第十二讲一次函数Word格式文档下载.docx

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1、设一次函数表达式

2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式

3、解关于系数的方程或方程组

4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中

四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组

1、一次函数与一元一次方程：

一般地将x=或y代入y=kx+b中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。

2、一次函数与一元一次不等式：

kx+b>

0或kx+b<

0即一次函数图象位于x轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立

3、一次函数与二元一次方程组：

两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标

1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决

2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】

五、一次函数的应用

一般步骤：

1、设定问题中的变量2、建立一次函数关系式

3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答

一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】

【重点考点例析】

考点一：

一次函数的图象和性质

例1（2013•大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（　　）

A．它的图象必经过点（-1，3）

B．它的图象经过第一、二、三象限

C．当x＞1时，y＜0

D．y的值随x值的增大而增大

对应训练

1．（2013•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（　　）

A．y=2x+8B．y=-2+4xC．y=-2x+8D．y=4x

1．C

考点二：

一次函数的图象和系数的关系

例2（2013•莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＞0B．m＜0C．m＞2D．m＜2

例3（2013•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-

x图象上的两点，下列判断中，正确的是（　　）

A．y1＞y2B．y1＜y2

C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2

2．（2013•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．C

3．（2013•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（　　）

A．a＞0B．a＜0C．b=0D．ab＜0

3．B

考点三：

一次函数解析式的确定

例4（2013•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），则k=2

，b=-2

．

思路分析：

把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．

解：

∵一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），

∴

，解得

故答案为：

2，-2．

点评：

本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（　　）

A．y=2xB．y=-2xC．y=

xD．y=-

x

考点四：

一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系

例5（2013•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　）

A．x＜

B．x＜3C．x＞

D．x＞3

先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．

∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），

∴3=2m，m=

，∴点A的坐标是（

，3），

∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜

例6（2013•荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（　　）

进球数

1

2

3

4

5

人数

y

A．y=x+9与y=

x+

B．y=-x+9与y=

C．y=-x+9与y=-

D．y=x+9与y=-

x+

根据一共20个人，进球49个列出关于x、y的方程即可得到答案．

根据进球总数为49个得：

2x+3y=49-5-3×

4-2×

5=22，

整理得：

y=-

，

∵20人一组进行足球比赛，

∴1+5+x+y+3+2=20，

y=-x+9．点评：

本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式．

5．（2013•武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．

5．解：

∵直线y=2x+b经过点（3，5），

∴5=2×

3+b，解得b=-1，

∵2x+b≥0，

∴2x-1≥0，解得x≥

6．（2013•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是y=-x

考点六：

一次函数的应用

例8（2013•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：

厘米）与观察时间x（单位：

天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．

（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？

（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？

（

（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．

解答：

（1）∵CD∥x轴，

∴从第50天开始植物的高度不变，

答：

该植物从观察时起，50天以后停止长高；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵经过点A（0，6），B（30，12），

．所以，直线AC的解析式为y=

x+6（0≤x≤50），

当x=50时，y=

×

50+6=16cm．答：

直线AC的解析式为y=

x+6（0≤x≤50），该植物最高长16cm．

8．（2013•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．

（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；

（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．

8．解：

（1）由题意，得

小明骑车的速度为：

20÷

1=20km/时，小明在南亚所游玩的时间为：

2-1=1小时．

（2）由题意，得

小明从南亚所到湖光岩的时间为25-10=15分钟=

小时，∴小明从家到湖光岩的路程为：

20×

（1+

）=25km．

∴妈妈的速度为：

25÷

=60km/时．C（

，25）．设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得

，解得：

∴直线CD的解析式为y=60x-110．

【聚焦山东中考】

1．（2013•菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（　　）

A．第二、四象限B．第一、二、三象限

C．第一、三象限D．第二、三、四象限

2．（2013•潍坊）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=

图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．（2013•潍坊）一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=-1时，y＞0．则b的取值范围是-2＜b＜3

