浙江省中考数学专题复习 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想训练.docx

浙江省中考数学专题复习 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想训练.docx

《浙江省中考数学专题复习 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省中考数学专题复习 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想训练.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

浙江省中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第一节分类讨论思想训练

专题三　5大数学思想方法

第一节　分类讨论思想

类型一由概念内涵分类

（2018·山东潍坊中考）如图1，抛物线y1＝ax2－x＋c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.

（1）求抛物线y2的表达式；

（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？

若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的表达式．

【分析】

（1）应用待定系数法求表达式；

（2）设出点T坐标，表示出△TAC三边，进行分类讨论；

（3）设出点P坐标，表示出Q，R坐标及PQ，QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．

【自主解答】

此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等（没有明确哪两条边相等）、直角三角形有一个角是直角（没有明确哪个角是直角）等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求（如能否组成三角形）．

1．（2018·安徽中考改编）若一个数的绝对值是8，则这个数是（）

A．－8B．8C．±8D．－

类型二由公式条件分类

（2018·浙江嘉兴中考）我们定义：

如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C所在直线交l2于点D.求CD的值．

【分析】

（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，依据∠ACB＝30°，AC＝6，可得AD＝AC＝3，进而得到AD＝BC＝3，即△ABC是“等高底”三角形；

（2）依据△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，可得AD＝BC，依据△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A′BC，点B是△AA′C的重心，即可得到BC＝2BD，设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定理得AC＝x，即可得到＝＝；

（3）①当AB＝BC时，故DF＝CF＝x，根据AC＝3x＝2，求出x＝，画出图形分两种情况分别求得CD＝x＝或CD＝AC＝2；当AC＝BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD＝AB＝BC＝2.

【自主解答】

题目条件不明确或本身隐含条件是此类题型的特点，解题时，首先要仔细审题，打破思维定势，全面考虑问题，对题目中隐含的条件进行挖掘，这也是此类题型分类讨论的依据．

2．（2018·山东菏泽中考改编）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的正整数是______________．

类型三由位置不确定分类

（2018·山东潍坊中考）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）

【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的表达式，进一步即可求解．

【自主解答】

此类题型多为点、线、图形位置的不确定，解题时，依据位置的不同情况进行分类讨论，分类时容易遗漏，考虑问题时务必要全面．

类型四由形状不确定分类

（2018·湖北黄石中考）如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝

6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B，C（M），N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（　　）

【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，

（1）0≤x≤2；

（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．

【自主解答】

此类题型主要是抓住图形特征进行讨论，如运动过程中对产生的形状不同进行讨论．选择不同的分类依据会给问题解决带来不一样的难易程度，所以选择分类依据很重要．

3．（2018·云南中考）在△ABC中，AB＝，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为__________．

类型五由对应关系不确定分类

（2018·湖南常德中考）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴，与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

【分析】

（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线表达式；

（2）设M（t，0），先求出直线OA，直线AB，直线MN的表达式，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN＝S△AOM－S△NOM得到S△AMN，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）设Q（m，m2－m），根据相似三角形的判定方法，分两种情况讨论，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．

【自主解答】

4．（2018·新疆乌鲁木齐中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－2，0），B（8，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点C是抛物线与y轴的交点，连结BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D.

①是否存在点P，使线段PD的长度最大？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．

参考答案

类型一

【例1】

（1）由题意知

解得

∴抛物线y1的表达式为y1＝－x2－x＋.

∵抛物线y1平移后得到抛物线y2，且顶点为B（1，0），

∴抛物线y2的表达式为y2＝－（x－1）2，

即y2＝－x2＋x－.

（2）抛物线y2的对称轴l为x＝1，设T（1，t）．

已知A（－3，0），C（0，）．

如图，过点T作TE⊥y轴于点E，则

TC2＝TE2＋CE2＝12＋（－t）2＝t2－t＋，

TA2＝AB2＋TB2＝（1＋3）2＋t2＝t2＋16，AC2＝.

当TC＝AC时，即t2－t＋＝，

解得t1＝或t2＝；

当TA＝AC时，得t2＋16＝，无解；

当TA＝TC时，得t2－t＋＝t2＋16，解得t3＝－.

综上可知，在抛物线y2的对称轴l上存在点T，使△TAC是等腰三角形，此时T点的坐标为T1（1，），T2（1，），T3（1，－）．

（3）设P（m，－m2－m＋），则Q（m，－m2＋m－）．

∵Q，R关于x＝1对称，

∴R（2－m，－m2＋m－）．

情况一：

当点P在直线l的左侧时，

PQ＝－m2－m＋－（－m2＋m－）＝1－m，

QR＝2－2m.

又∵以P，Q，R构成的三角形与△AMG全等，

当PQ＝GM且QR＝AM时，m＝0，

可求得P（0，），即点P与点C重合，

∴R（2，－）．

设PR的表达式为y＝kx＋b，

则有解得

即PR的表达式为y＝－x＋.

当PQ＝AM且QR＝GM时，无解．

情况二：

当点P在直线l右侧时，

P′Q′＝－m2＋m－－（－m2－m＋）＝m－1，

Q′R′＝2m－2，

同理可得P′（2，－），R′（0，－），

P′R′的表达式为y＝－x－.

综上所述，PR的表达式为y＝－x＋或y＝－x－.

变式训练

1．C　

类型二

【例2】

（1）△ABC是“等高底”三角形．理由如下：

如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°.

∵∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝AC＝3，

∴AD＝BC＝3，

即△ABC是“等高底”三角形．

（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴AD＝BC.

∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A′BC，

∴∠ADC＝90°.

∵点B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD.

设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，

由勾股定理得AC＝x，

∴＝＝.

（3）①当AB＝BC时，

Ⅰ.如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F.

∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB＝BC，

∴BC＝AE＝2，AB＝2，

∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝2.

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，

∴∠DCF＝45°.

设DF＝CF＝x.

∵l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，

∴＝＝，即AF＝2x，

∴AC＝3x＝2，

∴x＝，CD＝x＝.

Ⅱ.如图4，此时△ABC等腰直角三角形．

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴CD＝AC＝2.

②当AC＝BC时，

Ⅰ.如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，

∴A′C⊥l1，∴CD＝AB＝BC＝2.

Ⅱ.如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC.

∴AC＝BC＝AE，∴∠ACE＝45°，

∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A′B′C时，点A′在直线l1上，

∴A′C∥l2，即直线A′C与l2无交点．

综上所述，CD的值为，2，2.

变式训练

2．15或43　

类型三

【例3】当0≤t＜2时，S＝×2t××（4－t）＝－t2＋2t；

当2≤t＜4时，S＝×4××（4－t）＝－t＋4.

只有选项D的图形符合．故选D.

类型四

【例4】∵∠P＝90°，PM＝PN，

∴∠PMN＝∠PNM＝45°.

由题意得CM＝x.

分三种情况：

①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E.

∵∠PMN＝45°，∴△MEC是等腰直角三角形，

此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，

∴y＝S△EMC＝CM·CE＝x2.

故选项B和D不正确；

②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G.

∵∠N＝45°，CD＝2，∴CN＝CD＝2，

∴CM＝6－2＝4，即此时x＝4.

当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，过E作EF⊥MN于F