高三数学文函数yfx对称性与周期性关系人教版知识精讲Word文档格式.docx

1、2 （ ,0），x 2 （0,）故 f （x）f（ 2x）丄1xx 23若 f （x）sin 2x acos2x的图象关于直线对称,则a8A. . 2B.2 C.1D. 1由f （x） f（ 8x）得 si n2（xacos2（x8）sin 2（acos2（8 x）sinq2x）acosqcos（4a sin（cos2（xa sin 2（x才即 sin2（x6）asin 2（xacos2（xsin 2（x -）cos2（xsi n2（x8）o2），则例a 1x （ , 2）时，f（x）的解析式为例4设f（x）对任意x R，满足f（3 x） f （3 x）且方程f（x） 0恰有6个不同的实根，则

2、此六个实根之和为 。A. 18 B. 12 C. 9 D. 0依条件知f （x）图象关于直线x 3对称，方程六个根必分布在对称轴 x 3两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故 x1 x6 x2 x5 x3 x4 2 3 6，所以x1 x2 x6 3 6 18，选 A。例5设f （x）满足（1）f （x） f （2 x），（ 2）当x 1时，f （x）是增函数，定义域x R，则下列不等式成立的是（A.f（0） f（log3 ） f arccos（ 1） 3f（log、巧）f （0） f arccos（ 1）C.f （|og 巧）f arccos（ 1） f （0）D.farccos（ 1）

3、f （0） f （log 3 3）由条件知f（x）图象关于直线x 1成轴对称f（0） f（2）, f（log3） f（ 2） f（4）又 farccos（ 1） f （）及 x 1 时 f （x）递增 f（4） f（ ） f （2），故选 C2.对称性与周期性的关系（1）若函数y f （x）在R上的图象关于两条直线 x a与x b （b a）对称，则f （x） 为R上的周期函数。（2）若函数y f （x）在R上的图象关于直线 x a与点（b,c） （b a）对称，则f （x）为 R上的周期函数。证：（1）因y f （x）图象关于x a及x b对称，则f （x） f （2a x）,f（x） f（

4、2b x），故 f（x） f （2a x） f2b （2a x） f（ 2b 2a） x得证（2）由y f （x）图象关于x a对称，有f （x） f （2a x）又由y f （x）图象关于点（b,c）对称，有-一x b , - c x 2b x y f （2b x） , 2c yf（2bx）,即2cf （x）f（2b x）以 2a x代 x 有 f （2a x）2ax） 2c由和 f （x） f （2a x）2cf （2b2a x）以2b 2a x代x有 f（2bi 2cf （4b4a又由式f（x） f 4（b a） x得证特别地，图象关于直线 x a （a 0）对称的偶函数必是周期函数推论

5、，定义在 R上的函数f（x）满足f（a x） f（a x）（a 0）（1）当f （x）为偶函数时，f （x）是以2a为一个周期的周期函数。（2）当f （x）为奇函数时，f （x）是以4a为一个周期的周期函数。（1） f（x 2a） fa （a x） fa （a x） f （ x） f（x）（2） f （x 4a） fa （x 3a） fa （x 3a） f（ x 2a）f （x 2a） fa （x a） fa （x a） f（ x） f（x）f （x） ；例1已知定义在实数集 R上的函数f （x）满足：（1）f（ x） f（x）；（ 2）f（4 x）6, 4时， f（x） 的解析式。3）当 x

6、 0,2时， f （x） x2 1，求 x 当 x 4, 2时， x 4 0,2， f（x） f（x 4） 2（x 4） 1 2x 7例3函数f（x）定义在R上，且对一切x R满足f（2 x） f（2 x）,f（7 x） f（7 x），设f （0） 0,问方程f （x） 0在区间1000,1000中至少有几个实根。依条件2 （7 2） 10为函数f（x）的周期，x 4，x 10均为f（x） 0的根，因此在区间（0,10上至少有二个根/ 1000,1000 1000, 990 （ 990, 980 （990,1000由周期性可知x 1000也为f（x） 0的根990 1000所以方程f（x） 0

7、在区间1000,1000中至少有2 1 1 40110例4若偶函数f （x） , x R满足（1）图象关于直线x a对称（a 0）,（ 2）在区间0,a 上是减函数，求证 f （x）以2a为最小正周期。依条件知2a为函数f（x）的周期，假设函数 f （x）还存在比2a更小的周期2b ,0 2b 2a 且 f （x） f （x 2b） f（x 2a）令 x 2b，则 f （ 2b） f （0） f （2a 2b）（1）若0 2a 2b a，则f （0） f（2a 2b）与f （x）在0,a上是减函数矛盾（2）若 0 a 2a 2b，即 0 2b a 时，f （0） f（ 2b） f （2b）与

8、f （x）在0,a上是减函数矛盾，所以 2a是f （x）的最小正周期。例5已知f（x）是定义在实数集 R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，又知（1） f （3） a（a是常数）；（2） g（x） f （x 1）试求 f（1999）的值。分析：条件（2）即f（ 1 x） f （ 1 x），即f（x）关于点（1,0）对称又由f （x）是偶函数，故f （x）是以4为周期的周期函数由条件（2）知 f（ 1 x） f（ 1 x），令 1 x t，则 f （t） f（ 2 t）f（t 2），故f（t 4） f（t 2） f（t），即f（x）为以4为周期的周期函数，又由1999 499 4 3，所以 f（

