最优控制习题及参考答案文档格式.docx
《最优控制习题及参考答案文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最优控制习题及参考答案文档格式.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
取极小值的最优控制u（t）以及最优轨线x（t）。
⎡x⎤
f=⎢⎥
⎢⎣u⎥⎦
Hamiton函数：
H=L+λf
H=1u+λx
+λu
⎧λ=0
⎩λ=−λ
由协态方程：
⎨
2
⎧λ=C①
得：
⎩λ=−Ct+C②
∂H
由控制方程：
∂u
=u+λ=0
u=−λ=Ct−C③
由状态方程：
x=u=Ct−C
x（t）=1Ct−Ct+C④
2
x=x
x（t）=1Ct−1Ct+Ct+C⑤
6
⎡1⎤
⎡0⎤
将x（0）=⎢⎥，x（3）=⎢0⎥代入④，⑤,
⎣1⎦⎣⎦
10
联立解得：
C=
由③、④、⑤式得：
u（t）=10t−2
9
，C=2，C=C=19
x（t）=
5t−t+t+1
27
x（t）=5t−2t+1
习题4已知系统状态方程及初始条件为
x=u，
x（0）=1
试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
∫
J=
H=xe+ue+λu
⎪
⎧x=u
列方程：
⎨λ=−2xe
⎩
⎪2eu+λ=0
（x+u）edt
①
②
③
由③得，u
代入①得，
x
1eλ④
1eλ
=−
x1eλ
eλ
=−+
将②，③代入，并考虑到u=x
x
1e（−2xe）+e（−2ex）2
整理可得：
x+2x−x=0
特征方程：
s+2s−1=0
s=−1+
2，s=−1−2
于是得：
x（t）=Ce+Ce
）=u=
λ（t③−2e①−2ex
λ（t）=−2e
（Cse
+Cse）
由x（0）=1，得：
C+C=1⑤
由λ（t）=λ
（1）=0得：
Cse
+Cse=0⑥
⑤、⑥联立，可得C、C
代回原方程可得x→u
（略）
习题5求使系统：
x=x，x=u
由初始状态x（0）=x（0）=0
出发，在t
=1时转移到目标集
x
（1）+x
（1）=1，并使性能指标J=∫
u（t）dt
为最小值的最优控制u（t）及相应的最优轨线x（t）。
本题f（i），L（i）与习题3同，故H（i）相同→方程同→通解同
⎧λ=C，λ=−Ct+C
⎪x=1Ct−1Ct+Ct+C
⎨
⎪
62
⎪x=1Ct−Ct+C
⎪2
⎩u=Ct−C
x（0）=⎢⎥
⎣0⎦
由，有：
C=C=0①
由x
（1）+x
（1）=1，有：
1C
–1C
+1C−C=1
2
2C−3C=1②
32
∂ϕ∂ψ
由λ
（1）=+⋅γ=0，ψ=x+x−1
∂x∂x
λ
（1）=⎢⎥γ=0⇒λ
（1）=λ
（1）
⎢⎣1⎥⎦
C=−C+C
2C=C③
36
②、③联立，得：
C=-、C=-
77
u=−3t+6
x=−1t+3t
147
x=−3t+6t
习题6已知一阶系统：
x（t）=−x（t）+u（t），x（0）=3
（１）试确定最优控制u（t），使系统在t=2时转移到x
（2）=0，并使性
能泛函
J=（1+u）dt=min
（２）如果使系统转移到x（t）=0的终端时间t自由，问u（t）应如何确定
H=1+u+λu−λx
⎧x=−x+u
⎨λ=λ
⎪2u+λ=0
由协态方程得：
λ=Ce①
1
u
=−Ce②
①t
代入状态方程：
x=−x−Ce
=2，x
（2）=0
⇒x（t）=Ce
–
1Ce
4
⎧−1C=3
⎪4
⎪Ce−1Ce=0
⎩⎪4
12
解得：
C=，
e−1
3e
C=
代入②得：
u（t）=−
②x（t）=2，t自由
6e
e−1
Ce
1Ce=0
⎨
⎪H（t）=0
40−6=
u（t）=−
习题7设系统状态方程及初始条件为
x（t）=u（t），x（0）=1
试确定最优控制u（t），使性能指标
J=t+
udt
为极小，其中终端时间t未定，
x（t）=0。
H=1u+λu
λ=0
→λ=C①
u+λ=0
→u=−C②
x=u=−C
⇒x（t）=−Ct+C③
由始端：
x（0）=1
→C=1
由末端：
x（t）=0
