中考数学一元二次方程组综合经典题及详细答案.docx

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中考数学一元二次方程组综合经典题及详细答案

中考数学一元二次方程组综合经典题及详细答案

一、一元二次方程

1．发现思考：

已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？

下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．

涵涵的作业

解：

x2﹣7x+10=0

a=1b=﹣7c=10

∵b2﹣4ac=9＞0

∴x==

∴x1=5，x2=2

所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．

当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．

探究应用：

请解答以下问题：

已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．

（1）当m=2时，求△ABC的周长；

（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．

【答案】错误之处及错误原因见解析；

（1）当m=2时，△ABC的周长为；

（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【解析】

【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．

（1）先解方程，再确定边，从而求周长；

（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1，可求得m.

【详解】解：

错误之处：

当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．

错误原因：

此时不能构成三角形．

（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+=0，

∴x1=，x2=．

当为腰时，+<，

∴、、不能构成三角形；

当为腰时，等腰三角形的三边为、、，

此时周长为++=．

答：

当m=2时，△ABC的周长为．

（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，

∴△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1=0，

∴m1=m2=1．

答：

当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

【点睛】本题考核知识点：

二元一次方程的运用.解题关键点：

熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.

2．解方程：

【答案】

【解析】试题分析：

先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：

因式分解，得

开平方，得

，或

解得

3．将m看作已知量，分别写出当0m时，与之间的函数关系式；

4．已知关于的方程有两个实数根.

（1）求的取值范围；

（2）若方程的两实数根分别为，，且，求的值.

【答案】

（1）

（2）4

【解析】

试题分析：

根据方程的系数结合根的判别式即可得出，解之即可得出结论.

根据韦达定理可得：

，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再由⑴的结论即可确定值.

试题解析：

因为方程有两个实数根，所以，

解得.

根据韦达定理，

因为，所以，将上式代入可得

，整理得，解得

，又因为，所以.

5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？

最大利润是多少元？

【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元

【解析】

【分析】

表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.

【详解】

设每天获得的利润为w元，

根据题意得：

w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．

答：

当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．

【点睛】

本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.

6．如图，在中，，，，现有两点、的分别从点和点B同时出发，沿边，BC向终点C移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为．问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？

若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形面积的面积不能等于，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：

∵，，，

∴．

∴，；

假设存在的值，使得四边形的面积等于，

则，

整理得：

，

∵，

∴假设不成立，四边形面积的面积不能等于．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

7．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）令T=，求T的取值范围．

【答案】

（1）m=；

（2）0＜T≤4且T≠2．

【解析】

【分析】

由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m＜1，根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；

（1）把x12+x22=6化为（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据﹣1≤m＜1对方程的解进行取舍；

（2）把T化简为2﹣2m，结合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范围.

【详解】

∵方程由两个不相等的实数根，

所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）

=﹣4m+4＞0，

所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，

∴﹣1≤m＜1

∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；

（1）∵x12+x22=6，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，

即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6

整理，得m2﹣5m+2=0

解得m=；

∵﹣1≤m＜1

所以m=．

（2）T=+

=

=

=

=

=2﹣2m．

∵﹣1≤m＜1且m≠0

所以0＜2﹣2m≤4且m≠0

即0＜T≤4且T≠2．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

8．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最小整数时，求此时方程的解．

【答案】

（1）k＞﹣；

（2）x1＝0，x2＝﹣1．

【解析】

【分析】

（1）由题意得△＝（k+1）2﹣4×k2＞0，解不等式即可求得答案；

（2）根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．

【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（k+1）2﹣4×k2＞0，

∴k＞﹣；

（2）∵k取最小整数，

∴k＝0，

∴原方程可化为x2+x＝0，

∴x1＝0，x2＝﹣1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

9．已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3=0（m为实数，m≠0）．

（1）试说明：

此方程总有两个实数根．

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.

【答案】

（1）≥0；

（2）m=-1,-3.

【解析】

分析:

（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．

详解:

（1）证明：

∵m≠0，

∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，

∴△=（m-3）2-4m×（-3）

=（m+3）2，

∵（m+3）2≥0，即△≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：

∵x=，

∴x1=-，x2=1，

∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，

∴m=-1或-3．

点睛:

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．

10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

【答案】

（1）a≤；

（2）x=1或x=2

【解析】

【分析】

（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；

（2）根据

（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.

【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，

∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；

（2）由

（1）可知a≤，

∴a的最大整数值为4，

此时方程为x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

11．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九

（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：

（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；

（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：

共有多少名同学参加了研学游活动？

【答案】共有35名同学参加了研学游活动．

【解析】

试题分析：

由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：

（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．

试题解析：

∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．

设九

（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：

x[100﹣2（x﹣30）]=3150，

整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，

当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．

当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．

答：

该班共有35名同学参加了研学旅游活动．

考点：

一元二次方程的应用．

12．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．

（1）求证：

无论k取何值，此方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？

【答案】

（1）详见解析；

（2）k＝或2．

【解析】

【分析】

（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．

【详解】

（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，

∴该方程总有实数根；

（2）

∴x1＝2k﹣1，x2＝2，

∵a、b、c为等腰三角形的三边，

∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，

∴k＝或2．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.

13．已知：

关于x的一元二次方程.

（1）若此方程有两个实数根，求没的最小整数值；

（2）若此方程的两个实数根为，，且满足，求的值