等差数列前n项和教学设计.doc

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等差数列前n项和

【教学目标】

一、知识与技能

1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。

2、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。

二、过程与方法

1、启发式教学。

从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。

2、探究式学习。

从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。

三、情感态度与价值观

1、让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

2、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。

【教学重点、难点】

重点：

探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。

难点：

等差数列前n项和公式推导思路的获得。

解决办法:

以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。

【教学用具】

实物投影仪，多媒体软件，电脑

【教学过程】

一、情景引入:

1、（播放媒体资料）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿……成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

即:

1+2+3+······+100=？

少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？

　　高斯用的是首尾配对的方法。

特点：

首项与末项的和：

1＋100＝101，

第2项与倒数第2项的和：

2＋99＝101，

第3项与倒数第3项的和：

3＋98＝101，

······

第50项与倒数第50项的和：

50＋51＝101，

于是所求的和是：

101×50＝5050。

S100=1+2+3+······+100

=101×50=5050

2、试一试：

假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？

把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。

平行四边形中的每行宝石的个数均为101个，共100行。

有什么启发？

1+2+3+……+98+99+100

100+99+98+……+3+2+1

1+2+3+…+100=（100+1）×100÷2=5050

想一想：

1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？

（配）

2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？

（倒）

点出方法：

倒序相加

二、推进新课

1、探究1：

求1到n的正整数之和即：

sn=1＋2＋3＋……＋n

2、看谁算得快：

如图一堆钢管有多少根？

5＋6＋7＋8＋9==35

3、探究2：

那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和？

即：

=a1+a2+a3+……+an

证法1：

利用定义可得：

两式相加可得：

即

证法2：

∴

（1）+

（2）可得：

2

∴

公式变形：

将代入可得：

综上所述：

等差数列求和公式为：

4、认识公式：

（1）、用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.

（2）、公式特点：

（1）相同点：

都需知道a1与n

（2）不同点：

第一个还需知道an，第二个还需知道d。

5、公式应用：

例1：

求等差数列-10，-6，-2，2，…前10项的和。

变式题：

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项和是54？

解：

设题中的等差数列为，前n项为

则

由公式可得

解之得：

（舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54

思考：

其实，在求和公式、通项公式中共有首项a1、公差d、项数n、末项an、前n项和sn五个元素，如果已知其中（三个），联列方程（组），就可求其余（两个）。

（知三求二）

练习一：

1、根据下列条件，求相应的等差数列前n项的和

（1）a1=100，d=－2，n=50

（2）a1=－4，a8=－18，n=8;（3）a1=14.5，d=0.7，an=32

2、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式.

例2、已知一等差数列有12项，a3+a10=4，求s12（能力提高）

练习二：

1、已知一等差数列中a5=10，则s9=（C）

A、45B、60C、90D、120

2、已知一等差数列中a3+a6+a9=－6，则s11=（B）

A、－11B－22C、0D、22、

想一想：

1、等差数列第k项与倒数第k项的和等于（首末两项的和）

2、等差数列有奇数项，那么前n项和等于（中间项乘以项数）

公式的变式：

三、课堂小结：

1、回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法；

2、倒序相加的方法，数形结合的思想；

3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。

四、作业布置：

1、预习新课

2、书面作业：

课本46页，习题2.3A组第2、3题

课题：

等差数列前n项的和

公式：

an=a1+（n-1）d

推导过程

例1

例2

【板书设计】

【教学设计说明】

一、情景引入1、以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。

2、因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，我设计了一个“试一试”：

假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？

目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。

我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。

二、两个探究

1、探究1，从特殊数列入手，让学生更好地体会“倒序相加法”的优点。

2、“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形，启发同学的思维，也是加深倒序法的感性认识。

3、探究2：

公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。

从情景引入到探究1、2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。

三、例题及习题的选择

例1及变式题到例2有一定梯度，例2有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。

练习一是基本运用，体现了一定的梯度，第二题是书本的例题，要鼓励学生用多种解法。

练习二体现了公式的灵活运用，更要突出解选择题的方法技巧。

练习题包含了三种题型，训练全面；能很好地让学生的能力得到逐步提升。

整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。

2008-12

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