docx
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Jacobi迭代法与GaussSeidel迭代法算法比较
Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法算法比较
Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法比较
1引言
解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。
这两种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量较小，但必须在收敛性得以保证的情况下才能使用。
对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人员青睐。
迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量。
即使计算机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。
因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。
迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且0元素较多），特别是某些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。
设n元线性微分方程组
（1）
的系数矩阵A非奇异，右端向量,因而方程组有唯一的非零解向量。
而对于这种线性方程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi迭代法、Gauss—Seidel迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A分解成两个矩阵N和P的差，即；其中N为可逆矩阵，线性方程组
（1）化为：
可得到迭代方法的一般公式：
（2）
其中：
，，对任取一向量作为方程组的初始近似解，按递推公式产生一个向量序列，，...，，...，当足够大时，此序列就可以作为线性方程组的近似解。
一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是:
迭代矩阵G的谱半径小于1，即；又因为对于任何矩阵范数恒有‖G‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：
‖G‖<1。
1.1Jacobi迭代法
若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。
可以将系数矩阵A分解为：
其中，D为系数矩阵A的对角元素构成的对角阵，L为严格下三角阵，U为严格上三角阵。
在迭代法一般形式中，取，，形成新的迭代公式
，
其中任取，则Jacobi迭代的迭代公式为：
（3）
式中:
;,称为Jacobi迭代矩阵.其计算公式为:
，（4）
如果迭代矩阵的谱半径，则对于任意迭代初值，Jacobi迭代法收敛；如果‖GJ‖<1，则Jacobi迭代法收敛；如果方程组的系数矩阵是主对角线按行或按列严格占优阵，则用Jacobi迭代法求解线性方程组必收敛。
1.2Gauss-Seidel迭代法
从Jacobi迭代可以看出，用计算时，需要同时保留这两个向量。
事实上如果每次获得的分量能够在计算下一个分量时及时更新的话，既节省了存储单元，又能使迭代加速，这就是Gauss-Seidel方法。
对于非奇异方程组，若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零；系数矩阵A的一个分解：
（5）
在迭代法一般形式中，取，，形成新的迭代公式
，
其中任取，则Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为:
（6）
上式中:
是其右端常数项；为Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵，其计算公式为：
，（7）
若GS法收敛的充分必要条件是；如果‖GG‖<1,则GS法收敛；如果线性方程组的系数矩阵A为主对角线按行或按列严格占优阵，或者为正定矩阵，则对于任意初值用GS法求解必收敛。
1.3逐次超松弛（SOR）迭代法
一般而言，因Jacobi迭代收敛速度不够快，所以在工程中用的并不是太多。
并且在Jacobi迭代收敛速度很慢的情况下，通常Gauss-Seidel迭代法也不会太快。
可以对Gauss-Seidel迭代公式做适度修改，提高收敛速度，这就是逐次超松弛迭代法。
设线性方程组的系数矩阵A满足，。
可将系数矩阵A分解为
（8）
其中实常数>0称为松弛因子。
在迭代法一般形式中，取
得到迭代公式
，（9）
其中任取。
这就是逐次超松弛迭代法，当=1时该式就是高斯法。
SOR法迭代矩阵是
整理后得到SOR迭代法的实际计算公式为：
；（10）
SOR方法收敛的充分必要条件是；如果‖GS‖<1，则SOR方法收敛；SOR方法收敛的必要条件是；如果方程组的系数矩阵A是主对角线按行或者列严格占优阵，则用的SOR方法求解必收敛；如果方程组的系数矩阵是正定矩阵，则用的SOR方法求解必收敛。
2算法分析
例1用雅可比迭代法求解下列方程组
解将方程组按雅可比方法写成
取初始值按迭代公式
进行迭代，其计算结果如表1所示。
表1
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0.72
0.971
1.057
1.0853
1.0951
1.0983
…
0
0.83
1.070
1.1571
1.1853
1.1951
1.1983
…
0
0.84
1.150
1.2482
1.2828
1.2941
1.2980
…
例2用高斯——塞德尔迭代法求解例1.
解取初始值，按迭代公式
进行迭代，其计算结果如下表2
表2
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0.72
1.04308
1.09313
1.09913
1.09989
1.09999
1.1
0
0.902
1.16719
1.19572
1.19947
1.19993
1.19999
1.2
0
1.1644
1.28205
1.29777
1.29972
1.29996
1.3
1.3
3结论
使用Gauss-Seidel迭代法迭代法，7次就可以求出方程的解，收敛速度要比Jacobi迭代法收敛快（达到同样的精度所需迭代次数少）；但是这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的.
4附录程序
/*求解线性方程组--Gauss-Seidel迭代法*/
#include
#include
usingnamespacestd;
/*二维数组动态分配模板*/
template
T**Allocation2D（intm,intn）
{
T**a;
a=newT*[m];
for（inti=0;i{
a[i]=newT[n];
}
returna;
}
/*一维数组动态分配模板*/
template
T*Allocation1D（intn）
{
T*a;
a=newT[n];
returna;
}
/*求矩阵的一范数*/
floatmatrix_category（float*x,intn）
{
floattemp=0;
for（inti=0;i{
temp=temp+fabs（x[i]）;
}
returntemp;
}
intmain（）
{
constintMAX=1000;//最大迭代次数
inti,j,k;//循环变量
intn;//矩阵阶数
float**a;//增广矩阵
float*x_0;//初始向量
float*x_k;//迭代向量
floatprecision;//精度
cout<<"输入精度e:
";
cin>>precision;
/*动态生成增广矩阵*/
cout<";
cin>>n;
a=Allocation2D（n,n+1）;
/*输入增广矩阵的各值*/
cout<\n";
for（i=0;i{
for（j=0;j{
cin>>a[i][j];
}
}
/*生成并初始化初始向量*/
x_0=Allocation1D（n）;
cout<\n";
for（i=0;i{
cin>>x_0[i];
}
/*生成迭代向量*/
x_k=Allocation1D（n）;
floattemp;
/*迭代过程*/
for（k=0;k{
for（i=0;i{
temp=0;
for（j=0;j{
temp=temp+a[i][j]*x_k[j];
}
x_k[i]=a[i][n]-temp;
temp=0;
for（j=i+1;j{
temp=temp+a[i][j]*x_0[j];
}
x_k[i]=（x_k[i]-temp）/a[i][i];
}
/*求两解向量的差的范数*/
for（i=0;i{
x_0[i]=x_k[i]-x_0[i];
}
if（matrix_category（x_0,n）{
break;
}
else
{
for（i=0;i{
x_0[i]=x_k[i];
}
}
}
/*输出过程*/
if（MAX==k）
{
cout<<"迭代不收敛\n";
}
cout<<"迭代次数为：
"<cout<<"解向量为：
\n";
for（i=0;i{
cout<<"x"<"<}
return0;
}
参考文献
[1]颜庆津.数值分析[M].北京:
航空航天大学出版社，1999.
[2]黎建玲，简金宝，李群宏.数值分析与实验[M].北京:
科学出版社，2012．
[3]宋叶志．MATLAB数值分析与应用[M]．北京：
机械工业出版社，2013．
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