北师大版初二下册三角形证明教案资料Word下载.docx
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SAS）AAS）
ASA）
已知两角
找两角的夹边（找任意一边（
【典型例题】
1.．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠∠的依据是（）
A．B．
C．D．角平分线上的点到角两边距离相等
2.下列说法中，正确的是（）
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图，△≌Δ，若∠B＝80°
，∠C＝30°
，∠＝35°
，
则∠的度数为（）
A．40°
B．35°
C．30°
D．25°
4.已知：
如图，在△中，H是高和的交点，且＝．求证：
＝.
5.用三角板可按下面方法画角平分线：
在已知∠的两边上，分别取＝（如图5－7），再分别过点M、N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分∠，请你说出其中的道理．
图5－7
【巩固练习】
1.下列说法正确的是（）
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△中，D、E分别是边、上的点，若△≌
△≌△，则∠C的度数为（）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
3．如图，已知△的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△全等的图形是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙4．如图4－9，已知Δ≌ΔA'
B'
C'
，、A'
D'
分别是Δ和ΔA'
的角平分线．
（1）请证明＝A'
D'
；
（2）把上述结论用文字叙述出来；
（3）你还能得出其他类似的结论吗?
图4－9
5．如图4－10，在△中，∠＝90°
，＝，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线、，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边相交时，求证：
＝＋．
图4－10
（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边交于点D，请你探究直线l在如下位置时，、、之间的关系．
①＞；
②＝；
③＜．
图4－11
【知识点二：
等腰三角形的判定与性质】
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；
②等腰三角形“三线合一”的性质：
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．
1.．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）
A．12B．15C．12或15D．18
2.．等腰三角形的一个角是80°
，则它顶角的度数是（）
A．80°
B．80°
或20°
C．80°
或50°
D．20°
3.．已知△中，，6，则腰长x的取值范围是（）
A．0＜x＜3B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞64．如图，∠43°
，点A在射线上，动点P在射线上滑动，
要使△为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在△中，平分∠，平分∠，过O且平行于，已知△的周长为10，的长为5，求△的周长．
6、如下图，在△中，∠90°
，M是上任意一点（M与A不重合）⊥，交∠的平分线于点D，求证：
.
1．如图，已知直线∥，∠110°
且，则∠A等于（）
A．30°
B．40°
C．50°
D．70°
2.．下列说法错误的是（）
A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等
3.．如图，是一个5×
5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）
A．6B．7C．8D．94．如图，在△中，∠和∠的平分线交于点E，过点E作∥交
于M，交于N，若9，则线段的长为（）
A．6B．7C．8D．9
5．如图：
E在△的边的延长线上，D点在边上，交于点F，，，过D作∥交于G．求证：
（1）△≌△；
（2）△是等腰三角形．
【知识点三：
等边三角形的判定与性质】
判定：
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°
的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°
的三角形是等边三角形．
性质：
等边三角形的三边相等，三个角都是60°
．
1．下列说法中不正确的是（）
A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B．有一边对应相等的两个等边三角形全等
C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
2．如图，在等边△中，∠20°
，，则∠的度数是（）
A．10°
B．12.5°
C．15°
3、如右图，已知△和△都是等边三角形，求证：
【变式练习】
1．下列命题：
①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；
③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；
④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，．则∠是∠的（）
A．4倍B．3倍
C．2倍D．1倍
3.．如图，等边△的周长是9，D是边上的中点，E在的延长线上．若，则的长为．
4.．如图，等边△中，点D、E分别为、上的两点，且，连接、交于F点，则∠∠的度数
是（）
A．60°
B．110°
C．120°
D．135°
5.．如图，已知：
∠30°
，点A1、A2、A3在射线上，点B1、B2、B3在射线上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，若1=1，则
△A6B6A7的边长为（）
A．6B．12C．32D．64
6.如图①，M、N点分别在等边三角形的、边上，且，、交于点Q．
（1）求证：
∠60°
（2）如图②，如果点M、N分别移动到、的延长线上，其它条件不变，
（1）中的结论是否仍然
成立?
若成立，给予证明；
若不成立，说明理由．
7.．如图，C为线段上一点（不与点B，D重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于一点F，与交于点H，与交于点G．
；
（2）求∠的度数；
（3）求证：
．
【知识点四：
反证法】
反证法：
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
【基础练习】
1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数
2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°
时”，反证假设正确的是（）
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
3、证明：
在一个三角形中至少有两个角是锐角．
【知识点五：
直角三角形】
1、直角三角形的有关知识．
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°
，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果0，那么0，0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
A．6B．4C．3D．2
6.．如图，在4×
4正方形网格中，以格点为顶点的△的面积等于3，则点A到边的距离为（）
A．3B．22C．4D．3
7.．如图，△和△都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接，，并延长交于F．
△≌△；
（2）直线与互相垂直吗?