9、1999） f （499 4 3） f（3） a【模拟试题】（答题时间：50分钟）一.选择题（每小题5分，共50分）1 1.函数f（x） 的定义域为 A函数g（x） J2 |x a|的定义域为B,若卞x 3x 4A B ，则实数a的取值范围是（ ）A. 2B. 2 a 1C. 1 aD. 1 a 22.函数ylOg 0.5 （ x26x 5）在区间（m, m 1）上递减，则实数m的取值范围是（ ）A. 3,5B. 2,4C. 1,4D. 1,23.已知x, yR，且 2x3y 2 y 3 x，则x, y满足（A. x yB. x y 0C. x y 0D. xy 04.定义在R上的奇函数f （

10、x）为减函数，设a b 0，给出下列不等式:（1）f（a） f （ a）（2）f （b）f（ b）（3）f （a）f（b）a）（4）其中正确的不等式序号是（1）（ 2）（1）（ 4）（2）（ 4）（1）（ 3）5.偶函数f（x） loga | x b |在（0,）上单调递减，则f （b 2）与f（a 1）的大小关系 为（ ）A.f（b 2） f（a 1） B. f（b 2） f（a 1）C. f（b 2） f （a 1） D.不能确定6.已知定义域为R的函数f （x）满足 a,b R有f （a b） f （a） f （b），且f （x） 0，若 f （1） 2，则 f（ 2）（ ）1 1A.

11、2 B. 4 C. D.-2 47.已知定义在R上的偶函数f （x）在区间0,）上为增函数，且f （-） 0，则不等式3f （log 1 x） 0的解集为（ ）A.（0,2）B. （2, ） C. （。2）（2,）D. （-,1） （2,）8.已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x 1） f（x）1，当 x 1,2时,f（x） 2 x，贝U f （ 2005.5）（ ）A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 1.59.函数y f （x）是（0, 2）上的增函数，函数 y f（x 2）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）f（7）14.已知f （x）为偶函数，g（x）为奇函数，它们的定义

12、域都为,，当x 0,时,它们的图象如下图，则不等式 f（x） 0的解集为g（x）15.（1,1内至少存在已知二次函数f（x） 4x2 2（ p 2）x 2p2 p 1，若在区间一个实数c，使f（c） 0，则实数p的取值范围是 。16.设函数f（x） x | x | bx c ,给出下列命题：（1） c0时，y f（x）为奇函数b0， c0时，方程f（x） 0只有一个实数根yf （x）的图象关于点（0,c）对称方程0至多两个实数根上述四个命题中所有正确的命题序号为 三.解答题（共76 分）（1）若 x 3,3都有f （x） g（x）成立，求k的取值范围;（2）若 xx2 3,3都有f （x1）

13、g（x2）成立，求k的取值范围。（满分12分）（1）确定a的值，并证明f （x）在R上为增函数；（2）若方程f（x） t在（，0）上有解，证明 f（t） 0。a21.已知函数 f（x）满足 f（logax） （x x 1），其中 a 0，且 a 1。（1）对于函数f （x），当x （ 1,1）时，f （1 m） f （1 m2） 0，求实数m的取值范围；（2） 当x （ ,2）时，f（x） 4的取值范围恰为（，0），求a的取值范围。（满分14分）试题答案12 sin2 x 32a si nx 2 1 若 1 a ，则 f（t） t2 2at 1 在-,1上1 5二 ymax f （ ） 4 a

14、 ymin f（1） 2 2a B 2 2a,5 a / B A1a22a - 1 a 1 综上所述：a ,1 6 12 6 1218.解:sin x 3cosx 4 cos x 3cosx 3 ycosx 2定义域：Rcosx2，则 t 3, 1且 cosx t 2（t2_3（t 2） 3 t t 1t1）（t 3, 1）/函数g（t）3, 1 上当 t3,1时，t函数sin2 x 3cosx4的值域为19.2x35x2 4xg （x）6x210x4 2（3x2令0得X1，x2 3（3,+5x 2）（21极大值1,自2（x 1）（ 3xf,3）J 极小值8x216xk在（，1）上J,在1,）

15、上f（1）t x 3,3都有 f （x） g（x）成立k 45f（ 3） g（ 3）f（ ） g（）33f（3） g（3）24 k 2164 28k9 27120 k 111（2）t xX2 3,3都有 f（xj g（X2）成立f（X）max g（x）min，即 f（3） 120 k 21 / k 141-y2 1x 在R上f（2）vf（x）在R上f,且当x （,0）时有 u （1,2） , y （ 1,0）当x,0）时，y f （x）的值域为（1,0）-方程t在（，0）上有解 1 t 0- f（ 1） f（t） f（0） 即 1 f （t） 021.解：（1） f （log a x） 2 （x x ） （ a 0 且 a 1）设 t logax，则 x at f （t） a 二 f（x） r （ax a x）又 f （2 “（a :x xf （x）为奇函数（1）T当x（1,1）时，f （1m）f（1 m2） f（1f（1m2）f（m2m 1m.20且a 1都有y f （x）为其定义域上的增函数m2 11 m（2）当 x（,2）时 F（x）,2）上f且值域为,0） F（2）f（2）4 彳a a 1 2 2a 1 a2 a2 1 4a a 2 . 3