冀教版七年级上《整式的加减》全章教学案含答案Word下载.docx
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课时
了解单项式,单项式的系数、次数等概念.
引导学生观察、讨论、自主探究,发展学生的逻辑思维能力.
通过师生之间的交流合作,体验合作分享的快乐.
【难点】 能熟练地判定一个单项式的系数、次数.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习用字母表示数的书写规范.
导入一:
用字母表示下列数量关系.
（1）若正方形的边长为a,则正方形的面积是 ;
（2）买一本笔记本要0.5元,买n本的价钱是 ;
（3）若x表示正方体的棱长,则正方体的表面积是 ;
（4）若m表示一个有理数,则它的3倍是 .
思考:
（1）请学生说出所列代数式的意义.
（2）请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同的运算特征.
[设计意图] 让学生列式不仅复习前面的知识,更是为下面给出单项式的概念埋下伏笔.在活动中充分让学生自己观察、自己发现、自己描述,进行自主学习和合作交流,可极大地激发学生学习的积极性和主动性,满足学生的表现欲和探究欲,使学生学得轻松愉快,充分体现课堂教学的开放性.
导入二:
我们每个家庭在装修房子的时候,往往会挂上美丽的窗帘起到美化我们的房间的作用,窗帘的选择既要美观大方,又要考虑到窗户的透光效果.你能说说你们家的窗帘都是怎么设计的吗?
下面我们一起去看看小芳家的窗帘吧.
小芳房间的窗户如图所示,其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）.
（1）装饰物所占的面积是多少?
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少?
（窗框面积忽略不计）
学生完成:
（1）b2;
（2）ab-b2.
师:
上面的这两个代数式之间有什么区别和联系呢?
[设计意图] 问题是思维的出发点,从学生实际出发,为学生创设了丰富的问题情境,自然引入新课,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.
[过渡语] 整式是一类简单的代数式.在日常生活中,我们经常要用整式表示有关的量.
活动1 列代数式
用多媒体课件依次出示下列问题,学生先独立完成,随后指名让同学说出正确答案.
1.小亮家的电冰箱平均每天耗电量为m千瓦时,那么n天耗电量为 千瓦时.（mn）
2.某物品包装箱的形状是长方体.如果包装箱的宽和高都是acm,长是bcm,那么它的体积是 cm3.（a2b）
3.一个两位数,个位数字是x,十位数字是y,这个两位数可表示为 ;
如果个位数字与十位数字交换位置,所得的两位数可表示为 .（10y+x;
10x+y）
4.为了保护环境,促进生态平衡,某地计划逐年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林a公顷,第二年比第一年增加了10%,那么第二年比第一年的植树造林面积增加了 公顷.（10%a）
5.如图所示,在边长为a的正方形内,挖去一个底为b,高为的三角形,则剩下部分的面积为 .
[设计意图] 提供一组学生熟悉的具体问题,通过列代数式,既复习了旧知识,又为单项式、多项式的概念生成作铺垫.
活动2 单项式的概念
1.观察思考.
观察上面得到的代数式:
mn,a2b,10y+x,10x+y,10%a,a2-b.
从所含的运算来看,它们各自有什么特点?
2.尝试按照运算分类.
3.单项式的概念.
像mn,a2b,10%a这样的代数式,它们都是由数与字母（或字母与字母）相乘组成的代数式,我们把这样的代数式叫做单项式.
4.单项式的系数和次数.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如单项式10%a的系数是10%,次数是1;
mn的系数是1,次数是2;
a2b的系数是1,次数是3.
强调:
单个字母的指数是1,而不是0.
[知识拓展]
（1）判断一个式子是否为单项式的方法,一是必须是乘积的形式,也就是除乘号外没有其他符号;
二是这个式子的分母是否含有字母,不含有字母的才是单项式.
（2）π是单项式,表示一个具体的数,而不是字母,故π出现在分母上可以成为单项式,如等.
活动3 例题讲解
（教材例1）用代数式表示,并指出它们的系数和次数.
（1）某商店8月份营业额为m万元,9月份营业额比8月份增加了25%.9月份的营业额为多少万元?
（2）某品牌汽车原价为a元/辆,现按九折出售.如果一周内销售了这种汽车b辆,那么这周的销售额为多少元?
（3）一个长方体形状的零件,它的底面边长分别是acm和bcm,高是hcm,这个零件的体积是多少立方厘米?
分析处理:
强调列代数式的注意事项,本例题要注意列出的代数式是不用带单位的,同时注意括号的运用.结合本例题强调:
单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写.
解:
（1）（1+25%）m,它的系数是1+25%,次数是1.
（2）0.9ab,它的系数是0.9,次数是2.
（3）abh,它的系数是1,次数是3.
