完整word版空间向量与立体几何测试题及答案Word下载.docx
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2,
C.
D.2J'
1
9.若向量a
（1
2）与b
（2,1,2）的夹角的余弦值为
8，则
9
A.2
B.2
2或—
55
10•已知ABCD为平行四边形，且A（413）,
”7
A.—,4,1
2
D
B.（2,4,1）
B（2,5,1）,
C（3,7,
C.（214,1）
11.在正方体ABCD
AB1C1D1中,
5）,则顶点D的坐标为（
D.（513,3）
A.60°
90°
O为AC,BD的交点，则
C43
C.arccos-
3
GO与AD所成角的（
arccos
6
12.给出下列命题：
b，贝Ua-（b
①已知a
c）c・（ba）b-c;
②A,B,
uuuuuuuuuir
M,N为空间四点，若BABM,BN不构成空间的一个基底，那么A,B,M,N共面;
b，则a,b与任何向量都不构成空间的一个基底;
④若a,b共线，则a,正确的结论的个数为（
A.1B.2
③已知a
b所在直线或者平行或者重合.
C.3
D.4
二、填空题
13.已知a（3,15）,b
（1,2,3）,向量c与z轴垂直，且满足c-a9,c-b4，则c
I；
2221,0
55
UlU1UUU2UUU
14.已知AB,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OPOAOB
53
LULT”
OC确
定的点P与A,B,C共面，那么
-
15
15.已知线段AB面，BC，CDBC，DF面于点F，
在平面的同侧，若ABBCCD2，则AD的长为.
DCF30°
，且D,A
22
16.在长方体ABCDA1B1C1D1中，BQ和CQ与底面所成的角分别为线BC和CQ所成角的余弦值为.
60°
和45°
则异面直
答案:
17.设a1
2i
j
k,a2
i3j2k,aa
2ij3k,a4
3i2j5k，试问是否存在实
数，，
，使
a4
a1
a2a3成立?
如果存在，求出
,;
如果不存在，请写出
证明.
解：
假设
a2a3成立.
•••a1（2,
1,1）,
a2
（13,
2）,a3（21,
3）,a4（3,2,5）,
•-（2
2,
23）
（3,2,5）.
2,解得
1,
5,
3.
所以存在
1,v
3使得a4
2a1a23a3.
三、解答题
理由即为解答过程.
18.如图2,正三棱柱ABC
A1B1C1的底面边长为
a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A
所成的角.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0,0,0,B（0,a,0,A（0,0,&
a）,G—a<
a虽a22
由于n（1,0,0）是面ABB1A］的法向量,
.uuuu
cosAG,n
ujih
AC/njjuiAGn
故ACi与侧面ABBiA所成的角为30°
.
19•如图3，直三棱柱ABCABQi中，底面是等腰直角三角形,
ACB90°
，侧棱
AA2，D，E分别是CCi与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是求点A到平面AED的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系，设CA2a,
'
"
2a2a1
则A（2a,0,0,B（0,2a,0,D（0,0,1）,A（2a,0,2）E（a,a,1）,G一,一，-.
333
切aa2uuu
从而GE—_,BD（0,2a,1）.
由GEBDGE-BD0,得a1,
△ABD的重心G,
则A!
（2,0,2）A（2,0,0）E（1,1,1）.
自A作AH面AED于M，并延长交xOy面于H，设H（x,y,0）,
uuuu
则AH（x2,y,2）.
uuuuuu
又AD（2,0,）,AE（1,1,1）.
A1HAD,
A1HAE
2（x22）2200%1,得H（1,1,0）
（x2）y20y1,
又AM
A1A'
cos
JUTULULT
A1AAM
jUULTLULU.
AA・cosA1AAH
24
22.6
那么B（2,0,2）D（0,2-2,P（2,,0）Q（2
（2t）2,2-0）,
从而QR（2
（2t）2-
2-2）,
PD1（
2,2
t,2）,
由QBPD1
uuuuuuuuQB/PD!
0,
1图X
即22（2t）22（2t）40t1.
20.已知正方体ABCDAB1GD1的棱长为2,P,Q分别是BC,CD上的动点，且PQ2,确定P,Q的位置，使QB1PD1.
建立如图所示的空间直角坐标系，设BPt,
得CQ2（2t）2,DQ22（2t）2.
故P,Q分别为BC,CD的中点时，QBiPDi.
