《几何图形初步》全章复习与巩固提高知识讲解Word文件下载.docx

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（3）几何体的构成元素及关系

几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；

线动成面，面与面相交成线；

面动成体，体是由面组成.

要点二、直线、射线、线段

1.直线，射线与线段的区别与联系

2.基本性质

（1）直线的性质:

两点确定一条直线．

（2）线段的性质:

两点之间，线段最短．

①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：

要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线。

②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.

3.画一条线段等于已知线段

（1）度量法：

可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.

（2）用尺规作图法：

用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：

4．线段的比较与运算

（1）线段的比较：

比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；

一种是叠合法.

（2）线段的和与差：

如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；

AD=AB-BD。

（3）线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：

①线段中点的等价表述：

如上图，点M在线段上，且有

，则点M为线段AB的中点.

②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.

要点三、角

1．角的度量

（1）角的定义：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；

此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

（2）角的表示方法：

角通常有三种表示方法：

一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；

②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.

（3）角度制及角度的换算

1周角=360°

，1平角=180°

，1°

=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.

①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.

②度分秒之间的转化方法：

由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法逐级进行；

由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行.

③同种形式相加减：

度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；

超60进一，减一

成60.

（4）角的分类

∠β

锐角

直角

钝角

平角

周角

范围

0＜∠β＜90°

∠β=90°

90°

<

∠β<

180°

∠β=180°

∠β=360°

（5）画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°

的倍数的角，在0～180°

之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.

2．角的比较与运算

（1）角的比较方法:

①度量法；

②叠合法.

（2）角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：

如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=

∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.

类似地，还有角的三等分线等.

3．角的互余互补关系

余角补角

（1）若∠1+∠2=90°

，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.

（2）若∠1+∠2=180°

，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.

（3）结论:

同角（或等角）的余角相等；

同角（或等角）的补角相等.

①余角（或补角）是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）.

②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.

③只考虑数量关系，与位置无关．

④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.

4．方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.

（2）北偏东45°

通常叫做东北方向，北偏西45°

通常叫做西北方向，南偏东45°

通常叫做东南方向，南偏西45°

通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

【典型例题】

类型一、概念或性质的理解

1.下列判断错误的有（）

①延长射线OA；

②直线比射线长，射线比线段长；

③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；

④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．

A．0个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；

②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；

③线段PA＝PB，只有当点P在线段AB上时，才是线段AB的中点，否则就不是；

④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．

【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．

举一反三：

【变式】下列说法正确的个数有（）

①若∠1+∠2+∠3＝90°

，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】B提示：

③正确

类型二、立体图形与平面图形的相互转化

1.展开与折叠问题

2．如图所示，它们的平面展开图是由5个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是（）．

【答案】B

【解析】图形B无论怎样折叠都有一个侧面重合，这样就缺少一个侧面，所以图形B不能折成无盖小方盒．

【总结升华】解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．

【变式】已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时，所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图（如图）是（）．

【答案】D

2.从不同方向看

3.（河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图1所示．在图2中，将骰子向右翻滚90°

，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°

，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）．

A．6B．5C．3D．2

【答案】B

【解析】第一次变换：

将骰子向右翻滚90°

，正面向上的应当是5，右面的是3，正面是1，再在桌面上按逆时针方向旋转90°

，面向上的应当是5，右面的是1，正面是4；

第二次变换：

，正面向上的应当是6，右面的是5，正面是4，再在桌面上按逆时针方向旋转90°

，面向上的应当是6，右面的是4，正面是2；

第三次变换：

，正面向上的应当是3，右面的是6，正面是2，再在桌面上按逆时针方向旋转90°

，正面向上的应当是3，右面的是2，正面是1，就回到了初始状态．所以每完成三次变换即可回到原来的位置，所以第十次变换后的状态与第一次变换后的状态相同，所以朝上一面的点数是5．

【总结升华】先找到规律再从上面看便得答案．

【变式1】

（南昌）沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是（）．

【答案】D

图形认识初步章节复习399079多姿多彩的图形例2】

【变式2】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

类型三.互余互补的有关计算

4.（安徽芜湖）如图所示的4×

4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于（）

A．330°

B．315°

C．310°

D．320°

【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°

．由图形可知：

∠l与∠7互余，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°

+90°

+45°

＝315°

．

【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关．

【变式】如图所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°

，∠3＝∠FOD，∠1＝27°

20′，求∠2，∠3．

【答案】

解：

因为∠AOE＝90°

，

所以∠2＝90°

-∠1＝90°

-27°

20′＝62°

40′．

又∠AOD＝180°

-∠1＝152°

40′，∠3＝∠FOD．

所以∠3＝

∠AOD＝76°

20′．

答：

∠2为62°

40′，∠3为76°

类型四.方向角

5.（山东潍坊）用A、B、C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东

，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°

，则∠ACB等于（）

A．35°

B．55°

C．60°

D．84°

【思路点拨】根据方位角的概念，分清方向，正确地画出图形，即可求解．

【解析】根据题意画出图形如下：

∵∠ACB与35°

互余，∴∠ACB=90°

－35°

＝55°

【总结升华】解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．

【变式】

（张家界模拟）考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°

，某考室B位于O点南偏东60°

，请在图

（1）中画出射线OA、OB，并计算∠AOB的度数．

【答案】

如图

（2），以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°

，得OA；

以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°

，得OB，则∠AOB＝180°

-（45°

+60°

）＝75°

．

类型五.利用数学思想方法解决有关线段或角的计算

1.方程的思想方法

6.如图所示，B、C是线段AD上的两点，且

，AC＝35cm，BD＝44cm，求线段AD的长．

【答案与解析】

设AB＝xcm，则

或

于是列方程，得

解得：

x＝18，即AB＝18（cm）

所以BC＝35-x＝35-18＝17（cm）

（cm）

所以AD＝AB+BC+CD＝18+17+27＝62（cm）

【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解．

2.分类的思想方法

7.同一直线上有A、B、C、D四点，已知AD＝

DB，AC＝

CB，且CD＝4cm，求AB的长．

【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小．

利用条件中的AD＝

CB，设DB＝9x，CB＝5y，

则AD＝5x，AC＝9y，分类讨论：

（1）当点D，C均在线段AB上时，如图所示：

∵AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴x＝y

∵CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴x＝1，∴AB＝14x＝14（cm）．

（2）当点D，C均不在线段AB上时，如图所示：

方法同上，解得

（cm）．

（3）如图所示，当点D在线段AB上而点C不在线段AB上时，方法同上，解得

（4）如图所示，当点C在线段AB上而点D不在线段AB上时，方法同上，解得

综上可得：

AB的长为14cm，

cm，

cm．

【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；

二要注意解决的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用.在正确答案中，（3）与（4）的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．

类型六.钟表上的角

8.如图所示，时钟的时针由3点整的位置（顺时针方向）转过多少度时，与分针第一次重合．

解：

设时针转过的度数为x°

时，与分针第一次重合，依题意有

12x＝90+x

解得

答：

时针转过

时，与分针第一次重合．

【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决．