高三数学文函数yfx对称性与周期性关系人教版知识精讲Word文档格式.docx
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2（,0）
，
x2（0,
）
故f（x）
f（2
x）丄
1
x
x2
3]若f（x）
sin2xacos2x的图象关于直线
对称,
则a
8
A...2
B.
..2C
.1
D.1
由f（
x）f（8
x）
得sin2（x
acos2（x
8）
sin2（—
acos2（
8x）
sinq
2x）
acosq
cos（—
4
asin（—
cos2（x
asin2（x
才
即sin2（x
6）
asin2（x
a[cos2（x
sin2（x-）]
[cos2（x
sin2（x
8）]
o
2），则
［例
a1
x（,2）时，f（x）的解析式为
［例4］设f（x）对任意xR，满足f（3x）f（3x）且方程f（x）0恰有6个不同的
实根，则此六个实根之和为。
A.18B.12C.9D.0
依条件知f（x）图象关于直线x3对称，方程六个根必分布在对称轴x3两侧，
且两两对应以（3，0）点为对称中心，故x1x6x2x5x3x4236，所以
x1x2x63618，选A。
［例5］设f（x）满足
（1）f（x）f（2x），
（2）当x1时，f（x）是增函数，定义域xR，
则下列不等式成立的是（
A.
f（0）f（log
3）f[arccos
（1）]
■3
f（log、巧）
f（0）f[arccos
（1）]
C.
f（|og巧）
f[arccos
（1）]f（0）
D.
f[arccos
（1）]
f（0）f（log33）
由条件知f（x）图象关于直线x1成轴对称
f（0）f
（2）,f（log^3）f
（2）f（4）
又f[arccos
（1）]f（）及x1时f（x）递增
•••f（4）f（）f
（2），故选C
2.对称性与周期性的关系
（1）若函数yf（x）在R上的图象关于两条直线xa与xb（ba）对称，则f（x）为R上的周期函数。
（2）若函数yf（x）在R上的图象关于直线xa与点（b,c）（ba）对称，则f（x）为R上的周期函数。
证：
（1）因yf（x）图象关于xa及xb对称，则f（x）f（2ax）,
f（x）f（2bx），故f（x）f（2ax）f[2b（2ax）]f[（2b2a）x]得证
（2）由yf（x）图象关于xa对称，有f（x）f（2ax）①
又由yf（x）图象关于点（b,c）对称，有-一xb,-―—cx2bx
•yf（2bx）,2cy
f（2b
x）,
即2c
f（x）
f（2bx）
以2ax代x有f（2ax）
2a
x）2c
②
由①和②f（x）f（2ax）
2c
f（2b
2ax）
③
以2b2ax代x有f（2b
i2c
f（4b
4a
又由③式f（x）f[4（ba）x]得证
特别地，图象关于直线xa（a0）对称的偶函数必是周期函数
推论，定义在R上的函数f（x）满足f（ax）f（ax）（a0）
（1）当f（x）为偶函数时，f（x）是以2a为一个周期的周期函数。
（2）当f（x）为奇函数时，f（x）是以4a为一个周期的周期函数。
（1）f（x2a）f[a（ax）]f[a（ax）]f（x）f（x）
（2）f（x4a）f[a（x3a）]f[a（x3a）]f（x2a）
f（x2a）f[a（xa）]f[a（xa）]f（x）f（x）
f（x）；
[例1]已知定义在实数集R上的函数f（x）满足：
（1）f（x）f（x）；
（2）f（4x）
6,4]时，f（x）的解析式。
3）当x[0,2]时，f（x）x21，求x[
当x[4,2]时，x4[0,2]，f（x）f（x4）2（x4）12x7
［例3］函数f（x）定义在R上，且对一切xR满足f（2x）f（2x）,
f（7x）f（7x），设f（0）0,问方程f（x）0在区间［1000,1000］中至少有几个
实根。
依条件2（72）10为函数f（x）的周期，x4，x10均为f（x）0的根，
因此在区间（0,10］上至少有二个根
•/［1000,1000］［1000,990］（990,980］（990,1000］
由周期性可知x1000也为f（x）0的根
9901000
所以方程f（x）0在区间［1000,1000］中至少有2［1］1401
10
［例4］若偶函数f（x）,xR满足
（1）图象关于直线xa对称（a0）,
（2）在区间［0,a］上是减函数，求证f（x）以2a为最小正周期。
依条件知2a为函数f（x）的周期，假设函数f（x）还存在比2a更小的周期2b,
02b2a且f（x）f（x2b）f（x2a）
令x2b，则f（2b）f（0）f（2a2b）
（1）若02a2ba，则f（0）f（2a2b）与f（x）在［0,a］上是减函数矛盾
（2）若0a2a2b，即02ba时，f（0）f（2b）f（2b）与f（x）在［0,a］
上是减函数矛盾，所以2a是f（x）的最小正周期。
［例5］已知f（x）是定义在实数集R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，又知
（1）f（3）a
（a是常数）；
（2）g（x）f（x1）试求f（1999）的值。
分析：
条件
（2）即f（1x）f（1x），即f（x）关于点（1,0）对称
又由f（x）是偶函数，故f（x）是以4为周期的周期函数
由条件
（2）知f（1x）f（1x），令1xt，则f（t）f（2t）
f（t2），故f（t4）f（t2）f（t），即f（x）为以4为周期的周期函数，又由
