高考数学逆袭专题七选考系列.docx

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高考数学逆袭专题七选考系列

专题七　选考系列

第1讲　坐标系与参数方程

[全国卷3年考情分析]

年份

全国卷Ⅰ

全国卷Ⅱ

全国卷Ⅲ

2019

直线的极坐标方程、椭圆的参数方程、点到直线的距离

极坐标方程的应用

极坐标方程的应用

2018

极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解

参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用

参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用

2017

参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离

直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题

直线的参数方程与极坐标方程与普通方程的互化、动点轨迹方程的求法

（1）坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：

一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．

（2）全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．

考点一极坐标方程及其应用

[例1]　

（2019·全国卷Ⅲ）如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B

，C

，D（2，π），弧

，

，

所在圆的圆心分别是（1，0），

，（1，π），曲线M1是弧

，曲线M2是弧

，曲线M3是弧

.

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝

，求P的极坐标．

1．（2019·全国卷Ⅱ）在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0>0）在曲线C：

ρ＝4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P.

（1）当θ0＝

时，求ρ0及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

2．（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

考点二参数方程及其应用

[例2]　（2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数方程为

（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数方程为

（t为参数），直线l与曲线C交于A，B两点．

（1）求|AB|的值；

（2）若F为曲线C的左焦点，求

·

的值．

2．已知曲线C：

＋

＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

考点三极坐标与参数方程的综合应用

题型一　直线的参数方程中参数几何意义的应用

[例3]　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为

（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．

题型二　极坐标方程中极径几何意义的应用

[例4]　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρsin

＝3

，射线OM：

θ＝

与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

1．（2019·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋

ρsinθ＋11＝0.

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

2．（2019·长沙市统一模拟考试）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为

（φ为参数），过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求l和M的极坐标方程；

（2）当α∈

时，求|OA|＋|OB|的取值范围．

【课后专项练习】

1．（2019·郑州市第一次质量预测）已知曲线C1：

x2＋（y－3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）射线θ＝

（ρ>0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（－4，0），求△MPQ的面积．

2．（2019·湖南省五市十校联考）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝

cos

.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

3．（2019·福建五校第二次联考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求∠POQ.

4．（2019·蓉城名校第一次联考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（φ为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos

＝－1，M为曲线C1上的动点．

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）求点M到曲线C2的距离d的最小值及此时点M的坐标．

5．（2019·昆明市诊断测试）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝

（ρ∈R）．

（1）求曲线C1的极坐标方程；

（2）若曲线C2的极坐标方程为ρ＋8cosθ＝0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交点为B（异于原点），求|AB|.

6．（2019·合肥市高三质检）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1＋3sin2θ）＝4.

（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；

（2）若直线l：

x＝t分别与曲线C，曲线E交于点A，B，求△AOB面积的最大值．

7．（2019·广东六校第一次联考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2

ρsin

－1.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|＜|OB|，求

－

.

8．（2019·郑州市高三第三次质量预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），曲线C1：

y＝

.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4

sin

.

（1）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求

·

的取值范围；

（2）若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为（－2，1），求||QM|－|QN||的值．

第2讲　不等式选讲

[全国卷3年考情分析]

年份

全国卷Ⅰ

全国卷Ⅱ

全国卷Ⅲ

2019

不等式的证明

绝对值不等式的解法、不等式恒成立求参数的范围

利用重要不等式求最值、解不等式

2018

含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题

含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题

含绝对值函数的图象与绝对值不等式恒成立问题

2017

含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围

基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法

含绝对值不等式的解法、函数最值的求解

（1）不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．

（2）此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．

考点一含绝对值不等式的解法

[例1]　（2019·全国卷Ⅱ）已知f（x）＝|x－a|x＋|x－2|（x－a）．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）<0的解集；

（2）若x∈（－∞，1）时，f（x）<0，求a的取值范围．

1．（2018·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝5－|x＋a|－|x－2|.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

2．（2019·武汉市调研测试）已知函数f（x）＝2|x＋1|－|x－a|，a∈R.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>0的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥x在x∈R时恒成立，求实数a的取值范围．

3．（2019·石家庄市质量检测）设函数f（x）＝|x＋1|.

（1）求不等式f（x）≤5－f（x－3）的解集；

（2）已知关于x的不等式2f（x）＋|x＋a|≤x＋4在[－1，1]上有解，求实数a的取值范围．

考点二不等式的证明

[例2]　（2019·全国卷Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：

（1）

＋

＋

≤a2＋b2＋c2；

（2）（a＋b）3＋（b＋c）3＋（c＋a）3≥24.

1．已知函数f（x）＝|x＋1|.

（1）求不等式f（x）＜|2x＋1|－1的解集M；

（2）设a，b∈M，证明：

f（ab）＞f（a）－f（－b）．

考点三与不等式有关的最值问题

[例3]　（2019·全国卷Ⅲ）设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.

（1）求（x－1）2＋（y＋1）2＋（z＋1）2的最小值；

（2）若（x－2）2＋（y－1）2＋（z－a）2≥

成立，证明：

a≤－3或a≥－1.

1．（2019·贵州省适应性考试）已知函数f（x）＝|x＋5|－|x－4|.

（1）解关于x的不等式f（x）≥x＋1；

（2）若函数f（x）的最大值为M，设a，b为正实数，且（a＋1）（b＋1）＝M，求ab的最大值．

2．（2019·东北四市联合体模拟

（一））已知函数f（x）＝|2x－1|＋|x－1|.

（1）求不等式f（x）≤4的解集；

（2）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m时，求

＋

＋

的最大值．

【课后专项练习】

1．（2018·全国卷Ⅰ）已知f（x）＝|x＋1|－|ax－1|.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）>x成立，求a的取值范围．

2．（2019·济南市模拟考试）已知函数f（x）＝|x－2|＋|2x－1|.

（1）求不等式f（x）≤3的解集；

（2）若不等式f（x）≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．

3．（2019·郑州市第二次质量预测）设函数f（x）＝|ax＋1|＋|x－a|（a＞0），g（x）＝x2－x.

（1）当a＝1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；

（2）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．

4．（2019·洛阳市统考）已知f（x）＝|x＋1|，g（x）＝2|x|＋a.

（1）当a＝－1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的取值范围．

5．（2019·福州市质量检测）已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4的解集为M.

（1）求集合M；

（2）设实数a∈M，b∉M，证明：

|ab|＋1≤|a|＋|b|.

6．（2019·合肥市高三模拟）设f（x）＝3|x－1|＋|x＋1|的最小值为k.

（1）求实数k的值；

（2）设m，n∈R，m≠0，m2＋4n2＝k，求证：

＋

≥

.

（3）微信公众号：

数学研讨高中数学解题探讨QQ群：

518941598

7．（2019·江西省五校协作体试题）已知函数f（x）＝|x＋1|＋|3x＋a|，若f（x）的最小值为1.

（1）求实数a的值；

（2）若a＞0，m，n均为正实数，且满足m＋n＝

，求m2＋n2的最小值．

8．（2019·长沙市统一模拟考试）已知函数f（x）＝x|x－a|，a∈R.

（1）当f

（1）＋f（－1）>1时，求a的取值范围；

（2）若a>0，∀x，y∈（－∞，a]，不等式f（x）≤

＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．