浙江专升本高等数学真题Word格式.docx

1、4、已知 f （ x） 在 a,b 上连续，则下列说法不正确的是（ B ）A、已知baf （ x） dx 0，则在 a,b 上， f （x） 0B、d 2xdxf （t） dt f （ 2x） f （x） ，其中 x,2x a,bC、 f （a） f （b） 0 ，则 a,b 内有 使得 f （ ） 0D、 y f （ x） 在 a,b 上有最大值 M 和最小值 m ，则m（b a） f （ x）dx M （b a）2 x 2 A. 由定积分几何意义可知， f （ ） 0 ， f （ x） dx为 f （ ） 在 a,b 上与 x轴围成 2 x2 x的 面 积 ， 该 面 积 为 0 f （

2、） 0 ， 事 实 上 若 f （x） 满 足专业知识分享连续非负 f （x） 0（a x b）f （ x）dx 0d xB. f （ x）dx 2 f （ 2x） f （x） dxC. 有零点定理知结论正确D. 由积分估值定理可知， x a,b ， m f （x） M ，b b b b则 mdx f （ x）dx Mdx m（b a） f （ x）dx M （b a）a a a a5、下列级数绝对收敛的是（ C ）A、n 1（n1）1B 、ln（C 、cosn3 9n nD 、 A. lim 1，由发散 ln（1 n） 1B. lim lim lim 0n 1 nln（1 n）n 1 ln（

3、 1 n）C.2 nn 99，而3=1，由1 2收敛D.二、填空题6、lim （1 a sinx）elim （1a sin x）ln（1 a sin x）1 asin xlim limx 10 x x 0e eacos xf （3） f （3 2x）7、 lim 3x sin，则f （3）f （3） f （3 2x） f （3 2x） f （3） lim 2 lim 2 f （3） 3sin x 2x8、若常数 a,b 使得 lim （cos x b） 52xx 0 e，则 b 9sin x x （cos x b） lim （cos x b） lim 52x 2 xx e a0 e a所以根据

4、洛必达法则可知： 1 a 0, a 1x（cosb）cos1 b5,b 9 29、设y tln（1 t）arctant dy，则 t 1 1 dxdy dtt（1t）， t 1 12 y 210、 y f （x） 是 x 1 0所确定的隐函数，则dy方程两边同时求导，得： 2x 2yy 0，y ，2 yy方程 2x 2yy 0 同时求导，得： 1 （ y ） 0 ，将y 带入，则得， 1 （ ） 02 1 2 2d y x y， 32 3dx y y y11、求y 的单增区间是 （ 1,1 ）1 x 2令 y 0 ，则 x 1， 1 x 11 k12、求已知 f （ x）dx e C ，则 l

5、im f （ ）n 0 nke 11 1 lim f （ ） f （x）dx f （x） dx （e C ） e 1n n n 0 0k 013、 dxe （ln ）2x x1 1 1 dx d ln x 12 e ee x （ln x） （ln x） ln x14、由y x ： y 1, x 2 围成的图形面积为4A2 dx x3 xx 1） （ ）15、常系数齐次线性微分方程 y 2y y 0 的通解为y （C1 C2 x）e （C1C2 为任意常数）2 r特征方程： r 2 1 0 ，特征根： r1 r2 1通解为y （C1 C2x）e （C1C2 为任意常数）三、计算题 （本大题共 8

6、 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共60 分）16、求x ln（1 sin ）x x 2xe e e 1 2x 2x lim lim e lim lim 2 0 ln（1 sin x） ln（1 sin x） sin x x17、设y（x） （1 sin x） ，求 y（ x） 在 x 处的微分y（x） （1 sin x）ln y x ln（1 sin x）y ln（1 sin x） xsindy ln（ 1 sin x）（1将 x 代入上式，得微分 dy dx18、求51 cos xdx| sin x | dx 2 3 4 5sin xdx （ s

7、in x） dx sin xdx （ sin x） dx sin xdx 0 2 3 4cosx2 3 4|0 cosx | cos x | cosx | cosx|1019、求 arctan xdx令 ， dx 2tdtx t，则x t2 2 2arc tan tdt t arc tan t t darc tan t2 2t arc tan t t 2 1 tdtarctan t1 t 11 tt arc tan t （1 ）t arc tan t t arc tant c则原式xarc tan x x arctan x cx x cos x 120、 dx（ ）- 1 45 4xxcos

