数学史与数学教育部分讲稿Word文件下载.docx

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悖论的产生——第三次数学危机。

6.中国古代主要计算工具以及最早的计算方法是？

筹算与珠算，结绳。

7.微积分的创始人是牛顿，莱布尼兹。

8.中国“割圆术”的创始人是刘徽；

沃尔夫数学奖的第一位华人得主是陈省身；

囊括菲尔茨数学奖、沃尔夫数学奖双奖的中国人

丘成桐。

9.学习数学史的具有的三个意义是什么？

科学意义，文化意义，教育意义。

10.李大潜院士：

“数学不仅是一种科学的语言和工具，是众多科学与技术必备的基础，而且是一门博大精深的科学，更是一种先进的文化，在人类认识世界和改造世界的过程中一直发挥着重要的作用与影响”。

1.古代的算经十书。

答：

《周髀算经》、《九章算术》、《缉古算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《缀术》。

2.简述数学史的分期。

数学发展具有阶段性，即分期。

大致可分为两类：

其一，根据数学学科自身的研究对象、内容、结构、知识领域的发展、演进来分期；

其二，根据数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁来分期。

（1）数学萌芽期（公元前600年以前）；

（2）初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；

（3）变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；

（4）近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战1939.9.1.—1945.9.2.）；

（5）现代数学时期（20世纪40年代以来）。

【一战，1914.8—1918.11,是一场主要发生在欧洲但波及到全世界的世界大战，当时世界上大多数国家都卷入了这场战争，是欧洲历史上破坏性最强的战争之一。

普鲁士为了统一德国并与法国争夺欧洲大陆霸权，于是在1870年-1871年与法国爆发普法战争。

普法停战的和约极其苛刻，结果使德法两国结怨，成为第一次世界大战的原因。

二战以德、意、日为轴心国（及芬兰、匈牙利、罗马尼亚等国）为一方，以反法西斯同盟和全世界反法西斯力量为另一方进行的第二次全球规模的战争。

从欧洲到亚洲，从大西洋到太平洋，先后有61个国家和地区、20亿以上的人口被卷入战争，作战区域面积2200万平方千米。

据不完全统计，战争中军民共伤亡9000余万人，4万多亿美元付诸流水。

最后以美、苏、中、英等反法西斯国家和世界人民战胜法西斯而告终。

】

还有一些其他的分期如：

1）数学萌芽—常量数学—变量数学。

2）经验数学—初等数学—近代数学—现代数学。

3）中国传统数学起源—理论体系形成—发展—鼎盛—缓进与西学传入—中西合流。

4）上古时期—古希腊—中世纪—文艺复兴—十七世纪—近代—二十世纪。

5）上古——中古——近古——近世——最近世。

6）原始算法积累—古希腊几何演绎—东方算法繁荣—现代演绎—新算法。

7）按国家、地区、民族论史——十七世纪数学史——按数学分支学科论史。

1、

3.简述学习数学史的意义。

数学史是研究数学学科发生、发展及其规律的科学。

它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学学科的发展对人类文明所带来的影响。

数学是门历史性、累积性很强的科学。

重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。

人们常把现代数学比喻成一株茂密的大树，它包含着并且正在继续生长出越来越多的分支。

数学史不是单纯的数学成就的编年记录。

因此学习数学史具有

1）能使学生体会数学的价值，认识数学的本质。

数学的本质是什么？

数学有哪些用处？

早在1876年丹麦著名数学家和数学史家邹腾H.G.Zeuthen就强调，“通过数学史的学习，学生不仅获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力。

”数学史的学习，可使学生了解对数学的价值。

如“算法初步”内容，使学生了解数学在计算机发展过程中的重要作用。

2）学习数学史能调动学生学习数学的积极性，激发学习数学的兴趣。

通过数学史的学习，使学生了解古今中外数学家的生平和成就，进一步培养学生学习数学的兴趣。

同时使学生了解数学与其他学科、数学与社会的广泛联系，拓展对数学本质的看法，有助于学生理解概念。

3）学习数学史有助于培养学生正确的数学观念。

通过数学史的学习，使学生了解数学概念的发展，有助于学生更好的理解概念，同时也展式了数学是人类在特定历史时期所创造的，但不是永恒不变的。

进一步培养学生正确的数学观念。

在此基础上学生就可以统摄自身的各种因素，使之积极参与到学习活动中，端正学习态度，大大提高学习效率。

4）学习数学史有助培养学生的爱国主义思想和民族自尊心。

寓德育于各学科教学之中。

使学生全面的了解我国古今数学的显著成就，从而激发爱国之心和报国之志，并化为学习的动力。

5）学习数学史有助于培养学生坚强的意志品质和实事求是的态度以及创新精神。

数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满忧郁、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机。

数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录。

了解这种记录，了解古今中外著名数学家探索研究问题的艰辛历程，培养学生的良好的意志品质、实事求是的科学态度以及创新精神，使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心。

4．欧几里得《几何原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？

欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，是几何学的奠基人被誉为“几何之父”。

他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他的不朽之作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，是古希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，被认为是历史上最成功的教科书。

其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。

自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。

它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。

欧几里得在前人研究的基础上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，用命题的形式重新表述，并严格证明了一些结论。

并将一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理严格地按逻辑排序在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的《几何原本》。

基于欧式几何鲜明的直观性和严密的逻辑演绎方法相结合的特点，它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。

少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。

后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：

“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。

”这席谈话对牛顿的震动很大。

于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作。

爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。

他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。

在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：

相对原理和光速不变原理。

在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》的重大的历史作用是：

提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。

《几何原本》就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，此是前人未曾作到。

但是，由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。

比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。

又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

5．毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？

他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？

第一次危机：

发生在公元前5世纪，580～568年之间的古希腊，著名数学家与哲学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

他们的基本信条是“万物皆数”，“一切量都可以用有理数表示”是这一学派的数学信仰。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，都是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

按照毕达哥拉斯学派的信念，不可公度的线段是不存在的。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

但是希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边是不可公度的，这触犯了毕达哥拉斯学派的信条，是对毕达哥拉斯学派的强烈冲击，直接导致了认识论上的危机，这就产生了第一次数学危机。

希帕索斯的发现，暴露了离散数量的缺陷，在此之前，毕达哥拧斯学派是把数和几何等同起来的，但无理数的存在打破了这种等同的看法，希腊人拒绝接受无理数，这使他们只注重几何，因为几何可以免于碰到无理数是不是数的问题。

无理数的发现，也使希腊人认为直接经验并非绝对可靠，从而转到偏重推理论证，偏爱可以表示数的几何量，导致了《几何原本》以及公理化方法的产生。

希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。

它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。

使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

在第一次危机中导致无理数的产生。

第二次危机：

导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。

这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。

许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。

但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。

其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。

微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。

第三次危机：

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。

但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。

数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。

因而集合论成为现代数学的基石。

“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。

1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：

“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

可是，好景不长。

1903年，一个震惊数学界的消息传出：

集合论是有漏洞的！

这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

罗素悖论：

S由一切不是自身元素的集合所组成，那S属于S吗？

根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。

因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。

但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；

反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。

无论如何都是矛盾的。

用通俗一点的话来说，小明有一天说：

“我永远撒谎！

”问小明到底撒谎还是说实话。

罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，轻松摧毁集合理论！