正方形中位线定理Word文档下载推荐.docx
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(1)∠E=22.50
.
(2)∠AFC=112.50
.(3)∠ACE=1350
.(4)AC=CE。
(5)AD∶CE=1∶2.其中正确的有()A.5个B.4个C.3个D.2个
3.直角坐标系中,如图,点A、B是正半轴上两动点,
以AB为边作一正方形ABCD,对角线AC、BD的交点为E,若OE=2,则E点坐标为________.
4.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA、的中点,四边形EFGH是.
变式:
①若四边形ABCD是矩形,则四边形EFGH是形。
②若四边形ABCD是菱形,则四边形EFGH是形。
5.分别以⊿ABC三边为边在BC的同侧作三个等边⊿ABD、⊿BCE、⊿ACF,则
(1)四边形ADEF是什么四边形?
(2)当⊿ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形;
(3)当⊿ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形。
(4)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为4个顶点四边形不存在?
典型例题:
例1.如图,E为正方形ABCD外一点,AE∥BD,BE=BD,BE交AD于F,求∠DBE和∠AFB的度数。
变式.如图,E为正方形
ABCD外一点,DE∥AC,若四边形ACEF是菱形,求∠F的度数。
B
例2.小杰和他的同学碰到了这样一道题:
“已知正方形ABCD,点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、DA上,若EG丄FH,则GE=FH”经过思考,大家给出了以下两个方案:
(甲)过点A做AM∥HF交BC于点M,过点B作BN∥EG交CD于点N;
(乙)过点A做AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N;
小杰和他的同学顺利的解决了该题后,大家琢磨着想改变问题的条件,作更多的探索.
⑴对小杰遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个,加以证明(如图1);
⑵如果把条件中的“EG丄HF”改为“EG与HF的夹角为45°
”,并假设正方形ABCD的边长为1,FH的
(如图2),试求EG的长度.
【变式题组】
01.若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一
边于点F,且BF=AE,则BM的长为.
02.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为BC边上一点,BE=1.以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°
得△ADE'
,连接EE'
,则EE'
的长等于.
03.已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示)把线段AE绕点A旋转,使点E落在直
线BC上的点F处,则F、C两点的距离为.
04.小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>
CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,
折痕为(如图②);
再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,矩形ABCD长与宽的比值为.
05.平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°
)和一直线MN.过点C作以CE丄MN于点E,过点B作BF
丄MN于点F.当点E与A重合时(如图1),易证:
AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图
2、图3的位置时,上述结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,线段AF、BF、CE之间
又有怎样的数量关系,清直接写出你的猜想,并证明.
三角形中位线
例3.已知:
如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:
四边形EFGH是平行四边形.
变形1四边形ABCD中,AB=CD,M、N是分别AD、BC的中点,延长BA、
MN、CD分别交于点F、E,试说明∠1=∠2.
拓展1如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不必证明)
(温馨提示:
在图
(1)中,连接BD,取BD的中点H,连接HE.HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线的性质,可证明∠BME=∠CNE)
(1)如图
(2),在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF,分别交CD.BA于点M.N,判断△OMN的形状,请直接写出结论.
(2)如图(3)中,在△ABC中,AC>
AB,D点在AC上,AB=CD,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°
,连接GD,判断△AGD形状并证明.
变形2如图,△ABC中,∠B=2∠C,AD为高,M为BC的中点,求证:
DM=2
1AB.
例4.已知:
如图1,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交,易证FG=2
1(AB+AC+BC).若:
(1)BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图2);
(2)BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线(如图3),则在图2、图3两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.来源学§
科§
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K]
同步练习:
1.如图,四边形ABCD中,∠A=90°
AB=33,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,求EF长度的最大值.
2.
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