高一年级寒假培优数学教材.docx

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高一年级寒假培优数学教材

三、函数思想方法的应用

【要点】

1．函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．

2．方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．

3．函数和方程是密切相关的，可以互相转化。

比如研究函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点问题，就是研究方程f（x）=g（x）的实数解的问题；解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点．

4．函数应用题的解题步骤简述如下：

（1）审题：

阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论；

（2）建模：

将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,；

（3）求模：

求解数学模型，得到数学结论；

（4）作答：

对结果进行验证或评估，作出解释或回答。

解应用题可归结为“过三关”：

一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。

【例题】

1．方程x2=2x的解的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

2．已知，（a、b、c∈R），则有（）

A．B．C．D．

3．已知关于的方程－（2m－8）x+－16=0的两个实根、满足＜＜，则实数m的取值范围_______________．

4．关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是______．

5．若不等式≥x+11-a的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a的值．

6．已知直线y=3-x和坐标轴交于A、B两点，若抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同的交点，求实数m的范围．

7．设不等式2x－1>m（x－1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立．求x的取值范围．

8．设f（x）＝lg，如果当x∈（-∞,1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围．

9．若方程lg（－x＋3x－m）＝lg（3－x）在x∈（0,3）内有唯一解，求实数m的取值范围．

10．已知函数f（x）=logm

（1）若f（x）的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以说明；

（2）当0＜m＜1时，使f（x）的值域为［logm［m（β–1）］，logm［m（α–1）］］的定义域区间为［α,β］（β＞α＞0）是否存在？

请说明理由．

11．（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：

可变部分与速度v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

12．某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒

（1）分析救生员的选择是否正确；

（2）在AD上找一落点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。

【习题】

一、选择题（A、B、C三级试题分别为3、2、1，共6小题）：

1.方程2＝x＋2x＋1的实数解的个数是_____．

A．1B．2C．3D．以上都不对

2.方程lgx+x=3的解所在区间为（　C）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）

3.函数的最小值是

A．1B．2C．25/12D．13/6

4.设x1、x2、x3依次是方程，，2x+x=2的根，则有（）

A．x2＜x3＜x1B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1

5.设（n∈N），则在数列{an}的前30项中的最大项、最小项依次是（）

A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30

6.已知集合P＝{（x,y）|y＝}、Q＝{（x,y）|y＝x＋b}，若P∩Q≠，则b的取值范围是　　　　　　　．

A．|b|<3B．|b|≤3C．－3≤b≤3D．－3

二、填空题（A、B、C三级试题分别为2、1、1，共4小题）：

7.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________．

8.若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______．

9.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范围是________．

10.若关于x的方程|x－6x＋8|＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________．

三、解答题（A、B、C三级试题分别为2、2、2，共6小题）：

11.已知函数g（x）=lg[a（a+1）x2－（3a+1）x+3]的值域是R，求实数a的取值范围．

12.定义域内不等式恒成立，求实数的取值范围．

13.已知点A（0,1）、B（2,3）及抛物线y＝x＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围．

14.当实数在什么范围内时，方程有两个不相等的实数根．

15.已知二次函数f（x）=ax2+bx（a,b为常数，且a≠0）满足条件:

f（x–1）=f（3–x）且方程f（x）=2x有等根．

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

16.

（1）一次函数f（x）=kx+h（k≠0），若m＜n有f（m）＞0，f（n）＞0，则对于任意x∈（m，n）都有f（x）＞0，试证明之；

（2）试用上面结论证明下面的命题：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1

三、函数思想方法的应用参考答案

【例题】

1．D

2．B

3．

4．解析：

作函数y=|x2－4x+3|的图象，如下图．

由图象知直线y=1与y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1．

答案：

1

5．解：

设（y1≥0）

∴（y1≥0），它表示以（-2，0）为圆心，2为半径的上半圆．表示和平行或重合的直线系．分别作出y1与y2的图象，让y2作平行移动，要y1≥y2解集为{x|-4≤x≤-2}，显然当且仅当直线通过点（-2，2）时符合要求，此时

∴

6．解：

将y=3-x代入抛物线方程得：

x2-（m+1）x+4=0（*）

（*）应满足条件：

在[0，3]内有两个不同的实根．令f（x）=x2-（m+1）x+4．

由如图，则

解得：

3＜m≤

7．【解】问题可变成关于m的一次不等式：

（x－1）m－（2x－1）<0在[-2,2]恒成立，设f（m）＝（x－1）m－（2x－1）,

则

解得x∈（,）

【注】本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题．本题有别于关于x的不等式2x－1>m（x－1）的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m（x－1）在[-2,2]上恒成立时求m的范围．

8．【分析】当x∈（-∞,1]时f（x）＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈（-∞,1]上恒成立的不等式问题．

【解】由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈（-∞,1]上恒成立，

即：

（）＋（）＋a>0在x∈（-∞,1]上恒成立．

设t＝（）,则t≥，又设g（t）＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－

∴t＋t＋a＝0在[,+∞）上无实根，即g（）＝（）＋＋a>0，得a>－

所以a的取值范围是a>－．

【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想．一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化．

在解决不等式（）＋（）＋a>0在x∈（-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”：

设t＝（）,t≥，则有a＝－t－t∈（－∞,－]，所以a的取值范围是a>－．其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”．

9．【解】原方程变形为即：

设曲线y＝（x－2）,x∈（0,3）和直线y＝1－m，画图可知：

①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;

②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

∴m＝1或－3

此题也可设曲线y＝－（x－2）＋1,x∈（0,3）和直线y＝m后画出图像求解．

【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了．此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）．

10．解：

（1）x＜–3或x＞3．

∵f（x）定义域为［α,β］,∴α＞3

设β≥x1＞x2≥α，有

当0＜m＜1时，f（x）为减函数，当m＞1时，f（x）为增函数．

（2）若f（x）在［α,β］上的值域为［logmm（β–1）,logmm（α–1）］

∵0＜m＜1,f（x）为减函数．

∴

即

即α,β为方程mx2+（2m–1）x–3（m–1）=0的大于3的两个根

∴∴0＜m＜

故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在．

11．解：

（读题）由主要关系：

运输总成本＝每小时运输成本×时间，

（建模）有y＝（a＋bv）

（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：

y＝S（＋bv），其中函数的定义域是v∈（0，c]．

整理函数有y＝S（＋bv）＝S（v＋），

由函数y＝x＋（k>0）的单调性而得：

当

当≥c时，则v＝c时，y取最小值．

综上所述，为使全程成本y最小，当

12．解：

（1）由A直接游向B的时间（秒）

由A经D游向B的时间（秒）

而，因此救生员的选择是正确的。

（2）,则从A经C到B的时间为t,

因此点C应选沿岸边AD距D点米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短为秒

13．已知，g（x）=x+a（a>0）．

（1）当a=4时，求的最小值；

（2）当时，不等式>1恒成立，求a的取值范围．

13．解

（1）当a=4时，＝

，当时，即x=4时，取最小值15．

（2）>1

．

记，比照函数的图象的性质可知：

（1）当0

（1）＝a（a+1）>2,解得a<-2或a>1（舍）；

（2）当a>4时，（x）在[1,4]上单调递减，min（x）=（4）＝，解得a>4；

（3）当时，（x），解得．

综上有：

a>1．

【习题】

11．解：

由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2－（3a+1）x+3能取到一切正实数．

①a=0时，h（x）=－x+3，显然能取到一切正实数；

②a=－1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；

③a≠0且a≠－