1.单项式的概念.
单项式是数与字母（或字母与字母）的乘积组成的式子,单独一个数或字母也是单项式.
注意:
单项式中数与字母或字母与字母之间都是乘积关系,单项式只含有乘法以及数字为除数的除法运算,不能含有加减运算,更不能含有以字母为除式的除法运算.
2.单项式的次数与系数.
单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数;
在判别单项式的时候,要注意包括数字前面的符号.一个单项式的次数是几,通常称这个单项式为几次单项式.
1.下列代数式中不是单项式的是（ ）
A.-（-3）2 B.-x C.0 D.
解析:
A,C都是单独一个数,是单项式,B是数与字母的积,是单项式,D中分母中含有字母,它不是单项式.故选D.
2.（2015·
通辽中考）下列说法中,正确的是（ ）
A.-x2的系数是
B.πa2的系数为
C.3ab2的系数是3a
D.xy2的系数是
单项式的系数是单项式中的数字因数,找出每个单项式中的数字因数即可.选项A中的系数是-,选项B中的系数是π,选项C中的系数是3,选项D正确.故选D.
3.填空.
（1）-3ab2c3的系数是 ,次数是 ;
（2）3×
105a2的系数是 ,次数是 .
（1）单项式的系数是式子中的数字因数,次数为所有字母的指数和,不要忽略题中a的指数是1.
（2）105中的指数5不能算成单项式的次数,此题中仅含一个字母a.
答案:
（1）-3 6
（2）3×
105 2
4.比较单项式12ab2c3与-8a3x2y的异同.
这两个单项式的共同之处有:
各含有3个字母,都含有字母a,都是六次单项式,系数都是整数,并且都是4的倍数;
它们的不同之处有:
它们的系数不同（符号和绝对值都不相同）,字母a的指数不同,除了a之外,它们所含有的字母也不相同.
第1课时
一、教材作业
【必做题】
教材第123页练习第1题.
【选做题】
教材第124页习题A组第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.（2015·
台州中考）单项式2a的系数是（ ）
A.2 B.2a C.1 D.a
厦门中考）已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是（ ）
A.-2xy2B.3x2C.2xy3D.2x3
3.下列说法中正确的是（ ）
A.4不是单项式B.-的系数是2
C.的次数是3D.πr2的次数是3
4.（2015·
桂林中考）单项式7a3b2的次数是 .
5.写出下列代数式的系数.
（1）-18a2b;
（2）xy;
（3）;
（4）-x;
（5）23x4.
【能力提升】
6.下面说法中正确的是（ ）
A.xy+1是单项式B.是单项式
C.是单项式D.是单项式
7.单项式-ab2c3的系数和次数分别是（ ）
A.系数是-1,次数为3
B.系数是-1,次数为5
C.系数是-1,次数为6
D.以上说法都不对
8.若-是四次单项式,则m的值为（ ）
A.4 B.2 C.-4 D.-2
9.单项式-2xy4的次数与系数之差是 .
10.根据题意列出单项式,并指出单项式的次数.
（1）某商店前一个月赢利a元,这个月赢利比前一个月减少25%,这个月赢利多少元?
（2）三角形的底是高的2倍,若高是xcm,则这个三角形的面积是多少平方厘米?
【拓展探究】
11.写出3个含有字母x,y,系数为-8,次数是4的单项式.
12.已知（a-1）x2ya+1是关于x,y的五次单项式,求下列代数式的值.
（1）a2+2a+1;
（2）（a+1）2.
由
（1）
（2）的结果,你发现了什么规律?
【答案与解析】
1.A（解析:
单项式的系数是单项式中的数字因数.所以单项式2a的系数是2.）
2.D（解析:
此题规定单项式的系数与次数,但没有规定式中有几个字母,观察四个选项,只有选项D符合要求.）
3.C（解析:
4是单项式,A错;
-的系数是-,B错;
的次数是3,C对;
πr2的次数是2,D错.）
4.5（解析:
因为a的指数是3,b的指数是2,所以单项式的次数是3+2=5.）
5.解:
（1）-18a2b的系数是-18.
（2）xy的系数是1. （3）的系数是-. （4）-x的系数是-1. （5）23x4的系数是23,即8.
6.D（解析:
xy+1由xy和1两项的和组成,不是单项式;
由和两项的和组成,也不是单项式;
的分母中出现了字母,不是单项式;
只有D符合单项式的概念.）
7.C（解析:
根据单项式的系数和次数的概念可知C正确.）
8.B（解析:
单项式中所有字母的指数和是单项式的次数,-的所有字母的指数和为1+（2m-1）,所以1+（2m-1）=4,解得m=2.）
9.7（解析:
单项式-2xy4的次数是5,系数是-2,所以它们的差是5-（-2）=7.故填7.）
10.解:
（1）75%a,一次单项式.
