浙江专升本高等数学真题Word格式.docx
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4、已知f（x）在a,b上连续，则下列说法不正确的是（B）
A、已知
b
a
f（x）dx0
，则在a,b上，f（x）0
B、
d2x
dx
f（t）dtf（2x）f（x），其中x,2xa,b
C、f（a）f（b）0，则a,b内有使得f（）0
D、yf（x）在a,b上有最大值M和最小值m，则
m（ba）f（x）dxM（ba）
2x2
A.由定积分几何意义可知，f（）0，f（x）dx
为f（）在a,b上与x轴围成2x
2x
的面积，该面积为0f（）0，事实上若f（x）满足
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连续
非负f（x）0（axb）
f（x）dx0
dx
B.f（x）dx2f（2x）f（x）dx
C.有零点定理知结论正确
D.由积分估值定理可知，xa,b，mf（x）M，
bbbb
则mdxf（x）dxMdxm（ba）f（x）dxM（ba）
aaaa
5、下列级数绝对收敛的是（C）
A、
n1
（
n
1）
1
B、
ln（
C、
cosn
39
nn
D、
A.lim1
，由
发散
ln（1n）1
B.limlimlim0
n1n
ln（1n）
n1ln（1n）
C.
2n
n9
9
，而
3
=1，由
12
收敛
D.
二、填空题
6、
lim（1asin
x）
e
lim（1
asinx）
ln（1asinx）
1asinx
limlim
x1
0xx0
ee
acosx
f（3）f（32x）
7、lim3
xsin
，则
f（3）
f（3）f（32x）f（32x）f（3）
lim2lim2f（3）3
sinx2x
8、若常数a,b使得lim（cosxb）5
2x
x0e
，则b9
sinxx（cosxb）
lim（cosxb）lim5
2x2x
xea
0ea
所以根据洛必达法则可知：
1a0,a1
x（cos
b）
cos
1b
5,b92
9、设
yt
ln（1t）
arctant
dy
，则t11
dx
dy
dt
t
（1
t）
，t11
2y2
10、yf（x）是x10所确定的隐函数，则
d
y
方程两边同时求导，得：
2x2yy0，
y，
2yy
方程2x2yy0同时求导，得：
1（y）0，将
y带入，
则得，1（）0
2122
dyxy
，3
23
dxyyy
11、求
y的单增区间是（1,1）
1x
2
令y0，则x1，1x1
1k
12、求已知f（x）dxeC，则limf（）
n0n
k
e1
11
limf（）f（x）dxf（x）dx（eC）e1
nnn00
k0
13、dx
e（ln）2
xx
111
dxdlnx1
2ee
ex（lnx）（lnx）lnx
14、由
yx：
y1,x2围成的图形面积为
4
A
2dxx3x
x1）（）
15、常系数齐次线性微分方程y2yy0的通解为
y（C1C2x）e（C1C2为任意常
数）
2r
特征方程：
r210，特征根：
r1r21
通解为
y（C1C2x）e（C1C2为任意常数）
三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共
60分）
16、求
xln（1sin）
xx2x
eee12x2x
limlimelimlim20ln（1sinx）ln（1sinx）sinxx
17、设
y（x）（1sinx），求y（x）在x处的微分
y（x）（1sinx）
lnyxln（1sinx）
yln（1sinx）x
sin
dy[ln（1sinx）
]（1
将x代入上式，得微分dydx
18、求
5
1cosxdx
π
|sinx|dx
π2345
sinxdx（sinx）dxsinxdx（sinx）dxsinxdx0234
cosx
234
|0cosx|cosx|cosx|cosx
|
10
19、求arctanxdx
令，dx2tdt
xt，则xt
222
arctantdttarctanttdarctant
22
tarctantt2
1t
dt
arc
tant
1t1
1t
tarctant
（1）
tarctanttarctan
tc
则原式
xarctanxxarctanxc
xxcosx1
20、dx
（）
-14
54x
