学年 华东师大版七年级下册数学教案 第8章 一元一次不等式.docx

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学年华东师大版七年级下册数学教案第8章一元一次不等式

第8章　一元一次不等式

8．1　认识不等式

1．能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式．

2．正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语．

3．理解不等式的解的意义，能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否是某个不等式的解．

重点

理解并会用不等式表达数学量之间的关系，知道不等式的解的意义．

难点

不等号的准确应用；不等式的解．

一、创设情境，问题引入

问题：

世纪公园的票价是：

每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元．某班有27名少先队员去世纪公园进行活动．当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票．但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

那么，究竟李敏的提议对不对呢？

是不是真的“浪费”呢？

二、探索问题，引入新知

同学们的探索过程如下：

买27张票，付款：

5×27＝135（元）；

买30张票，付款：

4×30＝120（元）．

显然120<135.

这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上节省了．

思考：

（1）我们只用120元就买了30张票，买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，那么剩下的3张票如何处理呢？

（2）买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说任何情况下都是多买票反而花钱少？

（3）至少要有多少人去参观，多买票反而合算呢？

能否用数学知识来解决？

设有x人要进世纪公园，如果x≥30，显然按实际人数买票，每张票只要付4元．如果x<30，那么：

按实际人数买票x张，要付款5x（元），

买30张票，要付款4×30＝120（元），

如果买30张票合算，那么应有120<5x.

现在的问题就是：

x取哪些数值时，上式成立？

前面已经算过，当x＝27时，上式成立．让我们再取一些值试一试，将结果填入课本P51页的表格中．

由上表可见，当x＝________时，不等式120<5x成立．也就是说，少于30人时，至少要有________人进公园时，买30张票反而合算．

像上面出现的120<135，x<30，120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式．

不等式120<5x中含有未知数x.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．

（1）4＜5；

（2）x2＋1＞0；

（3）x＜2x－5；

（4）x＝2x＋3；

（5）3a2＋a；

（6）a2＋2a≥4a－2.

分析：

根据不等式的定义对各小题进行逐一判断即可．

解：

（1）4＜5是不等式；

（2）x2＋1＞0是不等式；

（3）x＜2x－5是不等式；

（4）x＝2x＋3是方程；

（5）3a2＋a是代数式；

（6）a2＋2a≥4a－2是不等式．

故

（1），

（2），（3），（6）是不等式．

点评：

熟知用不等号连结的式子叫不等式是解答此题的关键．

【例2】用适当的符号表示下列关系：

（1）x的与x的2倍的和是非正数；

（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；

（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；

（4）明天下雨的可能性不小于70%；

（5）小明的身体不比小刚轻．

分析：

（1）非正数用“≤0”表示；

（2），（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；

（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；

（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．

解：

（1）x＋2x≤0；

（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300；

（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a＋4b≤268；

（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；

（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b.

点评：

一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：

＞，＜，≤，≥，≠.

三、巩固练习

1．给出下面5个式子：

①3＞0；②4x＋3y≠0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2≤3，其中不等式有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是（　　）

A．两种客车总的载客量不少于500人

B．两种客车总的载客量不超过500人

C．两种客车总的载客量不足500人

D．两种客车总的载客量恰好等于500人

3．x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为________．

4．下列各数：

0，－3，3，4，－0.5，－20，－0.4中，________是方程x＋3＝0的解；________是不等式x＋3＞0的解；________是不等式2x＋3＜x的解．

5.用不等式表示.

（1）x的与5的差小于1；

（2）x与6的和大于9；

（3）8与y的2倍的和是正数；

（4）a的3倍与7的差是负数；

（5）x的3倍大于或等于1；

（6）x与5的和不小于0.

四、小结与作业

小结

通过本节课的学习你有什么收获？

取得了哪些经验教训？

还有哪些问题需要请教？

作业

1．教材第52页“习题8.1”中第1，2题．

2．完成练习册中本课时练习．

本节教学过程中，始终通过师生互动，鼓励学生积极思考，努力探索，合作交流，关注学生能否发现问题，提出问题，能否敢于发表自己的见解，吸取正确的见解；关注学生学习过程中表现的学习习惯、个性品质、情感态度等.通过游戏、分组竞赛等激发学生的积极性，培养团队精神．通过例题和闯关游戏，检测学生学习情况，及时反馈调节；通过不同层次的变式题，评价各层学生的学习效果，增强学习信心．留给学生思考、探究的时间和空间．对学生回答是否正确、全面都给予及时的肯定和鼓励，时刻注意激发学习内驱力，确保学生学得更多、更快、更好！

