334 勾股定理.docx

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334勾股定理

勾股定理

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●掌握勾股定理及其逆定理具体内容；

●能够比较熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长，求出第三条边长；

●会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形；

●勾股定理是平面几何中的一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三边之间的数量关系．在理论和实际中应用很广泛．

重点难点：

●重点：

理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及应用．

●难点：

理解勾股定理的推导．

学习策略：

●经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）三角形按角度分类：

三角形、三角形、三角形．

（二）直角三角形的概念：

有一个角是的三角形是直角三角形．

（三）直角边、斜边的判断：

夹着的两条边是直角边，直角所对的边是斜边．

（四）举例说明平方和与和的平方：

a2+b2是这两个数的平方；（a+b）2是这两数和的．

（五）直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两锐角．

（2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的．

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．详细内容请参看网校资源ID：

#tbjx5#242818

知识点一：

勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：

a，b，斜边长为c，那么

．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的．

要点诠释：

（1）勾股定理揭示的是三角形的边之间的平方关系的定理．

（2）勾股定理只适用于三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形．

（3）理解勾股定理的一些变式：

c2=a2+b2，a2=c2-b2，b2=c2-a2，　　c2=（a+b）2-2ab

知识点二：

用面积证明勾股定理

方法一：

将四个全等的直角三角形拼成如图

（1）所示的正方形．

图

（1）中，所以．

方法二：

将四个全等的直角三角形拼成如图

（2）所示的正方形．

图

（2）中，所以．

方法三：

将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形．

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（个直角三角形面积），

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（个直角三角形面积），

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：

．

方法四：

如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

知识点三：

勾股定理的作用

（一）已知直角三角形的两条边长求；

（二）已知直角三角形的一条边，求另边的关系；

（三）用于证明关系的问题；

（四）利用勾股定理，作出长为的线段．

知识点四：

原命题与逆命题

如果两个命题的题设与结论正好，则称它们为互逆命题．并且其中一个叫原命题，则另一个叫做它的命题．

知识点五：

勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边a、b、c，满足a2+b2＝c2．那么这个三角形是三角形．

要点诠释：

勾股定理及其逆定理的区别在于勾股定理从“”（一个三角形是直角三角形）出发，得出三边关系（a2+b2＝c2），而勾股定理的逆定理从三边

关系（a2+b2＝c2）出发，判断其形（三角形是直角三角形），它是判断一个三角形是否是直角三角形或一个角是否是直角的有效方法．

经典例题-—自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．

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#jdlt0#242818

类型一：

勾股定理的直接用法

例1．在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b，

（2）已知a=40，b=9，求c；

（3）已知c=25，b=15，求a．

思路点拨：

写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用．

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式】如图∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少？

答案：

类型二：

勾股定理的构造应用

例2．如图，已知：

在中，，，．求：

BC的长．

思路点拨：

由条件，想到构造含度角的直角三角形，为此作

于D，则有，，再由勾股定理计算出

AD、DC的长，进而求出BC的长．

解析：

总结升华：

举一反三：

☆☆【变式1】如图，已知：

，，于P．

求证：

．

思路点拨：

图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形．因此，我们考虑构造一个以BP为一边的三角形．所以连结．这样，实际上就得到了个直角三角形．那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系．

解析：

【变式2】已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2．求：

四边形ABCD的面积．

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长、交于F，或延长、交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第种较为简单．

解析：

类型三：

勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

例3．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．

（1）求A、C两点之间的距离．

（2）确定目的地C在营地A的什么方向．

思路点拨：

把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解．

解析：

总结升华：

举一反三：

☆【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

答案：

（二）用勾股定理求最短问题

例4．国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：

解答本题的思路是：

最省电线就是线路长最，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

答案：

类型四：

利用勾股定理作长为的线段

例5．作长为、、的线段．

思路点拨：

由勾股定理得，直角边为的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作．

作法：

总结升华：

举一反三：

【变式】在数轴上表示的点．

解析：

类型五：

逆命题与勾股定理逆定理

例6．写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

（1）原命题：

猫有四只脚．（正确）

（2）原命题：

对顶角相等．（正确）

（3）原命题：

线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

（4）原命题：

角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

思路点拨：

掌握原命题与逆命题的关系．

解析：

总结升华：

☆例7．如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状．

思路点拨：

要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件

，故只有从该条件入手，解决问题．

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

答案：

【变式2】已知：

△ABC的三边分别为m2－n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n），判断△ABC是否为直角三角形．

☆【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB．请问FE与DE是否垂直？

请说明．

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！

课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧．