1一次函数与反比例函数.docx

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1一次函数与反比例函数

第一讲：

一次函数与反比例函数

知识梳理

一.一次函数：

1.正比例函数：

一般地，形如的函数叫做正比例函数，

2.正比例函数的图像是一条经过原点的直线。

3.正比例函数的性质：

当时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；

当时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小。

4.一次函数：

形如的函数，叫做一次函数。

5.一次函数的图像和性质：

图像

增减性

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

直线与x轴交点坐标为

与y轴交点坐标为

与坐标轴围成的三角形面积：

6.常用直线的表达式：

（1）平行于x轴的直线；

（2）平行于y轴的直线；

（3）x轴；

（4）y轴；

（5）一、三象限角坐标轴夹角平分线解析式；

（6）二、四象限角坐标轴夹角平分线解析式；

（7）过原点且与x轴夹角的直线解析式；

（8）过原点且与y轴夹角的直线解析式；

答案：

（1）

（2）（3）（4）x=0（5）y=x

（6）y=－x

（7）

（8）

7.直线与直线

当k与b满足条件时，两直线平行；

当k与b满足条件时，两直线重合；

当k与b满足条件时，两直线相交；

当k与b满足条件时，两直线垂直；

若两直线相交，求交点坐标。

答案：

且；且；；；

8.如图，在直线L上找一点，使它到点A和点B的距离和最小。

答案：

PA+PB=

9.如图，从点A出发，先到直线上某一点，然后再到直线上某一点，最后回到点B，请你确定最短路线。

答案：

二.反比例函数：

1.反比例函数的三种表达形式：

①；②；③（其中k是不等于零的常数）

2.反比例函数的性质：

反比例函数中，

当k>0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

当k<0时，图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

3.反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴有两条，即直线y=±x。

4.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点；

5.过原点的直线与反比例函数图像的两个交点关于原点对称。

6.反比例函数图象上到原点距离最近的点是它与对称轴的交点。

7.的几何意义：

反比例函数的图象上任意一点向两条坐标轴引垂线，那么以这点、两垂足及原点为顶点的矩形面积等于。

【典型例题】

[例1]已知一次函数的图像不经过第一象限，则m的取值范围是_______。

[例2]在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线与的交点为整点时，k的值可以取_____个。

[例3]

（1）直线与直线与x轴围成的三角形面积为；

（2）直线与直线与y轴围成的三角形面积为；

（3）直线与坐标轴围成的三角形面积为。

[例4]如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线AM的解析式为________。

[例5]如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A（，），B（，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________。

[例6]如图，矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，

且OB:

OD=5：

3，则k=_________。

[例7]如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=_______

[例8]两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2009在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2009，纵坐标分别是1，3，5，…，共2009个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2009分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2009（x2009，y2009），则y2009＝。

[例9]如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=900，如果在第二象限内有一点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值。

[例10]直线y=kx（k≠0）与双曲线交于点，且；点在双曲线上，且，求的取值范围。

[例11]如图，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4。

（1）求k的值；

（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

（3）过原点O的另一条直线L交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），且由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形的面积为24，求点P的坐标。

[例12]已知：

在矩形中，，。

分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系。

是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点。

（1）求证：

与的面积相等；

（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：

是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

典型例题答案

例1：

答案：

解析：

例2：

答案：

6

解析：

例3：

答案：

（1）

（1）（3）

解析：

（1）

（2）

（3）

例4：

答案：

解析：

∴M（0，3），A（6，0）

例5：

答案：

20

解析；

例6：

答案：

12

解析：

，，

例7：

答案：

2

解析：

①双曲线与BC的交点E也是BC边的中点

②

③由已知，∴k=2，

④过点B的双曲线的解析式为

例8：

答案：

解析：

要求，∵

只要求，∴

只要求∴

而

例9：

解：

A（），B（0，1），AB=2

∴∴

例10：

解：

∵∴∴∵∴

∵∴

∴∴

①当k=6时，

∴

②当

∴

例11：

解：

（1）在中，当x=4时，y=2。

∵点A横坐标为4，且A点在直线上

∴点A的坐标为（4，2）

∵A点的双曲线的图象上

∴

（2）如图所示，过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F

∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1

∴点C的坐标为（1，8）

∵点C、A都在双曲线上

∴∴

∴

∵∴

（3）∵反比例函数图象是关于原点O中心对称的图形

∴OP=OQ，OA=OB∴四边形APBQ是平行四边形

∴

设P点横坐标为（m>0且），则P（m，）

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F

∵点P、A在双曲线上∴

若，如图

∵

∴，∴

解得m=2或m=－8（舍去）∴P（2，4）

若，如图

∵∴

∴

解得或（舍去）

∴P（8，1）∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）

说明：

此题是反比例函数和一次函数以及四边形的综合题，考查学生灵活驾驶所学知识解决问题的能力。

例12：

（1）证明：

设，，与的面积分别为，，由题意得，

，

，即与的面积相等

（2）由题意知：

两点坐标分别为，

当时，有最大值

（3）解：

设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为

由题意得：

，，

，

又

．

，

，，解得

存在符合条件的点，它的坐标为

【模拟试题】

一.选择题：

1.设，将一次函数与的图象画在平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）

2.已知，并且p，则直线一定通过（）

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

3.下列图象中，不可能是关于x的一次函数的图象的是（）

4.已知一次函数，当时，对应的y值为，则的值为（）

A.4B.－6C.－4或21D.－6或14

5.如图，一次函数的图象经过A、B两点，则的解集是（）

A.x>0B.x>2C.x>－3D.－3

6.已知，且，则函数与在同一坐标系中的图象不可能是（）

7.如图，已知A是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）

A.2B.C.D.

8.函数与在同一坐标系中的图象可能是（）

9.如图，正方形OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数的图象上，则点E的坐标是（）

A.B.

C.D.

10.如图，P是函数图象上一点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥Ox轴于M，交AB于E，PN⊥Oy轴于N，交AB于F，则AF·BE的值为（）

A.2B.C.1D.

二.填空题：

1.若一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是。

2.设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（n=1，2，…，2005），则S1+S2+…+S2005的值为（）

3.如图，一次函数的图象过点P（1，4），且分别与x轴、y轴的正半轴交于点A、B，当△AOB的面积最小时，的值为。

4.函数与的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那么使的值都大于零的x的取值范围是。

5.在平面直角坐标系中，已知A（），O（0，0），C（，0）三点，AE平分∠OAC，交OC于E，则直线AE对应的函数表达式是。

6.如图，是反比例函数在第一象限内的图象，且过点A（2，1），与关于x轴对称，那么图象的函数解析式为（x>0）。

7.如图，函数与的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥y轴于C点，则△BOC的面积为。

8.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是

。

9.已知双曲线经过点（－1，3），如果A（），B（）两点在该双曲线上，且，那么。

10.如图，△P1OA1、△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2在函数的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是。

三.解答题：

1.如图，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象。

（1）用表示出A、B、P点的坐标；

（2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB=2。

试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式。

2.有一个Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数的图象上，求C点的坐标。

【试题答案】

一.

1.B

解析：

两直线交点为（1，），可排除A、C

2.B

解析：

或

3.C4.D5.C6.B7.C8.A9.A

10.C

解析：

设P（），AF=，BE=，AF·BE=

二.

1.2.

解析：

，原式

3.4.5.6.7.2

8.1；29.<10.A2（）

三.

1.

（1）A（），B（），由得

∴

（2）Q（0，n），，又AB=2

得，解得，从而知PA的解析式为，PB的解析式为，P点坐标为（）

2.共有四种情况，