利用几何画板提高数学教学效益《几何画板》辅助高中数学教学案例.docx
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利用几何画板提高数学教学效益《几何画板》辅助高中数学教学案例
利用几何画板,提高数学教学效益——《几何画板》辅助高中数学教学案例
20XX年第1期中学数学月刊?
37?
利用几何画板,提高数学教学效益
——
《几何画板》辅助高中数学教学案例
王雄伟(福建省泉州第七中学362000)
《几何画板》作为一种新型的教学用具,在数
学教学中有着十分重要的作用.《几何画板》不仅
能帮助学生理解数学概念,解决数学问题,探索数
学知识,而且利用它可以改善认知环境,使数学对
象直观化,形象化.有利于教师化解教学难点,提
高教学效益,改进教学方法,深刻揭示数学思想方
法;有利于培养学生的空间想象能力,激发学生的
探索创新精神,充分体现了现代教学的思想.笔者
以一道习题为例,展示利用《几何画板》进行探
究,拓展的过程,以此提高数学教学效益.
厦门市20XX届高中毕
业班适应性考试数学(理
科)试卷第1O题:
双曲线具
有光学性质:
”从双曲线的
一
个焦点发出的光线经过
双曲线反射后,反射光线的
反向延长线都汇聚到双曲
线的另一个焦点.”由此可
I
一
图1
得如下结论:
如图1,双曲线c:
一告一1(n,b以0
>O)右支上的点P的切线z平分F.PF,其中
F,F是双曲线的左,右焦点.现过原点O作z的
平行线I交PF于M,则hiP一().
(A)口(B)6
(c)~/口+b.(D)与点P的位置有关
很多学生在课内都做不出此题,大部分学生
是猜答案,或用特殊位置法得出结论.笔者要求学
生加以证明,但是很少有人能够较完整地证明此
题.如果用《几何画板》直接演示,将静态的题目
转化为让学生看得见,摸得着的动态图象,让学生
看清此题的变与不变,但该图象涉及到切线的画
法,若直接操作,又怕学生不明白为什么这样作图
就是切线,于是布置作业,让他们课后去研究和探
讨.通过课后讨论和思考,大部分学生主要提出以
下几个问题:
(1)双曲线具有光学性质:
”从双曲线的一个
焦点发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的
反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点”,为什
么?
椭圆有类似性质吗?
抛物线呢?
能否用数学
知识加以证明?
(2)能用《几何画板》画出圆锥曲线的切线
吗?
(平时我们常用《几何画板》研究一些轨迹问
题等)
(3)若都有这样的光学性质,此题能否变式
为椭圆或抛物线呢?
针对以上三种情况,我们通过讨论和查找相
关资料知道,椭圆的光学性质:
从椭圆一个焦点发
出的光线经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭
圆的另一个焦点上;抛物线的光学性质:
从抛物
线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光
线都平行于抛物线的轴.想要探究圆锥曲线的光
学性质,首先必须将这样一个光学实际问题转化
为数学问题,并进行论证.
首先定义圆锥曲线的切线与法线:
设直线l
与曲线C交于P,Q两点,当直线z连续变动时,P,
Q两点沿着曲线逐渐靠近,直到P,Q重合为一点
M,此时直线z称为曲线C在点M处的切线,过M
与直线£垂直的直线称为曲线C在点M处的法
线.
借助圆锥曲线的切线和法线,对问题进行以
下两种情况的转化并与学生一起证明:
(1)点P(x.,.y.)是椭圆+告一1上任一
点,则椭圆过该点的切线方程为—XoX+一1.
证明由b一1一事一6(1一/1①.n’\口
当.≠±n时,过点P的切线斜率k一定存
在,且志一1一.对①式求导得2yy一一z,
■0
l
所以愚===f;=,故切线方程为—.一
—
(z—z.)②.因为点P(x.,Y.)在椭圆
口Yo
+一1上,所以XZ十2—1
代入②得+
一
1③.
而当X.一±a时,y.一O,切线方程为X一±a,
?
38?
中学数学月刊20XX年第1期
也满足③式,故+1是椭圆过点P(z.,
a—D—
Y.)的切线方程.
(2)椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭
圆在该点处的法线平分.
已知:
如图2,椭圆C
..
2.2
的方程为+告一1,F,0
F分别是其左,右焦点,z
是过椭圆上一点P(.,
.y.)的切线,Z为椭圆C在
点P处的法线,交轴于点
/f
/二=.
\
图2
D,设FPD—,FPD—J9,求证:
a—.
证明由
(1)知过点P的切线方程z为
+一l,£过点P且与切线z垂直,则z:
(),),仃,
一
(Xo)—..y.(一1),所以法线z与轴交
于点D((詈).,0),故FD一C2.z.+c,FzD—c
一
C2
所以篇一.
又由焦半径公式,得PF一n+ex.,PF:
一a
.,
所以一祭,所以PD是FPF的
平分线,故a一.
其他圆锥曲线的证明也都类似,都能成立.由
上面的严格证明,和在它的几何意义的指导下,就
可以轻松地用《几何画板》作出圆锥曲线的切线.
我们通过《几何画板》按如下步骤作出图形:
(1)先画出双曲线,并确定两个焦点F,F;
(2)在双曲线上任取一点P,作射线FP,
F2P;
(3)作出F:
PD的角平分线PE;
(4)过P作PB上PE交轴于B,由双曲线
的光学性质可知PB即为过该点的双曲线切线;
(5)过0作0M//PB
交FP于M.如图3,度量出
MP的长度和OA的长度,
发现总相等,拖动P点的位
置,或改变双曲线的形状,
MP和OA的长度始终相
等.因此可判定答案是选项
A.
MP2.26厘米
OA=226厘米
\
.