（2）x2,二次单项式.
11.解:
三个单项式为-8xy3,-8x2y2,-8x3y.
12.解:
若（a-1）x2ya+1是关于x,y的五次单项式,则有2+a+1=5,所以a=2,所以a2+2a+1=22+2×
2+1=9,（a+1）2=（2+1）2=9.发现的规律是a2+2a+1=（a+1）2.
数学概念的产生和形成过程是人们在对实际事例观察的基础上,通过比较、分析、归纳,再进一步抽象概括出本质的过程.在进行单项式概念的教学时,通过设计一系列问题,引导学生积极思考,层层深入,从而抽象概括出单项式的概念,有利于培养学生观察、分析、抽象等思维能力.
在概念讲解时给学生思考的时间略少,导致许多学生表面上会了,其实并没理解好.
对于概念的讲解,注重强调概念中的关键词语,如单项式的次数,需要强调是所有字母的指数和,只和字母的指数有关,和数字的指数无关等.
练习（教材第123页）
1.解:
系数从左到右依次填:
-1,5,-,0.3,2,,次数从左到右依次填:
1,3,3,2,5,3.
2.解:
-5a2b,-5ab2.
习题（教材第124页）
A组
a,πr2,-3xy3z是单项式,因为它们都是数与字母的积.x+1,不是单项式,因为它们不是数与字母（或字母与字母）的积.
（1）系数:
3,次数:
3.
（2）系数:
-,次数:
3. （3）系数:
0.12,次数:
1. （4）系数:
次数:
3.
3.解:
由题意得2+1+m=5,所以m=2,所以m2=22=4.
B组
-2xy3,-2x2y2,-2x3y.
销售n台共收入0.9mn元,系数:
0.9,次数:
2.
判断下列各式是否为单项式,如果不是,请简要说明理由;
如果是,请指出它们的系数和次数.
（1）x+1;
（2）;
（3）πr2;
（4）-a3b.
（1）是字母与数字和的形式,不满足单项式的定义,不是单项式.
（2）的分母中有字母a,不是单项式.
（3）（4）都是数字与字母的积的形式,是单项式.πr2的系数是π,次数是2,-a3b的系数是-,次数是4.
[解题策略]
（1）判断一个代数式是否为单项式,关键看式子中的数与字母或者字母与字母之间
是不是乘积关系,如果之间是加减关系,那么就不是单项式.
（2）单项式的系数包括它前面的符号.（3）单项式的次数是所有字母的指数相加的结果,它只与字母的指数有关,而与系数的指数无关,如23abc的次数是3,而不是6.（4）相同字母的乘积形式常用乘方的表达形式.
若-3axym是关于x,y的单项式,且系数为-6,次数为3,则a= ,m= .
〔解析〕 “关于x,y的单项式”说明只有x,y才是单项式中的字母,a只是系数的一部分,所以-3a=-6,解得a=2.而单项式的次数是x,y的指数和1+m,因此1+m=3,解得m=2.
〔答案〕 2 2
[解题策略] 单项式是数与字母的积,数字因数是单项式的系数,所有字母的指数和是单项式的次数.本题中x,y才是单项式的字母,而a只是系数的一部分,这点一定要理解到位.
1.掌握多项式的概念,进而理解整式的概念.
2.掌握多项式的次数、项数的概念,并能熟练说出多项式的项数和次数.
1.通过具体情境,发展学生的形象思维.
2.通过观察、讨论、自主探究等形式,发展学生的抽象概括能力.
通过交流、研讨活动,培养学生主动与他人合作的意识.
【重点】 多项式的概念及多项式的项数、次数的概念.
【难点】 多项式的次数.
【学生准备】 复习单项式的有关概念.
如图所示,用两种不同形状的积木块,搭成两个不同形状的“桥”,它们的体积之和是多少呢?
[设计意图] 通过情境图使知识性和趣味性融为一体,增加学生的学习兴趣.
1.回答下列问题:
（1）长方形的长与宽分别为a,b,则长方形的周长是 ;
（2）某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人;
（3）鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,脚 只.
[设计意图] 由于本课时的主题是多项式,通过列代数式引入多项式的定义,既是对前面知识的回顾,又可以由此导入新课,既符合学生的认知水平,又能为学生学习新知提供丰富的素材.
2.观察以上所得出的四个代数式与上一课时所学的单项式有何区别.
（1）2（a+b）;
（2）21+x;
（3）a+b;
（4）2a+4b.
[设计意图] 由学生小组派代表回答,教师应肯定每一位学生说出的特点,培养学生观察、比较、归纳的能力,同时又锻炼他们的表达能力.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充.
