第6章不定积分练习Word文档下载推荐.docx

1、（Jf（x）dx ） = f（x）, d Jf（x）dx = f （x）dx.（先积后导,形式不变）.J f （x）dx = f（X） + c, fdf（X）= f（X）+ c.（先导后积，多个常数）k H0时，Jkf （x）dx = k Jf（x）dxKf（X）g（x）dx= Jf （x）dx Jg（x）dx.J ki f （x） + k2g（x）dx = ki Jf （x）dx + k2 Jg（x）dx.（当ki = k2 = 0时，上式右端应理解为任意常数 ）.-x2dx1 +x2料dx. 2换元积分法与分部积分法一. 第一类换元法 凑微法：5 4 4 .4由 d sin 2x =5si

2、n 2xd sin2x=5sin 2x（sin2x）dx=10sin 2xcos2xdx,=J10sin4 2xcos2xdx = 5 fsin4 2x（sin 2x） dx = 5 Jsin4 2xdsin2xu zsin2x=5ju4du =u5+c =sin52x + c. 引出凑微公式.Thl 若 J f （x）dx = F（x） +c, （x）连续可导，则 J f忡沖（t）dt = FW（t） + c.该定理即为：若函数g（t）能分解为 g（t）= f*（t）*（t）,就有Jg（t）dt = Jf Z（t）釈（t）dt = Jf%t）d 叫t）X边t）=Jf（x）dx =F（x）+c

3、= F（t）+c.f（ax 中b）mdx, m 工 T, a 工0.JseC（5-3x）dx.1凑法Jcos3x cos2xdx = ? J （cosx + cos5x） dx1 1 1=-J（1-cosx）dx = =2（x-s in 2x）2 xf （xk）dx = 1 f （xk）d（xk）=丄 f （u）du.特别地，有k kf（x2）xdx =丄 f（x2）d（x2）=丄 f （u）du 和 f 电）dx = 2 f （以 d J匚. 2 2例 9 fxsinx2dx./ = 2 f J 八=2 arcs in Jx + c.JxQ-x） OxTf （cosx）sin xdx = -

4、f （cosx）d cosx = -f （u）du;f （tgx）sec xdx = f （tgx）dtgx = f （u）du.f （arctgx）1+x2dx = f （arctgx）darctgx = f （u）du.例一肘J時皿二譽.= 2Jarctgtdarctgt =（arctgt）2 +c=（arctg 仮）2 +c.其他凑法举例：= fd（secx+tgx）=in|secx + tgx|+c. 、secx +tgxt X zsin t J（1 -x2dx =刖1 -sin2 td sin t = Jcos2tdt =-f（1 +cos2t）dt + -sin2t +c,2 2

5、4引出拆微原理.Th2 设X =W（t）是单调的可微函数 拼且W （t） H0；又 f（t）（t）具有原函数.贝y有换元公式 J f（x）dx = J f 化t）W （t）dtt少e常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换:的，目的是去掉根号.方法是：令x=as int, （a:0）,则=3 Jcos2udu 孕 +4sin 2u +c -予csin讦一宁 J2+2x x2 P正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如 Ja2 +x2 （aA0）的根式施行利用三角公式sec21 -tg2t = 1,即1 +t

6、g2t = sec t,令2 j 2 2 xX =atgt, dx =asec tdt .此时有 （a+x =asect, t =arctg-. 变量还原时，常用 a所谓辅助三角形法.例30J2 + x2X = J2tgt,有dx = J2sec2tdt.禾悯例22的结果，并用辅助三角形，有=ln（Jx2 +2 + xHc, c =c-ln J2.目的是去掉根号.方法是利用三角公式 sec21 -1 = tg 2t,令X = asect,有Jx2 -a2 =atgt, dx=xsect寸gtdt.变量还愿时，常用辅助三角形法. 解法一（用割换）I = f se? tgt dt = fcostd

7、t =sint +c =1 Jx2 1 + c.、sec t tgt x解法二（凑微）参阅1 P196 E10.2.无理代换：若被积函数是 阪，坂,，坂的有理式时，设n为口（1 i k）的最r応.从中解出 例36例37匸严dx.XI x例38fSinG , Px.（给出两种解法）例39Jx3 Jx2 - 1dxt= x2 -45 t?可（t4+t2）dt=L+n+cV（x2i）J1（x2i）Jc.本题还可用割换计算，但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等式 ch2x-sh2x = 1,令x = asht,可去掉型如 Ja2 +x2的根式.dx = achtdt.化简时常用到双曲函数的一些恒等式