总之，本节教学既贴近生活，又超越生活，既努力从生活中来，又努力到生活中去，实现了：

生活世界、数学世界、教学世界的融会贯通！

8．2　解一元一次不等式

8．2.1　不等式的解集

1．使学生掌握不等式的解集的概念，以及什么是解不等式．

2．使学生能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来，初步理解数形结合的思想．

重点

1．认识不等式的解集的概念．

2．将不等式的解集表示在数轴上．

难点

不等式的解集的概念．

一、创设情境，问题引入

问题1：

已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．

（1）n－m______0；　　　

（2）m＋n______0；

（3）m－n______0;（4）n＋1______0；

（5）m·n______0;（6）m＋1______0.

问题2：

下列各数中，哪些是不等式x＋2>5的解？

哪些不是？

－3，－2，－1，0，1.5，3，3.5，5，7

二、探索问题，引入新知

在上面问题2中，我们发现3.5，5，7都是不等式x＋2>5的解．由此可以看出，不等式x＋2>5有许多个解．

进而看出，大于3的每一个数都是不等式x＋2>5的解，而不大于3的每一个数都不是不等式x＋2>5的解．由此可见，不等式x＋2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x＋2>5的解集．

结论：

一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

不等式x＋2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示．

同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图所示．

观察讨论：

这两条折线所指的方向为什么不同？

它们有什么规律吗？

数轴上空心的圆点和实心的圆点是什么意义？

结论：

不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于在左边，大于在右边．当不等号为“>”“<”时用空心圆圈，当不等号为“≥”“≤”时用实心圆圈．

【例1】在数轴上表示下列不等式的解集：

（1）x＜－2；

（2）x≥1；

分析：

（1）在－2处用空心圆点，折线向左即可；

（2）在1处用实心圆点，折线向右即可．

解：

（1）如图所示：

（2）如图所示：

点评：

熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．

【例2】在数轴上表示不等式－4≤x＜1的解集，并写出其整数解．

分析：

根据“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线，可得答案．

解：

在数轴上表示不等式－4≤x＜1的解集，如图：

整数解为：

－4，－3，－2，－1，0.

点评：

不等式的解集在数轴上表示出来的方法：

“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

三、巩固练习

1．方程3x＝6的解有________个，不等式3x<6的解有________个．

2．在数轴上表示下列不等式的解集．

（1）x＞－4；

（2）x≤3.5；

（3）－2.5＜x≤4.

3．请用不等式表示如图的解集．

（1）　

（2）　

（3）　

（4）　

（5）　

四、小结与作业

小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

作业

1．教材第61页“习题8.2”中第2，3题．

2．完成练习册中本课时练习．

本节课属于一节概念课，按照“情境诱导—学生自学—展示归纳—巩固练习”的步骤进行．但从教学中来看，部分学生不会自学，个别学生不积极参与到小组活动之中．通过本节课的教学让我深深认识到，作为一名数学教师，要想让自己的学生出类拔萃，一定要在平时培养学生的自学习惯，自学能力，表达能力，教师要舍得时间，不能急躁．

8．2.2　不等式的简单变形

1．通过本节的学习让学生在自主探索的基础上，联系方程的基本变形得到不等式的基本性质．

2．掌握一次不等式的变形求解一元一次不等式基本方法．

3．体会一元一次不等式和方程的区别与联系．

重点

掌握不等式的三条基本性质．

难点

正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．

一、创设情境、复习引入

复习等式的基本性质一：

在等式的两边都________或________同一个________或________，等式仍然成立．

等式的基本性质二：

在等式的两边都________或________同一个________，等式仍然成立．

不等式有哪些基本性质？

解一元一次方程有哪些基本步骤呢？

一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类似呢？

二、探索问题，引入新知

在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形．在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的变形规律．

如图，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a＋c>b＋c）．

结论：

不等式的性质1：

如果a>b，那么a＋c>b＋c，a－c>b－c.

这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变．

思考：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？

试一试：

将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”，“>”或“＝”填空：

7×3________4×3，

7×2________4×2，

7×1________4×1，

7×0________4×0，

7×（－1）________4×（－1），

7×（－2）________4×（－2），

7×（－3）________4×（－3），

……

从中你能发现什么？

结论：

不等式