[过渡语] 在上一课时的活动1中,我们还得到了像10y+x,10x+y,a2-b这样的代数式,这些代数式与之前学过的单项式不同,它们叫什么名字呢?
活动1 多项式及其相关概念
v+2.5,v-2.5,3x+5y+2z,ab-πr2,x2+2x+18.
提出问题:
这些式子有什么共同的特点?
生:
（思考讨论.）
进一步提出问题,以上各式显然不是单项式,它们和单项式有联系吗?
（讨论,交流,自由发言回答上面的问题.）
说明:
指出多项式的概念及其相关的几个概念.由单项式相加组成的代数式叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.一个多项式由几个单项式组成,我们就把它叫做几项式,如2x-3由2x和-3组成,可以叫做二项多项式,这里的-3就是常数项;
3x+5y+2z由3x,5y,2z组成,可以叫做三项多项式.
（进一步引导学生探究多项式次数的概念.）
（可以发挥自己的想象去探究给多项式的次数命名的方法,教师不必苛求学生怎样想,让学生大胆发言,只要能发挥他们的想象力即可.）
（在这一过程中教师可以引导,多项式的次数是不是也可以将所有字母的指数加在一块呢?
如果字母多的话是不是有点太乱呢?
如果这样的话,我们是不是派个代表就行了?
派谁当代表呢?
引导学生说出以次数最高的项的次数作为代表.）
归纳:
多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.同单项式一样,一个多项式的次数是几,我们就称它为几次式,如2x-3可以叫做一次二项式,3x+5y+2z可以叫做一次三项式.
活动2 例题讲解
（教材例2）写出多项式,并指出它们的项和次数.
（1）目前,在地球上生存的动物约有150万种.其中,无脊椎动物约有m万种,脊椎动物约有 万种.
（2）如图所示的是城楼门口的形状,下部是长方形,上部是半圆形.它的面积是 .
（3）一个三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,这个三位数可表示为 .
〔解析〕 写出多项式,实际就是列出具有多项式特点的代数式.写出多项式后,依据多项式的项和次数的相关定义,确定其项和次数.
（1）150-m,它的项是150和-m,次数是1.
（2）2ra+πr2,它的项是2ra和πr2,次数是2.
（3）100c+10b+a,它的项是100c,10b和a,次数是1.
整式与单项式、多项式有什么关系?
小结:
单项式是整式,多项式也是整式;
整式中包括单项式和多项式.它们之间的关系可以表示为:
整式
（教材例3）如图所示的是由一个正方体和一个长方体组成的组合体.
（1）请用代数式表示这个组合体的体积.
（2）这个代数式是多项式还是单项式?
如果是多项式,请你说出它是几次几项式.
〔解析〕 首先要正确列出代数式,然后依据所列出代数式的特点,判定其属于单项式还是属于多项式.同时需要准确理解多项式的项和次数的概念.
（1）这个组合体的体积是a3+a2b.
（2）这个代数式是多项式,它是三次二项式.
[知识拓展] 整式、单项式与多项式的联系与区别:
1.几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;
多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
2.多项式的组成元素是单项式,即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有a个单项式,次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式.
3.单项式和多项式统称为整式,它们都有次数,但是单项式有系数;
多项式的每一项是一个单项式,含有字母的项都有系数.如果一个代数式既不是单项式也不是多项式,那么它就一定不是整式.
1.下面说法中正确的是（ ）
A.一个代数式不是单项式,就是多项式
B.单项式是整式
C.整式是单项式
D.以上都不对
因为单项式和多项式统称为整式,所以C错;
又因为代数式中,除了整式外,还有字母出现在分母上的不是整式的代数式,故A错;
而B的说法符合整式的分类原则.故选B.
2.多项式1+xy-xy2的次数及最高次项的系数分别是（ ）
A.2,1 B.2,-1 C.3,-1 D.5,-1
多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数,是3,最高次项的系数是-1.故选C.
3.多项式ab2+25的次数和项数分别是（ ）
A.3,2B.5,2C.3,3D.5,1
因为ab2+25有两项,分别是ab2和25,而25为常数项,其次数可看作0,ab2的次数为3,所以是三次二项式.故选A.
4.判断下列各代数式中哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式.
①-3xy2;
②2x3+1;
③;
④-a;
⑤0;
⑥;
⑦;
⑧;
⑨x2+-1;
⑩.
单项式有:
多项式有:
③（x+y+1）;
不是整式的有:
第2课时
教材第126页练习第1题.
教材第126页习题A组第1题.
1.下列多项式中,是二次三项式的为（ ）
A.a+b B.3a+4ab2+5b
C.a2+2a+1D.a3+b3
2.代数式（x2+y2）
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