199949943，所以f（1999）f（49943）f（3）a
【模拟试题】
（答题时间：
50分钟）
一.选择题（每小题5分，共50分）
1
1.函数f（x）的定义域为A函数g（x）J2|xa|的定义域为B,若
卞x3x4
AB，则实数a的取值范围是（）
A.2
B.2a1
C.1a
D.1a2
2.函数y
lOg0.5（x2
6x5）在区间
（m,m1）上递减，
则实数
m的取值范围是
（）
A.[3,5]
B.[2,4]
C.[1,4]
D.[1,2]
3.已知x,y
R，且2x
3y2y3x
，则x,y满足（
A.xy
B.xy0
C.xy0
D.x
y0
4.定义在R上的奇函数f（x）为减函数，设ab0，给出下列不等式:
（1）
f（a）f（a）
（2）
f（b）
f（b）
（3）
f（a）
f（b）
a）
（4）
其中正确的不等式序号是（
（1）
（2）
（1）（4）
（2）（4）
（1）（3）
5.偶函数f（x）loga|xb|在（0,）上单调递减，则f（b2）与f（a1）的大小关系为（）
A.f（b2）f（a1）B.f（b2）f（a1）
C.f（b2）f（a1）D.不能确定
6.已知定义域为R的函数f（x）满足a,bR有f（ab）f（a）f（b），且f（x）0，
若f
（1）2，则f
（2）（）
11
A.2B.4C.D.-
24
7.已知定义在
R上的偶函数f（x）在区间［0,
）上为增函数，且
f（-）0，则不等式
3
f（log1x）0的解集为（）
A.（0,2）
B.（2,）C.（。
2）
（2,）
D.（-,1）（2,）
8.已知函数
f（x）是R上的偶函数，且满足
f（x1）f（x）
1，当x[1,2]时,
f（x）2x，贝Uf（2005.5）（）
A.0.5B.1C.1.5D.1.5
9.函数yf（x）是（0,2）上的增函数，函数yf（x2）是偶函数，则下列结论中正
确的是（）
f（7）
14.已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，它们的定义域都为［,］，当x［0,］时,
它们的图象如下图，则不等式f（x）0的解集为
g（x）
15.
（1,1］内至少存在
已知二次函数f（x）4x22（p2）x2p2p1，若在区间
一个实数c，使f（c）0，则实数p的取值范围是。
16.设函数f（x）x|x|bxc,给出下列命题：
（1）c
0时，yf（x）为奇函数
b
0，c
0时，方程f（x）0只有一个实数根
y
f（x）的图象关于点（0,c）对称
方程
0至多两个实数根
上述四个命题中所有正确的命题序号为
三.解答题（共76分）
（1）若x[
3,3］都有f（x）g（x）成立，求k的取值范围;
（2）若x「x2［3,3］都有f（x1）g（x2）成立，求k的取值范围。
（满分12分）
（1）确定a的值，并证明f（x）在R上为增函数；
（2）若方程f（x）t在（，0）上有解，证明f（t）0。
a
21.已知函数f（x）满足f（logax）—（xx1），其中a0，且a1。
（1）对于函数f（x），当x（1,1）时，f（1m）f（1m2）0，求实数m的取值
范围；
（2）当x（,2）时，f（x）4的取值范围恰为（，0），求a的取值范围。
（满分
14分）
试题答案
12sin2x3
2asinx—
21若1a，则f（t）t22at1在[-,1]上
15
二ymaxf（~）4ayminf
（1）22a
•••B[22a,5a]•/BA
1a
22a—•-1a1综上所述：
a[―,1]
612612
18.解:
sinx3cosx4cosx3cosx3y
cosx2
定义域：
R
cosx
2，则t[3,1]且cosxt2
（t
2_3（t2）3tt1
t
1）
（t[
3,1]）
•/函数
g（t）
3,1]上
•••当t
3,
1］时，t
•函数
sin2x3cosx
4的值域为
19.
•••
2x3
5x24x
g（x）
6x2
10x
42（3x2
令
0得X1
，x23
（3,
+
5x2）
（
21
极大值
1,自
2（x1）（3x
f,3）
J极小值
8x2
16x
k在（，1）上J,在［1,）上f
（1）tx[3,3]都有f（x）g（x）成立
k45
f（3）g（3）
f（）g（）
33
f（3）g（3）
24k21
6428
k
927
120k111
（2）tx「X2[3,3]都有f（xjg（X2）成立
f（X）maxg（x）min，即f（3）120k21/•k141
-y
21
x在R上f
（2）v
f（x）在R上f,且当x（
0）时有u（1,2）,y（1,0）
•当x
0）时，yf（x）的值域为（
1,0）
-方程
t在（，0）上有解•••
1t0
•-f
（1）f（t）f（0）即1f（t）0
21.解：
（1）f（logax）—2（xx）（a0且a1）
设tlogax，则xatf（t）—◎a\
二f（x）~r（axax）
又•••f（
2“
（a:
xx
f（x）为奇函数
（1）T
当x
（1,1）
时，
f（1
m）
f（1m2）
•f（1
f（1
m2
）f
（m2
m1
m
.2
0且
a1都有yf（x）为其定义域上的增函数
m21
1m
（2）当x
（,2）时
•••F（x）
2）上f且值域为
0）
•F
（2）
f
（2）
4彳
aa1~2■2~
a1a
2■
a214aa2.3
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