请证明你的结论．
8.．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△，△的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）在图中画△，使△的面积=△的面积（点D在小正方形的顶点上）．
（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．
9.．如图，把矩形纸片沿折叠，使点B落在边上的点B′处，点A落在点A′处；
B′；
（2）设，，，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）
A．已知斜边和一锐角B．已知一直角边和一锐角
C．已知斜边和一直角边D．已知两个锐角
2．在△中，∠90°
，9，12，则点C到的距离是（）
3612
A．B．
525
933
C．D．
44
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则
最大的正方形E的面积是．
1
4．已知△中，∠90°
，且
2
，则∠A等于（）
B．45°
C．60°
D．不能确定
5.．已知：
如图，在△中，∠30°
，∠90°
，M、D分别为、的中点．求证：
⊥．
6.．如图，在5×
5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠是不是直角?
请说明理由．
7.．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图1中，画△，使△的三边长分别为3、22、5；
（2）在图2中，画△，使△为钝角三角形且面积为2．
【提高练习】
1.．如图．矩形纸片中，已知8，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点
F处，折痕为，且3．则的长为（）
A．3B．4C．5D．6
2.．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）
A．4B．6C．16D．55
3.．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n
＞1）的代数式表示：
，，；
（2）猜想：
以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
4．如图，10，∠15°
，⊥于点D，则的长为（）
A．3B．4
C．5D．6
n2345
a22－132－142－152－1
b46810
c22+132+142+152+1
5．如图，在△中，∠90°
，∠15°
，的垂直平分线交于E，交于D，8，则．
6.．图1、图2分别是10×
8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个△，使△为面积为5的直角三角形；
（2）在图2中画一个△，使△为钝角等腰三角形．
7.．已知，如图，△为等边三角形，，、相交于点P．
（2）求∠的度数；
（3）若⊥于Q，6，2，求的长．
【知识点六：
线段的垂直平分线】
线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
线段垂直平分线逆定理：
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
1．如图，在△中，∠90°
，∠30°
．的垂直平分线
交于点D，交于点E，则下列结论不正确的是（）
A．B．C．D．∠∠B
2.．如图，在△中，分别以点A和点B为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若△的周长为10，7，则△的
周长为（）
A．7B．14C．17D．20
3.．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）
A．三条中线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条角平分线的交点
4.．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）
A．在，两边高线的交点处
B．在，两边中线的交点处
C．在，两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
5.．如图，为∠的角平分，线段的垂直平分线交于M，交于N，试说明∥．
6.．如图所示，△中，，∠120°
，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：
2．
7.．如图所示，在△中，∠90°
，，D为边上的中点，⊥于点E，∥交的延长线于点F，求证：
垂直平分．
1.．如图，在△中，∠90°
，是的垂直平分线，交
于点D，交于点E．已知∠10°
，则∠C的度数为（）
B．40°
D．60°
2.．如图，在△中，已知29，的垂直平分线交于点D，交于点E．△的周长等于50，则的长为（）
A．2lB．22
C．23D．24
3.．如图，在△中，垂直平分，垂直平分，
13，则△的周长为（）
A．6.5B．13
C．26D．15
4.．已知：
如图，△的∠A＞∠，边的垂直平分线分别交，于D，E，则与的关系是（）
A．大于B．小于
C．等于D．不能确定
5.．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
你能画图说明吗?
6.．如图，在△中，，D是的中点，且⊥，△的周长为8，且－2，求、的长．
1.．如图，在△中，垂直平分，分别交、于D、E点．垂直平分，分别交、于M、N点．
（1）若∠100°
，求∠的度数；
（2）若∠70°
（3）若∠α（α≠90）°
，直接写出用α表示∠大小的代数式．
2.．如图2，点D为线段与线段的垂直平分线的交点，∠35°
，则∠D等于（）
A．50°
B．65°
C．55°
3.．如图3，在△中，，，边上的垂直平分线交
、分别于点D、E，则△的周长等于（）
A．B．a－bC．2D．2b
4.．如图有一块直角三角形纸片，∠90°
，两直角边4，
8，线段垂直平分斜边，则等于（）
A．2B．2.5C．3D．3.5
5.．如图，∠50°
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