点线面的关系完整答案.docx

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点线面的关系完整答案

点线面的关系

一．选择题（共8小题）

1．下列命题正确的是：

（　　）

①三点确定一个平面；

②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；

③如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面；

④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面．

A．①③B．①④C．②④D．②③

2．已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题：

①若a∥b，b∥α，则a∥α；

②若a⊥b，b⊥α，c⊥α，则a⊥c；

③若a⊥b，b⊥α，则a∥α；

④若a∥b，b∥α，b⊂β，a∩β=c，则a∥c．

其中错误命题的序号是（　　）

A．①③B．②④C．③④D．①②

3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．给出下列命题：

①若m⊥α，m⊥n，则n∥α；②若m⊥β，n⊥β，则n∥m；③若m⊥α，m⊥β，则α∥β；④若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m；⑤α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n，则命题正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（　　）

A．B．C．D．

5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）

A．B．C．D．

6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（　　）

A．4B．5C．6D．7

7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

8．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ

③若m∥α，n∥α，则m∥n

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

其中正确命题的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题（共7小题）

9．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足　　时，有MN∥平面B1BDD1．

10．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为　　．

11．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′：

AA′=3：

4，则S△A′B′C′：

S△ABC=　　．

12．过平面外一点作该平面的平行线有　　条；平行平面有　　个．

13．若直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为　　．

14．若A∈α，B∉α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有　　个公共点．

15．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；

④若α∩β=m．n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β

其中正确确命题的序号是　　（把正确命题的序号都填上）

三．解答题（共15小题）

16．如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点．求证：

平面MNP∥平面A1BD．

17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．

（1）求证：

直线EF∥平面BC1A1；

（2）求证：

EF⊥B1C．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：

AF∥平面PCE；

19．如图，正三棱锥P﹣ABC中，E是边PC的中点，F是BC的中点．

求证：

（1）EF∥平面PAB．

（2）PA⊥BC．

20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点N在线段B1D1上，且D1N=2NB1，点M在线段A1B上，且BM=2MA1．求证：

MN∥平面AC1B．

21．如图所示，四凌锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，E．F，H分别AB，CD，PD的中点，求证：

平面AFH∥平面PCE．

22．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．

（1）求异面直线OC1与AB1所成的角的度数；

（2）证明：

面C1OD∥面AB1D1．

23．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1中点，求证：

AD⊥平面A1DC1．

24．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAC是直角三角形，∠PAC=90°，∠ACP=30°，平面PAC⊥平面ABC．

（1）求证：

平面PAB⊥平面PBC；

（2）若PC=2，求△PBC的面积．

25．如图，AD⊥平面APB，AD∥BC，AP⊥PB，R、S分别是线段AB、PC的中点．

（1）求证：

RS∥平面PAD；

（2）若AB=BC=2AD=2AP，点Q在线段AB上，且BQ=3AQ，求证：

平面DPQ⊥平面ADQ．

26．在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC=10．求证：

（1）AB⊥平面ACC1A1；

（2）AB⊥A1C．

27．已知D，E，F分别是三棱锥P﹣ABC的棱PA，PB，PC的中点，求证：

平面DEF∥平面ABC．

28．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱D1C1，B1C1，AB，AD的中点，求证：

平面D1B1A∥平面EFGH．

29．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为CC1的中点．

（1）求证：

BD⊥A1M；

（2）求证：

平面A1BD⊥平面MBD．

30．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，△ABC是正三角形，直线AA1⊥平面A1B1C1，D是棱A1C1的中点．

