全等三角形的提高拓展训练学生版1he全等三角形经典题型50题含答案.docx

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全等三角形的提高拓展训练学生版1he全等三角形经典题型50题含答案

全等三角形的提高拓展训练

知识点睛

全等三角形的性质：

对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

（3）有公共边的，公共边常是对应边．

（4）有公共角的，公共角常是对应角．

（5）有对顶角的，对顶角常是对应角．

（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

（1）边角边定理（SAS）：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

（2）角边角定理（ASA）：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

（3）边边边定理（SSS）：

三边对应相等的两个三角形全等．

（4）角角边定理（AAS）：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）斜边、直角边定理（HL）：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：

运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

拓展关键点：

能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】（年北京中考题）已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

【例2】如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点（点除外），作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?

【变式拓展训练】

如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？

【例3】已知：

如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：

BE+DF=AE.

【例4】以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：

平分．

【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．

【例6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，

求证：

AD平分∠CDE

板块二、全等与角度

【例7】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.

【例8】在等腰中，，顶角，在边上取点，使，

求.

【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在中，，，又在上，在上，且满足，，求.

【例10】在四边形中，已知，，，，求的度数.

【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形中，，，，，求的度数.

【例12】（河南省数学竞赛试题）在正内取一点，使，

在外取一点，使，且，求.

【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在中，，为内一点，使得，，求的度数.

全等三角形证明经典50题（含答案）

1.已知：

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE

即:

10-2<2AD<10+24

又AD是整数,则AD=5

2.已知：

D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

3.已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

证明：

连接BF和EF。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。

所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中，

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。

4.已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

证明：

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G

则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2

又∵CD=DE

∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）

∴EG=AC

∵EF//AB

∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE

∴EF=EG

∴EF=AC

5.已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

A

证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）

∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C

6.已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

因为CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90°

因为EB＝EF，CE＝CE，

所以△CEB≌△CEF

所以∠B＝∠CFE

因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

所以∠D＝∠CFA

因为AC平分∠BAD

所以∠DAC＝∠FAC

又因为AC＝AC

所以△ADC≌△AFC（SAS）

所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

证明:

在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:

∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：

AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：

∠F=∠C

AB//ED,AE//BD推出AE=BD,

又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF全等于三角形DCB，

所以:

∠C=∠F

14.已知：

AB=CD，∠A=∠D，求证：

∠B=∠C

证明：

设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

所以：

AE=DE

而AB=CD

所以：

BE=CE（等量加等量，或等量减等量）

所以：

△BEC是等腰三角形

所以：

角B=角C.

15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：

PC-PB

作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）

因为PC

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE交AC于F

因为，∠1=∠2，BE⊥AE

所以，△ABF是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C

BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

作AG∥BD交DE延长线于G

AGE全等BDE

AG=BD=5

AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H;

BD=DC;

所以:

∠DBC=∠角DCB;

∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;

∠ABC=∠ACB;

所以:

AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;

AD是等腰三角形的顶角平分线

所以:

AD垂直BC

19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA

所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

证明：

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B

证明：

在AB上找点E，使AE=AC

∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD

∴△ADE≌△ADC。

DE=CD，∠AED=∠C

∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE

∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

分析：

通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

解答：

解：

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF．

23．（7分）已知：

如图，DC∥AB，且DC=AE，E