8、x 1 4为奇函数，该式不代入计算5 t令t 5 4x，则xtdt 4该式 t） dt82 ） dt1 1 35t t ） |8 3621、已知2x b,x 0f （x） 在 x 0 处可导，求 a,b ln（1 ax）, x 0f （x）在x 0处可导f （x） x 0处连续在f （ x）lim f （x） f（0）f （ x） 0,lim f （x）b 0ln（ 1 ax）lim f （x） limx x 0a 2x t 122、求过点 A（ 1,2 ,1） 且平行于 2x 3y z 7 0 又与直线 y t 3相交的直线方程。z 2t直线过点 A（ 1,2 ,1） ，因为直线平行于平面，

9、所以 S n ， n （2, 3 ,1） ，设两条直线的交点 P（t 1,t 3,2t ） ，所以 S PA （t,t 1,2t 1） ，所以 2t 3t 3 2t 1 0 ，t 4， P （3,7,8） ，所以 PA （4,5,7 ） ，所以直线方程为1 y 2 z4 5 7。3 x2 x23、讨论 f （x） x 2 3 1极值和拐点3 x x f （x） x 2 3 1（1） f （x） 的极值f （x） x令 f （ x） 0 ，则 x1 1, x2 3列表如下：（ 1 （3，） ， ）x 1 （1，3） 3（x） + 0 - 0 +f （ x） 极大值 极小值所 以 极 大 值 为1

10、 7f （1） 2 3 1 ，极小值 f （3） 13 3（2） f （x） 的拐点f （ x） 2x 4 令 f （x） 0 则 x 2x （ ，2） 2 （2， ）（ x） - 0 +f （ x） 凸 拐点 凹拐点为2, 。四、综合题（本大题共 3 大题，每小题 10 分，共 30 分）24、利用nxn，（1）将函数 ln（1 x） 展开成 x的幂级数（2）将函数 ln（ 3 x） 展开成 x 2的幂级数（1）令 f （ x） ln（ 1 x） ， f（x） ，当 x （ 1,1） 时，1） n xnn xnx x xn n nf （t ）dt f （0） dt （ 1） t dt （ 1

11、）0 0 nt 0n 0 n 0当 x 1时，级数发散；当 x 1时，级数收敛，故收敛域为 1,1 。x 2 x 2（2）ln（ 3 x） ln 5 （x 2） ln 5（1 ） ln 5 ln（1 ）5 5ln 5 （n 0n 1 x 21） （ ） ln51 n 5 0（x2）（nx 2其中， 1 1 3 x 725、 f （x） 在 1， 上导函数连续， f （x） 0 ，已知曲线 f （ x） 与直线 x 1, x t（t 1） 及x=1（t 1）及 x 轴所围成的去边梯形绕 x轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的 t 倍，求 f （x）Sf（ x） dx，V f （ x）dx由题意知，

12、t t2（ ） （ ） ，求导得，得 2（t） f （ x）dx tf （t） x dx t f x dx f2（ ） （ ） ，求导得，得 2（t） f （ x）dx tf （t）再求导，得 2 f （t） f （t） f （t） f （t） tf （t）即 2 f （t） tf （t） 2 f （t） f （t） ，则 2y ty 2yy ， 2y （2y t） y ，2y1 1 1 1 31 1 2dy dy2 y 2 y ,P（ y） ， Q（y） 1，t e （ e dy C） （ y C）2y y 32 f由 f （1） f （1） （1） 1，带入得C ，故曲线方程为3x 2y

13、。26、 f （x） 在 a,b 连续且（a, f （a）和（b, f （ b）的直线与曲线交于 （c, f （ c）（ a x b） ，证明：（1）存在 f （ 1） f （ 2 ）（2）在 （a,b）存在 f （ ） 0解法一：（1）过 （a, f （ a）, （b, f （b ） 的直线方程可设为：y ff （b） f （a）（c） （x c）b a所以可构造函数： F （x） f （x） x所以 F （a） F （b） F（c）又因为 f （x） 在 a,c c,b 连续可导的，则 F （x）在 a,c c,b 连续可导，所以根据罗尔定理可得存在 1 （ a, c）, 2 （c, b）

14、, F （ 1） F （ 2 ） 0,使 f （ 1 ） f （ 2）（2）由（ 1）知 f （ 1） f （ 2 ） ，又 f （x） 二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，（ 1, 2） （a,b） ，使得 f （ ） 0。解法二：（1）考虑 f （x） 在 a,c 及 c,b 上的格拉朗日中值定理有：f （c） f （a） a,c （c,b） （ ）c af （b） f （c）， f （ ）b c由于 A（a , f （ a）, B （b, f （ b）, C（c, f （c ） 共线，则有 AC 的斜率 kAC（a）f （c）c与 BC 的斜率kBC（b） b（c）相等，于是有 f （ 1 ） f （ 2）（2）与解法一（ 2）做法一致。