（1）求证：

B1D⊥平面AA1C1C；

（2）求证：

BC1∥平面AB1D．

一．选择题（共8小题）

1．C；2．A；3．B；4．C；5．C；6．C；7．C；8．B；

二．填空题（共7小题）

9．M在线段FH上；10．1；11．9：

49；12．无数；1；13．l∥α或l⊂α；14．1；15．①④；

三．解答题（共15小题）

16．

【解答】证明：

如图，连接B1C，B1D1，

在△B1C1C中，M，N分别为C1C，B1C1中点，则MN∥B1C，

在正方体AC1中，A1B1∥CD且A1B1=CD，

所以四边形A1B1CD为平行四边形．

所以A1D∥B1C，所以MN∥A1D…（4分）

又MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD．

所以MN∥平面A1BD…（6分）

同理可证PN∥平面A1BD…（8分）

又因为MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN=N，

所以平面MNP∥平面A1BD．…（10分）

17．

【解答】证明：

（1）由题知，EF是△AA1B的中位线，

所以EF∥A1B……………（2分）

由于EF⊄平面BC1A1，A1B⊂平面BC1A1，

所以EF∥平面BC1A1．……………（6分）

（2）由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1．……（8分）

又∠A1C1B1=∠ACB=90°，所以A1C1⊥C1B1．

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1⊂平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1，

又CC1∩C1B1=C1，CC1，C1B1⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，

又B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C..……………（10分）

因为A1C1∩BC1=C1，A1C1，BC1⊂平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1．……………（12分）

又A1B⊂平面BC1A1，所以B1C⊥A1B．

又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C．……………（14分）

18．

【解答】证明：

取PC的中点G，连结EG、FG，

∵F，G分别是PD、PC的中点，∴FGCD，

∵ABCD，E是AB的中点，∴AECD，

∴FGAE，∴四边形AEGF是平行四边形，

∴AF∥EG，

∵AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，

∴AF∥平面PCE．

19．

【解答】证明：

（1）∵正三棱锥P﹣ABC中，E是边PC的中点，F是BC的中点．

∴EF∥PB，

∵EF⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）∵正三棱锥P﹣ABC中，F是BC的中点．

∴PB=PC，AB=AC，

连结PF、AF，则PF⊥BC，AF⊥BC，

∵AF∩PF=F，∴BC⊥平面APF，

∵PA⊂平面APF，∴PA⊥BC．

20．

【解答】证明：

过点M作ME⊥BB1，垂足为E，连接NE，

则由题意得Rt△BME∽Rt△BA1B1，

∵BM=2MA1，∴BE=2B1E，

∵D1N=2NB1，∴Rt△B1NE∽Rt△B1D1B，

∴NE∥D1B，

∵ME⊥BB1，AB⊥BB1，∴ME∥AB，

∵NE∩ME=E，D1B∩AB=B，且NE∥D1B、ME∥AB，

∴面MNE∥面ABC1D1，面ABC1⊂面ABC1D1中，

即面MNE∥平面AC1B，

∴MN∥平面AC1B．

21．

【解答】证明：

四凌锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，E．E分别AB，CD的中点，可得，四边形AECF是平行四边形，

所以EC∥AF，

H是PD的中点，

可得PC∥HF，

∵PC∩EC=C，

AF∩HF=F，

∴平面AFH∥平面PCE．

22．

【解答】

（1）解：

连接DC1，C1B，

∴ADC1B1是平行四边形．

∴AB1∥DC1，

∴∠DC1O为AB1与C1O所成的角．

∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，

∴DC1=C1B=BD．

又O是BD的中点，

∴∠DC1O=30°

∴异面直线AB1与C1O所成角为30°；

（2）证明：

连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1

∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，

∴A1A∥CC1，且A1A=CC1，

∴A1ACC1是平行四边形，

∴A1C1∥AC且A1C1=AC．

又O1，O分别是A1C1，AC的中点，

∴O1C1∥AO且O1C1=AO，

∴AOC1O1是平行四边形．

∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，

∴C1O∥平面AB1D1．

∵BDD1B1是平行四边形，

∴D1B1∥DB，

∵D1B1⊂面AB1D1，DB⊄面AB1D1，

∴DB∥平面AB1D1．

∵DB∩C1O=O，

∴面C1OD∥面AB1D1．

23．

【解答】证明：

∵AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1

又A1C1⊥A1B1，

∴A1C1⊥平面A1B1BA

∴AD⊥A1C1

∵AD=，A1D=，AA1=2，

由AD2+A1D2=，

得A1D⊥AD

∵A1C1∩A1D=A1

∴AD⊥平面A1DC1

24．

【解答】

（1）证明：

∵平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=90°，

∴PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∵AB∩P