xcosx
14
为奇函数，
该式不代入计算
5t
令
t54x，则x
tdt
4
该式t）dt
8
2）dt
113
5tt）|
83
6
21、已知
2xb,x0
f（x）在x0处可导，求a,b
ln（1ax）,x0
f（x）在x0处可导
f（x）x0处连续
在
f（x）
limf（x）f
（0）
f（x）0,
limf（x）
b0
ln（1ax）
limf（x）lim
xx0
a2
xt1
22、求过点A（1,2,1）且平行于2x3yz70又与直线yt3
相交的直线方程。
z2t
直线过点A（1,2,1），因为直线平行于平面，所以Sn，n（2,3,1），
设两条直线的交点P（t1,t3,2t），所以SPA（t,t1,2t1），
所以2t3t32t10，t4，P（3,7,8），所以PA（4,5,7），
所以直线方程为
1y2z
457
。
3x2x
23、讨论f（x）x231极值和拐点
3xx
f（x）x231
（1）f（x）的极值
f'
（x）x
令f'
（x）0，则x11,x23
列表如下：
（1（3
，），）
x1（1，3）3
（x）+0-0+
f（x）极大值极小值
所以极大值为
17
f
（1）231，极小值f（3）1
33
（2）f（x）的拐点
f（x）2x4令f（x）0则x2
x（，2）2（2，）
（x）-0+
f（x）凸拐点凹
拐点为
2,。
四、综合题（本大题共3大题，每小题10分，共30分）
24、利用
nxn
，
（1）将函数ln（1x）展开成x的幂级数
（2）将函数ln（3x）展开成x2的幂级数
（1）令f（x）ln（1x），f
（x），当x（1,1）时，
1）nxn
nxn
xxx
nnn
f（t）dtf（0）dt
（1）tdt
（1）
00n
t0
n0n0
当x1时，级数发散；
当x1时，级数收敛，故收敛域为1,1。
x2x2
（2）ln（3x）ln[5（x2）]ln[5
（1）]ln5ln
（1）
55
ln5（
n0
n1x2
1）（）ln5
1n50
（x
2）
（n
x2
其中，113x7
25、f（x）在1，上导函数连续，f（x）0，已知曲线f（x）与直线x1,xt（t1）及
x=1（t1）及x轴所围成的去边梯形绕x轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的t倍，
求f（x）
S
f
（x）dx，Vf（x）dx
由题意知，
tt
2（）（），求导得，得2（t）f（x）dxtf（t）
xdxtfxdxf2（）（），求导得，得2（t）f（x）dxtf（t）
再求导，得2f（t）f（t）f（t）f（t）tf（t）
即2f（t）tf（t）2f（t）f（t），则2yty2yy，2y（2yt）y，
2y
1111
3
112
dydy
2y2y
P（y），Q（y）1，te（edyC）（yC）
2yy3
2f
由f
（1）f
（1）
（1）1，带入得
C，故曲线方程为
3x2y。
26、f（x）在a,b连续且（a,f（a））和（b,f（b））的直线与曲线交于（c,f（c））（axb），证
明：
（1）存在f
（1）f
（2）
（2）在（a,b）存在f（）0
解法一：
（1）过（a,f（a））,（b,f（b））的直线方程可设为：
yf
f（b）f（a）
（c）（xc）
ba
所以可构造函数：
F（x）f（x）x
所以F（a）F（b）F（c）
又因为f（x）在a,cc,b连续可导的，则F（x）在a,cc,b连续可导，
所以根据罗尔定理可得存在1（a,c）,2（c,b）,F
（1）F
（2）0,
使f
（1）f
（2）
（2）由
（1）知f
（1）f
（2），又f（x）二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，
（1,2）（a,b），使得f（）0。
解法二：
（1）考虑f（x）在a,c及c,b上的格拉朗日中值定理有：
f（c）f（a）
a,c（c,b）（）
ca
f（b）f（c）
，f（）
bc
由于A（a,f（a））,B（b,f（b））,C（c,f（c））共线，
则有AC的斜率kAC
（a）
f（c）
c
与BC的斜率
kBC
（b）
b
（c）
相等，
于是有f
（1）f
（2）
（2）与解法一
（2）做法一致。
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