21.如图4，在底面是直角梯形的四棱锥
SABCD中，ABC90°
，SA面ABCD，
SAABBC1,AD，求面SCD与面SBA所成二面角的正切
值.
戸,1
则A（0,0,0,B（1,0,0,C（1,1,0）D0,0,S（0,0,1）.
延长CD交x轴于点F,易得F（1,0,0）,
作AESF于点E,连结DE,
则DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.
11
又由于SAAF且SAAF,得E-,0,-,
uur1
那么EA2,0
1uurED
从而
.EA，ED
.uuu
|ea
UUUI.ed|
uurumr.因此tanEAF,ED
故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为
22.平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且GCB
GCD
BCD,试问:
CD
当一一的值为多少时，AQ面GBD?
请予以证明.
CG
欲使AQ面GBD,只须ACC1D,且ACGB.
uuiruuun
欲证ACGD,只须证CAGD0,
uuruuruuuuuur
即（CAAA）•（CDCG）0,
也就是（CDCB
ujuuuuruuur
CC）（CDCCJ
uuu2
.uuuu2
uuu
即
ICC1
CB
cosBCD
uuuuuui
CBCC1cos
由于C1CBBCD,
C1CB0.
显然,
uur
CC1
时，上式成立;
同理可得，当
因此,当
iuuu
AC
1时，AC面GBD.
1.已知ABC三点不共线，对平面
A.m〃n
B.m
nC.
qp•*
m不平行于n,m也不垂直于n
D.以上三种情况都可
D.△ABC是直角三角形的充要条件是
ABAC0
5.对空间任意两个向量a,b（b
o）,a//b的充要条件是
a.ab
b.a
C.ba
D.a
6.已知向量a
（0,2,1）,b（
1,1,2）,则a与b的夹角为
A.0°
B.45
C.90
o.
D.180
7.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为
与BD
.选择题：
（10小题共40分）
ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点ABC
定共面的是
（）
A.OM
OA
OB'
OC
b.OM
2OAOB
C.OM
1^OB
^OC
D.OM
^OA^OB-OC
33
2.直三棱柱ABC-A1B1G中,
若CA
a,CB
bg
C,则AB
A.ab
—c
B.a
■—bc
C.a
D.abc
3.若向量m垂直向
量a和b，向量n
—»
a
b（,
R且、
0）则（）
能
4.以下四个命题中，正确的是
—1—1—-
A.若OPOAOB,则P、A、E三点共线
23
B.设向量｛a,b,c｝是空间一个基底，则｛a+b,b+c,c+a｝构成空间的另一个基底
—►—*—►f
c.（ab）cabc
A1B1a,A1D1b,AAc,
则下列向量中与B1M相等的是（）
10.在棱长为1的正方体ABC—A1B1CD中，M和N分别为AB和BB的中点，那么直线AM与
CN
所成角的余弦值是
（4）求CB与平面AABB所成的角的余弦值
5
17.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2,P为SA的中点，如图•
（1）求二面角B—SC-D的大小；
（2）求DP与SC所成的角的大小•
18.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1/BCA=90，棱AA=2,MN分
别是A1B1,AA的中点；
（1）求BN的长;
⑵求cosBA，CB1的值；
（3）求证：
ABC1M.
1，0）、N（1，0，1）
高中数学选修2-1测试题（10）—空间向量⑴参考答案
DDBB
DCDAAB11.0
12.（1
1,1）
13.60
14.3
15.
（1）
略⑵450
16.45
17.
（1）
3⑵
18.
（1）
3
（2）
30
（3）略
（4）
310
10
18.如图，建立空间直角坐标系
O—xyz.
（1）依题意得B（0,
•-1BN|=（10）2（01）2（10）23.
（2）依题意得A1（1,0,2）、B（0,1,0）、
•BA={—1,—1,2},CB1={0,1,2,},
C（0,0,0）、B（0,1,2）
BA|•CB1=3,|BA|=
4g
J齐■二4
Z
图
ICBi|=5二cos<
BAi,
CBi>
=
BACB1
—-:
30.
IBAiI|CBi|10
（3）证明：
依题意，得G
（0,0,2）、M（1,1,2
）,A>
{-1,1,2},CjM={-,-，
122
0}.•AB•CiM=—1
1+0=0,•••AB丄CM,•••AiB丄CM.
评述：
本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件
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