4．（2013•泰安）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　）

A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜4

5．（2013•威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（　　）

A．乙摩托车的速度较快

B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点

C．经过0.25小时两摩托车相遇

D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地

km

6．（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x（单位：

台）

10

20

30

y（单位：

万元∕台）

60

55

50

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求该机器的生产数量；

（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：

利润=售价-成本）

6．解：

（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得

解得：

，∴y=-

x+65．

∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，∴10≤x≤70；

xy=2000，

-

x2+65x=2000，

-x2+130x-4000=0，

x1=50，x2=80＞70（舍去）．

该机器的生产数量为50台；

（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ka+b，由函数图象，得

，∴z=-a+90．当z=25时，a=65．

当x=50时，y=40总利润为：

25（65-40）=625万元．

该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．

7．（2013•滨州）根据要求，解答下列问题：

（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；

（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°

①求直线l3的函数表达式；

②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°

得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．

（3）分别观察

（1）

（2）中的两个函数表达式，请猜想：

当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？

请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=-

x垂直的直线l5的函数表达式．

7．解：

（1）根据题意得：

y=-x；

（2）①设直线l3的函数表达式为y=k1x（k1≠0），

∵过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°

，直线过一、三象限，

∴k1=tan30°

=

∴直线l3的函数表达式为y=

x；

②∵l3与l4的夹角是为90°

∴l4与x轴的夹角是为60°

设l4的解析式为y=k2x（k2≠0），

∵直线l4过二、四象限，

∴k2=-tan60°

=-

∴直线l4的函数表达式为y=-

（3）通过观察

（1）

（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，

∴过原点且与直线y=-

x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2013•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）

A．-

B．-2C．

D．2

2．（2013•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（　　）

A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0

3．（2013•荆门）若反比例函数y=

的图象过点（-2，1），则一次函数y=kx-k的图象过（　　）

A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限

4．（2013•黔东南州）直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＞-1B．m＜1C．-1＜m＜1D．-1≤m≤1

5．（2013•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（　　）

A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25

B．途中加油21升

C．汽车加油后还可行驶4小时

D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升

6．（2013•天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：

①小亮先到达青少年宫；

②小亮的速度是小文速度的2.5倍；

③a=24；

④b=480．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

二、填空题

7．（2013•资阳）在一次函数y=（2-k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为k＜2

8．（2013•天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是k＞0

9．（2013•鞍山）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第四

象限．

10．（2013•珠海）已知，函数y=3x的图象经过点A（-1，y1），点B（-2，y2），则y1＞

y2（填“＞”“＜”或“=”）10．>

11．（2013•永州）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，-1），B（-1，3）两点，则k＜

0（填“＞”或“＜”）

12．（2013•昆明）已知正比例函数y=kx的图象经过点A（-1，2），则正比例函数的解析式为y=-2x

13．（2013•成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则

的值为．

14．（2013•包头）如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为y=-2x-2

15．（2013•温州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C′，则点C′的坐标是（1，3）

16．（2013•孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：

升）与时间x（单位：

分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起8

分钟该容器内的水恰好放完．

随州

17．（2013•随州）甲乙两地相距50千米．星期天上午8：

00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地．2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发小时时，行进中的两车相距8千米．

三、解答题

18．（2013•厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：

分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．

18．解：

①0≤x＜3时，设y=mx，

则3m=15，

解得m=5，

所以，y=5x，

②3≤x≤12时，设y=kx+b，

∵函数图象经过点（3，15），（12，0），

解得

所以，y=-

x+20，

当y=5时，由5x=5得，x=1，

由-

x+20=5得，x=9，

所以，当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围是1＜x＜9．

19．（2013•湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．

19．解：

（1）设y=kx+b（k≠0），由图象可知，

故销售量y与定价x之间的函数关系式是：

y=-2x+32；

（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：

W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96．

20．（2013•盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．

（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？

（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．

①求y与x之间的函数关系式；

②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？

最大利润是多少？

（利润=销售收入-进货金额）

20．解：

（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，由题意，得

80（x+2）=88x，解得x=20．

故现在实际购进这种水果每千克20元；

（2）①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

将（25，165），（35，55）代入，

得

故y与x之间的函数关系式为y=-11x+440；

②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，

则w=（x-20）y=（x-20）（-11x+440）=-11x2+660x-8800=-11（x-30）2+1100，

所以当x=30时，w有最大值1100．

即将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．