F,}./AV,,,
图3
笔者再引导学生用平几知识加以详细证明,
得出如下两种证法:
证法1因为PB=~BPFz,所以
一__
F1B一
旦M_一②.
Y.NNBH//MOt.U,所PF一百’——
2
一
‘
//’0
以一OB③.
由②③得一OB④.
由①
得景一一一
里二旦旦一—F10-]-OB—--BF2一
BF2PF2PF2
一
PF一PFPFPF,
…
⑤.由④⑤可得PM—n,故选A.
证法2过F作F.F
∥z,因为z平分FPF,
即1一2,所以1===
3,2一4,故3一
4,所以PF一PF.又因
为()M是△FF.F的中位
‘
F7,
图4
线,所以F】M===MF—MP+PF,故FM—PF_-
F]M—PF2=MP.又因为F】M+MP—PF2=2a,
所以2MP一2a,故MP—a.
通过证明,我们得出正确结论,学生体会到从
猜想到最终正确的结果,需要不断研究,同时也明
白圆锥曲线切线的作法,体验了成功的快乐.通过
对双曲线的研究,我们联想到椭圆,抛物线是不是
也有类似的结论,于是我们对题目进行如下变式:
变式1椭圆具有光学性质:
”从椭圆的一个
焦点发出的光线经过椭圆反射后,反射光线汇聚
到椭圆的另一个焦点.”由此可猜想如下结论:
如图5,椭圆C:
以
.2
+一1(n,b>0)右支
MP
上点P处的的切线z平OB
分FPF的外角,其
中F,F是椭圆的左,
\,\
0
:
45l
图5
右焦点.现过原点0作z的平行线z交PF于M,
则』P—a.
通过《几何画板》作出图形:
(1)先画出椭圆,并确定两个焦点F,Fz;
(2)在椭圆上任取一点P,作射线FP,F.P;
(3)作出FPF的角平分线PC交z轴于
C;
(4)过点P作z上PC,由椭圆的光学性质可
知z即为过该点的椭圆的切线;
(5)过0作0M∥z交FP于M.
如图5,度量出MP的长度和OB的长度,发
20XX年第1期中学数学月刊?
39?
高考数学第二轮复习的构建与思考
仲伟方(江苏省赣榆县教育局教研室222100)
1明确高考数学第二轮复习的指导思想
和任务目标
1.1指导思想
(1)巩固.把巩固”四基”放在首位,形成扎实
的基础(基础知识;基本技能;基本方法;基本经
验),强化知识的立体记忆.
(2)完善.进一步完善知识体系,着意于数学
思想,方法的明朗化.进一步认识和挖掘知识之间
相互交融后所产生的”生成性知识”,并强化其教
学.实现更高层次的系统化.
(3)综合.适当增强知识的联接点,题目的综
合性和灵活性.对重点,常考题型进一步强化解法
定模,强化基本思维模式,尽可能地形成思维模
块,促进思维的集约化,从而完成能力的”立体
化”,以达到适应”考能力”的要求.
(4)提高.重视搭建提高能力的平台.
一
是要解决好”是什么(知识结论问题),为什
么(知识联系问题),怎么用(能力表现问题)”等三
个层次的问题.使学生的分析问题,解决问题能力
得到提高;
二是要研究训练的方式.确保有”练”的时间;
确保”练”的实情性,层次性,递进性,针对性,解决
“
一
讲就懂,一做就错”的问题.
(5)有效.”二轮看水平”概括了第二轮复习的
思路,目标和要求.具体地说:
一
是教师对《考试说明》,《考题》研究,理解,
操作到位,明确”考什么”,”怎么考”.
二是讲解,练习检测等内容科学性,针对性
强,使模糊的清晰起来,缺陷的填补起来,杂乱的
条理起来,孤立的联系起来,让学生形成系统化,
条理化的知识框架.
三是训练与高考对路,不拔高,不降低,重在
基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方
法.不能以高考卷最后两题的难度组织复习.
现总相等,并且拖动P点的位置,或改变椭圆的形
状,MP和OB的长度始终相等.因此可判定猜想
成立.
再用平几知识加以证
明:
如图6,过F作F.F∥
Z交PC于E,交PF于F,
则FP—PF.因为oM是
△FFF的中位线,所以
F1M===MF.又PF1+PF2
\
图6
—
2a,即F1M+MF+PF+PF2—2a,所以2MF
+2FP一2a,故MF4-FP—n,即PM一口.
变式2抛物线具有光学性质:
”从抛物线的
焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平
行于抛物线的对称轴.”由此可猜想:
如图7,抛物
线Y=2px(户>0)上有点P的切线交z轴于A,
过0作OM∥PA交PF于M,则OF===FM.
通过几何画板作出图形:
(1)先画出抛物线Y.一2,并确定焦点F;
(2)连结PF,过P作PD∥轴;
(3)作出FPD的角平分线PC交z轴于C;
(4)过点P作PA上
PC交z轴于A,由抛物线
的光学性质可知PA既为
过点P的抛物线的切线;
(5)过0作0M∥
PA交PF于M.
如图7,度量出0F
P
Il
0=1.44膜米
FM:
1.44礴,米
图7
的长度和FM的长度,发现总相等,并且拖动P点
的位置,或改变抛物线的形状,OF和FM的长度
始终相等.因此可判定OF—FM成立,可用平几
知识证明:
因为PD∥AC,所以BPD—APAF,又因
为AB//OD,所以PAF一MOF,AAPF一
OMF.又由抛物线的光线性质知PClAB,且
FPC一CPD,所以APF—ABPD,所以
M0F—A0MF,故0lF一.
通过以上的研究过程,我们不仅把此题解答
出来,还证明了圆锥曲线的光线性质,拓展了此题
的范围,并且构造了两道变式题,达到探究的目
的.