→−Ct+1=0④
∂ϕ
考虑到：
H（t）=−
t
∂ψ
⋅γ=−1
∂∂
u+λu=−1
1C−C=−1⇒C=2
C=±
2⑤
当C=
2时，代入④
t
=1=1
C2
当C=−
=1=−1，不合题意，故有C=2
最优控制
u=−2
习题8设系统状态方程及初始条件为
x（t）=x（t），x（0）=2
性能指标为
x（t）=u（t），
J=1∫udt
要求达到x（t）=0，试求：
（1）t
=5时的最优控制u（t）；
（2）t自由时的最优控制u（t）；
解：
本题f（i），L（i），H（i）与前同，故有
⎧
⎪λ=C
⎪λ=−Ct+C
⎨
⎪⎩u=Ct−C
⎡2⎤
⎧C=2
⎪C=1
⎪12525
①由x（0）=⎢⎥
x（5）=⎢0⎥，得：
⎨
C−
C+5C+C=0
⎣1⎦
⎣⎦⎪62
⎪25
C
−5C+C=0
⎪
⎩2
联立得：
C=，C=，
⇒u
=−
②t自由
⎪C=1
⎪
⎪C=2
1Ct−1Ct+Ct
+C=0
⎪1Ct−Ct
⎪2
⎪⎩H（t）=0
联立有：
Ct−2Ct
+2=0，无论C为何值，t均无实解。
习题9给定二阶系统
x（t）=x（t）+1，x（0）=−1
44
x（0）=−
4
控制约束为u（t）≤，要求最优控制u（t），使系统在t=t
并使
时转移到x（t）=0，
其中t自由。
J=u（t）dt=min
H=u+λx
+1λ
⎧−1λλ≤1
⎪2
本题属最小能量问题，因此：
u（t）=⎪−1
λ>
1
⎪1λ
<
−1
⎧⎪λ=0→λ=C
⎨
⎪⎩λ=−λ→λ=−Ct+C
λ是t的直线函数。
当u（t）=−1λ
=1Ct−1C
时（试取）
222
x（t）=1Ct−1Ct+C
x（t）=
1Ct−1Ct+1t+Ct+C
12
44
由始端条件→C=C=
由末端条件→
1Ct−1Ct
+1t
+1=0
4
24
24
另：
H（t）=0
C=，C=0，t=3
9
于是，λ
1t⎧λ=1时，t<
0
=−⎨
9⎩λ
=−1时，t=9
在t从0→3段，λ
≤1满足条件。
故，u
1λ=1t
218
01234t
习题10设二阶系统
x（t）=−x（t）+u（t），x（0）=1
x（t）=x（t），
x（0）=0
控制约束为u（t）≤1，当系统终端自由时，求最优控制u（t），使性能指标
J=2x
（1）+x
（1）
取极小值，并求最优轨线x（t）。
由题意，f
⎡−x+u⎤
=，
ϕ=x
+x,
L=0，⇒
H=λu−λx
+λx
⎢⎥
⎣x⎦
⎨−1
由控制方程可得：
u=⎧+1
λ<
λ>
⎧λ
=λ−λ
⇒λ=Ce+C
由协态方程可得：
⎨
⎩λ=0
∂ϕ⎡2⎤
⇒λ=C
由λ（t
）==⎢⎥
⇒C=1，C
=e
∂x（t）
⎣1⎦
⎧λ=e+1→在t>
0的围λ>
⇒⎨
故：
u=−1
t∈[0,1]
⎩λ=1
若需计算最优轨线，只需把u=−1代入状态方程，可得：
⎧x（t）=2e−1
x（t）=−2e−t+2
⎩⎪
习题11设系统状态方程为
x（t）=x（t），x（0）=x
性能指标为J=1
（4x+u）dt
x（0）=x
试用调节器方法确定最优控制u（t）。
⎡01⎤
由已知条件得：
A=⎢⎥
⎣00⎦
，B=⎢⎥，
⎡40⎤
Q=⎢⎥
，R=1
⎢10⎥
∵[BAB]=⎡01⎤
⎣⎦
∴可控——最优解存在
考虑到
Q=⎡40⎤=⎡2⎤[20]=DD，故
⎢00⎥⎢0⎥
⎣⎦⎣⎦
D=[20]
⎡D⎤⎡20⎤
∵⎢⎥=⎢⎥
⎣DA⎦⎣02⎦
∴闭环系统渐近稳定
由Riccati方程AP+PA−PBRBP+Q=0，有
⎡00⎤⎡P
P⎤+⎡P
P⎤⎡01⎤−⎡P
P⎤⎡0⎤[01]⎡P
P⎤+⎡40⎤=0
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣10⎦⎣P
P⎦⎣P
P⎦⎣00⎦
⎣P
P⎦⎣1⎦
P⎦
⎧−P+4=0→P
=±
2（取+2舍−2）
展开得：
⎨P−PP=0→P=±
4（由正定舍−4）
⎪2P−P=0→P=2P
→P=±
⎩
⎡42⎤
故P=⎢⎥
⎣22⎦
于是，u=−RBPx=−2x
2x
即：
u（t）=−2x（t）−2x（t）
升级会员 