名校精品解析系列份名校试题汇编K单元概率.docx
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名校精品解析系列份名校试题汇编K单元概率
K单元概率
目录
K单元概率1
K1 随事件的概率1
K2 古典概型1
K3 几何概型1
K4互斥事件有一个发生的概率1
K5相互对立事件同时发生的概率1
K6 离散型随机变量及其分布列1
K7 条件概率与事件的独立性1
K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布1
K9单元综合1
K1 随事件的概率
【数学理卷·2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）
（1）】19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
规定：
只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。
学生甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。
记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。
【知识点】概率；分布列与数学期望.K1,K6
【答案】【解析】
（1）
（2）的分布列为
数学期望为--
解析：
（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-------------4分
（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
，，
------------------9分
所以，的分布列为
数学期望为---------------------12分
【思路点拨】由题意可求出变量取各值时的概率，再列出分布列，根据公式求出数学期望即可.
【数学理卷·2015届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（201411）】13.袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为_____________.
【知识点】随事件的概率K1
【答案解析】记事件A为“第一次取到黑球”，事件B为“第二次取到白球”，
则事件AB为“第一次取到黑球、第二次取到白球”，依题意知P（A）=，P（AB）=×，
∴在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A）=．
故答案为：
．
【思路点拨】本题条件概率，需要做出第一次取到黑球的概率和第一次取到黑球、第二次取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果．
K2 古典概型
【数学理卷·2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】17.（本题满分12分）
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．
（I）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
【知识点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望.K2K6K8
【答案】【解析】（I）的最大值为，取得最大值的概率；
（Ⅱ）则随机变量的分布列为：
…
数学期望为2.
解析：
（I）、可能的取值为、、，………1分
，，
，且当或时，．
因此，随机变量的最大值为………………3分
有放回摸两球的所有情况有种……6分
（Ⅱ）的所有取值为．
时，只有这一种情况．
时，有或或或四种情况，
时，有或两种情况．
，，………………8分
则随机变量的分布列为：
………………10分
因此，数学期望………………12分
【思路点拨】（I）的表达式为，数组（x,y）有9个，且x、取值为、、，将x、y的取值代入的表达式得的最大值，据此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，从而求得的分布列和数学期望．
【数学文卷·2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）】19．（12分）新一届中央领导集体非常重视勤俭节约，从“光盘行动”到“节约办春晚”。
到饭店吃饭是吃光盘子或是打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”，政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取人进行了一次调查，得到如下统计表：
组数
分组
频数
频率
光盘族占本组比例
第1组
[25,30）
50
0.05
30%
第2组
[30,35）
100
0.10
30%
第3组
[35,40）
150
0.15
40%
第4组
[40,45）
200
0.20
50%
第5组
[45,50）
a
b
65%
第6组
[50,55）
200
0.20
60%
（1）求的值，并估计本社区[25,55）岁的人群中“光盘族”所占比例；
（2）从年龄段在[35,45）的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.求选取的2名领队分别来自[35,40）与[40,45）两个年龄段的概率。
【知识点】用样本估计总体；古典概型.I2K2
【答案】【解析】
（1）a=300，b=0.30；
（2）.
解析：
解：
（1）……1分
…2分
………3分
样本中的“光盘族”人数为：
…5分
样本中的“光盘族”所占的比例为：
…………6分
（2）年龄段在的“光盘族”的人数为人，年龄段在的“光盘族”人数为人，采用分层抽样方法抽取8人中的“光盘族”有3人，在的有5人，记中的3人为，的5人记为，则选取2人做领队有共28种…………10分
其中分别来自与两个年龄段的有：
共15种……11分
所以分别来自与两个年龄段的概率…………12分
【思路点拨】
（1）由，，
；
（2）先求出抽取的8人中，的“光盘族”有3人，的有5人，再用列举法写出从这8人中任取2人的所有情况，共28种，其中，分别来自与两个年龄段的有11种，由此得所求概率.
K3 几何概型
【数学文卷·2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，
其中，它可能随机在草原上任何一
处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，
则该丹顶鹤生还的概率是（）
A．B．C．D．
【知识点】概率K3
【答案】【解析】B解析：
过点作于点，在中，易知，
梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选
【思路点拨】几何概型，可分别求出各部分的面积再求出概率.
【数学文卷·2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）】8.已知菱形的边长为4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）
A.B.C.D.
【知识点】几何概型.K3
【答案】【解析】D解析：
以A、B、C、D为圆心1为半径的圆在菱形内的面积为:
（任意两圆相离），而菱形的面积为8，所以所求概率为，故选D.
【思路点拨】先求菱形中，到点A、B、C、D的某一个点的距离小于1的点构成图像的面积，然后利用几何概型求得概率.
K4互斥事件有一个发生的概率
K5相互对立事件同时发生的概率
K6 离散型随机变量及其分布列
【数学理卷·2015届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】17.（本题满分12分）
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．
（I）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
【知识点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望.K2K6K8
【答案】【解析】（I）的最大值为，取得最大值的概率；
（Ⅱ）则随机变量的分布列为：
…
数学期望为2.
解析：
（I）、可能的取值为、、，………1分
，，
，且当或时，．
因此，随机变量的最大值为………………3分
有放回摸两球的所有情况有种……6分
（Ⅱ）的所有取值为．
时，只有这一种情况．
时，有或或或四种情况，
时，有或两种情况．
，，………………8分
则随机变量的分布列为：
………………10分
因此，数学期望………………12分
【思路点拨】（I）的表达式为，数组（x,y）有9个，且x、取值为、、，将x、y的取值代入的表达式得的最大值，据此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，从而求得的分布列和数学期望．
【数学理卷·2015届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】18．（本小题满分12分）
2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。
甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：
毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素满足，且,该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．K6
【答案】【解析】
（1）35
（2）14（3）
解析：
（1）乙厂生产的产品总数为；…………………2分
（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；…………4分
（3），……………………5分，……8分
的分布列为
………………11分
均值…………………12分
【思路点拨】
（1）利用分层抽样方法能求出乙厂生产的产品总数．
（2）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量．（3）由题意知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值．
【数学理卷·2015届四川省成都外国语学校高三11月月考（201411）
（1）】19．（12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
规定：
只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。
学生甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。
记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。
【知识点】概率；分布列与数学期望.K1,K6
【答案】【解析】
（1）
（2）的分布列为
数学期望为--
解析：
（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-------------4分
（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
，，
------------------9分
所以，的分布列为
数学期望为
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