高一年级寒假培优数学教材.docx

1、高一年级寒假培优数学教材三、函数思想方法的应用【要点】1函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法2方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法3函数和方程是密切相关的，可以互相转化。比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题，就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题；解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点4函数应用题的解题步骤简述如下：（1）审题：阅

2、读理解文字表达的题意,分清条件和结论；（2）建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）作答：对结果进行验证或评估，作出解释或回答。解应用题可归结为“过三关”：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。【例题】1方程x2=2x的解的个数为（ ）A0 B1 C2 D32已知，（a、b、cR），则有（ ） A B C D 3已知关于的方程(2 m8)x +16 = 0的两个实根、满足，则实数m的取值

3、范围_ 4关于x的方程|x24x+3|a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_5若不等式x+11-a的解集为x|-4x-2，求实数a的值6已知直线y=3-x和坐标轴交于A、B两点，若抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同的交点，求实数m的范围7设不等式2x1m（x1）对满足|m|2的一切实数m的取值都成立求x的取值范围8设f（x）lg，如果当x（-,1时f（x）有意义，求实数a的取值范围9若方程lg（x3xm）lg（3x）在x（0,3）内有唯一解，求实数m的取值范围10已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当

4、0m1时，使f(x)的值域为logmm(1)，logmm(1)的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由11（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元 （1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数，并指出函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？12某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到

5、距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒 （1）分析救生员的选择是否正确； （2）在AD上找一落点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。【习题】一、选择题（A、B、C三级试题分别为3、2、1，共6小题）：1. 方程2x2x1的实数解的个数是_ A1 B2 C3 D以上都不对2. 方程lgx+x=3的解所在区间为（C ） A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+) 3. 函数的最小值是 A1 B2 C25/12 D13/64. 设x1、x2、x3依次是方程，2x+x=2的根，则有（ ）Ax2x3x1 Bx1x3x2 Cx2

6、x1x3 Dx3x2x15. 设（nN），则在数列an的前30项中的最大项、最小项依次是 （ ）Aa1，a30 Ba1，a9 Ca10，a9 Da10，a306. 已知集合P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若PQ，则b的取值范围是 A|b|3 B|b|3 C3b3 D3b|x1|x1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_8. 若方程x3ax2a0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是_9. 对于满足0p4的所有实数p，使不等式xpx4xp3成立的x的取值范围是_10. 若关于x的方程|x6x8|a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是_三、解答题（A、B、C三级试题分

7、别为2、2、2，共6小题）：11. 已知函数g(x)=lga(a+1)x2(3a+1)x+3的值域是R，求实数a的取值范围12. 定义域内不等式恒成立，求实数的取值范围13. 已知点A（0,1）、B（2,3）及抛物线yxmx2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围14. 当实数在什么范围内时，方程有两个不相等的实数根15. 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(mn)，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，

8、说明理由16. （1）一次函数f(x)=kx+h(k0)，若mn有f(m)0，f(n)0，则对于任意x(m，n)都有f(x)0，试证明之；（2）试用上面结论证明下面的命题：若a，b，cR且|a|1，|b|1，|c|1，则ab+bc+ca-1三、函数思想方法的应用参考答案【例题】1D2B3 4解析：作函数y=|x24x+3|的图象，如下图由图象知直线y=1与y=|x24x+3|的图象有三个交点，即方程|x24x+3|=1也就是方程|x24x+3|1=0有三个不相等的实数根，因此a=1答案：15解：设（y10）（y10），它表示以（-2，0）为圆心，2为半径的上半圆表示和平行或重合的直线系分别作出

9、y1与y2的图象，让y2作平行移动，要y1y2解集为x|-4x-2，显然当且仅当直线通过点（-2，2）时符合要求，此时6解：将y=3-x代入抛物线方程得：x2-（m+1）x+4=0（*）（*）应满足条件：在0，3内有两个不同的实根令f（x）=x2-（m+1）x+4由如图，则解得：3m7【解】问题可变成关于m的一次不等式：（x1）m（2x1）m（x1）的解集是-2,2时求m的值、关于x的不等式2x1m（x1）在-2,2上恒成立时求m的范围8【分析】当x（-,1时f（x）lg有意义的函数问题，转化为124a0在x（-,1上恒成立的不等式问题【解】 由题设可知，不等式124a0在x（-,1上恒成立，

10、即：（）（）a0在x（-,1上恒成立设t（）, 则t， 又设g（t）tta，其对称轴为t tta0在,+）上无实根， 即 g（）（）a0，得a所以a的取值范围是a【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化在解决不等式（）（）a0在x（-,1上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t（）, t，则有att（,，所以a的取值范围是a其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究

11、，也可属应用“函数思想”9【解】 原方程变形为 即： 设曲线y（x2）, x（0,3）和直线y1m，画图可知： 当1m0时，有唯一解，m1; 当11m4时，有唯一解，即3m0, m1或30）的单调性而得：当c时，则v时，y取最小值；当c时，则vc时，y取最小值综上所述，为使全程成本y最小，当0)（1）当a=4时，求的最小值； （2）当时，不等式1恒成立，求a的取值范围13解（1）当a=4时，当时，即x=4时，取最小值15（2）1记，比照函数的图象的性质可知：（1）当0a2,解得a1（舍）；（2）当a4时， (x)在1,4上单调递减， min(x)= (4)，解得a4；（3）当时， (x)，解得综上有：a1【习题】11解：由题意知，应使h（x）=a（a+1）x2（3a+1）x+3能取到一切正实数a=0时，h（x）=x+3，显然能取到一切正实数；a=1时，h（x）=2x+3，也能取到一切正实数；a0且a