第6章不定积分练习Word文档下载推荐.docx
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（Jf（x）dx）=f（x）,dJf（x）dx=f（x）dx.（先积后导,形式不变）.
Jf'
（x）dx=f（X）+c,fdf（X）=f（X）+c.（先导后积，多个常数）
kH0时，Jkf（x）dx=kJf（x）dx
Kf（X）±
g（x））dx=Jf（x）dx±
Jg（x）dx.
J[kif（x）+k2g（x）]dx=kiJf（x）dx+k2Jg（x）dx.
（当ki=k2=0时，上式右端应理解为任意常数）.
[-x2dx
1+x
2
料dx.
2换元积分法与分部积分法
一.第一类换元法——凑微法：
544.4
由dsin2x=5sin2xdsin2x=5sin2x（sin2x）dx=10sin2xcos2xdx,
=J10sin42xcos2xdx=5fsin42x（sin2x）dx=5Jsin42xdsin2x
uzsin2x
=====5ju4du=u5+c=sin52x+c.引出凑微公式.
Thl若Jf（x）dx=F（x）+c,♦（x）连续可导，则Jf忡⑴沖'
（t）dt=FW（t）]+c.
该定理即为：
若函数g（t）能分解为g（t）=f[*（t）]*'
（t）,就有
Jg（t）dt=JfZ（t）]釈（t）dt=Jf[%t）]d叫t）
X边t）
===Jf（x）dx=F（x）+c=F^（t）]+c.
f（ax中b）mdx,m工T,a工0.
JseC（5-3x）dx.
1
凑法
Jcos3xcos2xdx=?
J（cosx+cos5x）dx
111
=-J（1-cosx）dx=••■=2（x--sin2x）
2x^f（xk）dx=1f（xk）d（xk）=丄f（u）du.特别地，有
kk
f（x2）xdx=丄f（x2）d（x2）=丄f（u）du和f电）dx=2f（以dJ匚.22
例9fxsinx2dx.
/=2fJ八"
==2arcsinJx+c.
JxQ-x）OxT
f（cosx）sinxdx=-f（cosx）dcosx=-f（u）du;
f（tgx）secxdx=f（tgx）dtgx=f（u）du.
f（arctgx）
1+x2
dx=f（arctgx）darctgx=f（u）du.
例一肘"
J時皿二譽.=
=2Jarctgtdarctgt=（arctgt）2+c=（arctg仮）2+c.
其他凑法举例：
=fd（secx+tgx）=in|secx+tgx|+c.、secx+tgx
tXzsint
J（1-x2dx===刖1-sin2tdsint=Jcos2tdt=
=-f（1+cos2t）dt+-sin2t+c,
2」24
引出拆微原理.
Th2设X=W（t）是单调的可微函数拼且W'
（t）H0；
又f[®
（t）]®
'
（t）具有原函数.贝y有
换元公式Jf（x）dx=[Jf[化t）W'
（t）dt]t少e
常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.
我们着重介绍三角代换和无理代换
1.三角代换:
的，目的是去掉根号.方法是：
令x=asint,（a:
>
0）,则
=3Jcos2udu孕+4sin2u+c-予csin讦一宁J2+2x—x2P
⑵正切代换:
正切代换简称为“切换”.是针对型如Ja2+x2（aA0）的根式施行
利用三角公式sec21-tg2t=1,即1+tg2t=sect,令
2j22x
X=atgt,dx=asectdt.此时有（a+x=asect,t=arctg-.变量还原时，常用a
所谓辅助三角形法.
例30
J2+x2
X=J2tgt,有dx=J2sec2tdt.禾悯例22的结果，并用辅助三角形，有
=ln（Jx2+2+xHc,c=c'
-lnJ2.
目的是去掉根号.方法是利用三角公式sec21-1=tg2t,令X=asect,有
Jx2-a2=atgt,dx=xsect寸gtdt.变量还愿时，常用辅助三角形法.解法一（用割换）I=====fse?
tgtdt=fcostdt=sint+c=1Jx2—1+c.
、secttgtx
解法二（凑微）参阅[1]P196E10.
2.
无理代换：
若被积函数是阪，坂,…，坂的有理式时，设n为口（1<
i<
k）的最
r応.从中解出例36
例37
匸严dx.
XIx
例38
fSinG,Px.
（给出两种解法）
例39
Jx3Jx2-1dx
t="
x2-4
5t?
可（t4+t2）dt=L+n+cV（x2—i）J1（x2—i）Jc.
本题还可用割换计算，但较繁.
3.双曲代换：
利用双曲函数恒等式ch2x-sh2x=1,令x=asht,可去掉
型如Ja2+x2的根式.dx=achtdt.化简时常用到双曲函数的一些恒等式，如:
ch2t=1（ch2t+1）,sh2t=1（ch2t—1）,sh2t=2shtcht.sh」x=ln（x+Jx2+1）.
.xYsht
例40JVa2+x2dx====.facht“achtdt=a2Jch2tdt=
22
aa■
—sh2t+——t+c=
=xJa2+x2+—In（X+Ja2+x2）+c.
本题可用切换计算
，但归结为积分Jsectdt，该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.
例41
T^x2
（例30曾用切换计算过该题.现用曲换计算）.
，J2+x2
厂Ldt=fdt=t+c'
=In”72cht，
莘+Jd+1+c'
w\2丿
./22
VX-a
=ln（X+Jx2+2）+c.
c=c'
TnJ2.
例32曾用割换计算过该题.现用曲换计算）.
解I叮ashtdt=gt=t+c'
=ln
、asht
倒代换
例43
■.i22‘
=ln|x+vx-a|+c.
=c'
-InIa|.
4.倒代换：
当分母次数高于分子次数
dx=-pdt.
t2
且分子分母均为“因式”时，可试用
XJx4
+x2
d（x2）
du
2x2Jx4+x2
2uJu2
vdt
dt
5万能代换
，応一Ei—1+
万能代换常用于三角函数有理式的积分
sinX=2sin-cos—
2tg|
2t
x2
1
F+c—旦+c.
|x|
x
（参[1]P194）.令tg2,就有
2xsec-2
1+t2
1-t2
cosx=
1+t
tg
2dt
1+t2'
例44f一dx
、1+cosx
t=tg-
解法
（用万能代换）
2dtE—t
"
dt+c吨弋
1+t2
解法二
（用初等化简）I二1f—d^=[sec-d（约=tgx+c.
2'
2X'
222
cos-
解法三
例45
（用初等化简，并凑微）
F1—cosx」r2」,dsinx
I=f厂dx=fcscXdI——2—=
1-cos2x"
sin2x
1x
=-ctgx++c=cscx-ctgx+c=tg—+c.
sinx2
.dO
1+sin+coS
tztg-
212dt
====丰厂2dt=f=In11+11+c=
一2t1-t21+t2'
t+1
1+t21+t2
=1n|tg5+1|+c.
代换法是一种很灵活的方法.
分部积分法:
Th3（分部积分公式）若u（x）与v（x）可导，不定积分Ju'
（x）v（x）dx存在,则Ju（x）v'
（x）dx
也存在拼有Ju（x）v（x）dx=u（x）v（x）+fu\x）v（x）dx,简写为Juvdx=uv+Ju'
vdx.
▼
将分部积分公式进行排列得分部积分算式
求导数求积分
规定：
斜向乘积带“+”是已经积出的函数，横向乘积带“一”是新的被积函数
:
对被积函数两因子之一争
.代价是另一因子用其原
.对“幕X”型的积分，
降次，或对“X”求导以使其成为代数函数.
函数介绍使用分部积分公式的一般原则.
1.幕XX型函数的积分：
分部积分追求的目标之一是取求导，以使该因子有较大简化，特别是能降幕或变成代数函数函数代替（一般会变繁）,但总体上应使积分简化或能直接积出使用分部积分法可使“幕”
注：
分部积分算式可以连续多次使用，所有的斜向乘积都是已经积出的函数，所带的符号是先“+”后依次交替出现；
只有最后的横向乘积才是被积函数，其所带符号与前一个斜向乘积所带的符号相反.
之一求导
到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来
解得
Va+x
=xJa+x2-1+a21nx+^^a^x2）+5
2
解得I=xVa^x2+ln（X+Ja2+x2）+c-
=secxtgx+ln|secx+tgx|-Jsecxdx,
311
解得Jsecxdx=-secxtgx+-1n|secx+tgx|+c.
3有理函数的不定积分及其应用
一有理函数的积分：
1.代数知识复习：
.
例1见教材
2.部分分式的积分：
例2见教材.
二.三角函数有理式的积分：
万能代换.
见教材.
某些无理函数的积分：
留为阅读.
一些不能用初等函数有限表达的积分：
见教材例以及
Je*dx,
sirx,dx
dx./——
xInX
11
f（ax+b）dx=—f（ax+b）d（ax+b）=—f（u）du.
aa
32
例57Jsecxdx=Jsecxsecxdx=Jsecxdtgx
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