8、 ，如:ch2t =1（ch2t+1）, sh2t =1（ch2t 1）, sh2t = 2shtcht. shx = ln（x + Jx2 +1）. x Ysht例 40 JVa2 +x2dx = = = = .facht “achtdt = a2 Jch2t d t=2 2a a sh2t +t +c =xJa2 +x2 + In（ X + Ja2 + x2） + c.本题可用切换计算，但归结为积分Jsec tdt，该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.例41Tx2（例30曾用切换计算过该题.现用曲换计算）.，J2 +x2厂 L dt = fdt =t + c = In ” 72cht ，莘

9、+Jd+1 +cw 2丿./ 2 2VX -a=ln（X + Jx2 +2） +c.c = c Tn J2 .例32曾用割换计算过该题.现用曲换计算）.解 I 叮ashtdt = gt =t +c=ln、asht倒代换例43 . i2 2 =ln|x +vx -a | +c.=c -In I a |.4.倒代换：当分母次数高于分子次数dx = -pdt.t2,且分子分母均为“因式”时，可试用X Jx4+ x2d（x2）du2 x2 Jx4 +x22 uJu2vdtdt5万能代换，応一Ei1+万能代换常用于三角函数有理式的积分sin X =2si n-cos2tg|2tx21 F+c旦+c.|x

10、|x（参1P194）.令 tg 2 ,就有2 x sec - 21 +t21 -t2cosx = 1+ttg2dt1+t2例 44 f 一dx、1 +cosxt =tg-解法（用万能代换）2 dt Etdt+c吨弋1+t2解法二（用初等化简）I 二1 fd = sec-d（约=tgx+c.2 2 X 2 2 2cos -解法三例45（用初等化简，并凑微）, F 1 cosx r 2 ,dsinxI = f 厂 dx = fcsc X d I2=1-cos2x si n2x1 x=-ctgx + + c =cscx -ctgx + c =tg +c.si nx 2. dO1+sin +coSt

11、ztg-2 1 2 dt=丰 厂 2 dt = f = In 11 +11 +c =一 2t 1-t2 1+t2 t+11+t2 1+t2=1 n |tg 5 +1| +c.代换法是一种很灵活的方法 .分部积分法:Th3 （分部积分公式）若u（x）与v（x）可导，不定积分Ju（x）v（x）dx存在,则Ju（x）v（x）dx也存在 拼有 Ju（x）v（x）dx = u（x）v（x） + fu x）v（x）dx,简写为 Juvdx=uv+ Juvdx.将分部积分公式进行排列得分部积分算式求导数 求积分规定：斜向乘积带“ + ”是已经积出的函数，横向乘积带“一”是新的被积函数:对被积函数两因子之一争

12、.代价是另一因子用其原.对“幕X ”型的积分，降次 ，或对“ X ”求导以使其成为代数函数.函数介绍使用分部积分公式的一般原则 .1.幕X X型函数的积分：分部积分追求的目标之一是 取求导，以使该因子有较大简化，特别是能降幕或变成代数函数 函数代替（一般会变繁）,但总体上应使积分简化或能直接积出 使用分部积分法可使“幕”注：分部积分算式可以连续多次使用 ，所有的斜向乘积都是已经积出的函数 ，所带的符号是 先“ + ”后依次交替出现；只有最后的横向乘积才是被积函数 ，其所带符号与前一个 斜向乘积所带的符号相反.之一求导到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来解得Va +x=xJa +x2

13、-1 + a21 n x + ax2）+5 2 解得 I = xVax2 + ln（ X + Ja2 +x2） + c-= secxtgx + ln |secx+tgx| - Jsec xdx,3 1 1解得 Jsec xdx = - secxtgx + -1n | secx + tgx | +c. 3有理函数的不定积分及其应用一有理函数的积分：1.代数知识复习：.例1见教材2.部分分式的积分： 例2见教材.二.三角函数有理式的积分： 万能代换.见教材.某些无理函数的积分：留为阅读.一些不能用初等函数有限表达的积分：见教材例以及Je*dx,s i rx , dx dx. /x In X1 1f （ax +b）dx = f（ax+b）d（ax + b） = f （u）du.a a3 2例 57 Jsec xdx = Jsecx sec xdx= Jsecxdtgx