三角函数在实际生活中的应用Word文档格式.docx
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“三轴学”，来自拉丁文trigonometryo现代三角学一词最初见於希瞄文。
最先使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯（BartholomeoPitiscus,1516—1613）,他在1595年出版一本普作《三角学:
解三角学的简明处理》，侨造了gIMJi词。
它是由9叫心三係学）及“冋％®
（測量）两字构成的，原意为三轴形的测量，或者说辭三用形。
当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附干天文学。
因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。
后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三轴学，但是他111并没有斜立起一门独立的三闻学。
最后是德国数学家番基奥蒙坦细斯，真正把三角学作为数学的一个迪立学科进行阐释。
“正三轴函数色含于最早被称为三用学，“三角学”一词来自拉丁文Trigonometry,原恵是三角形。
与其他科学一样，三幷学也是解决实际间题中发展起来的。
近代三幷学是从做拉的《无穷分析引论》开始的。
欣也用小写的拉丁字母a、b、c表示三用形的三辿，进一步简化了三轴公贰。
欧拉还引用sinz、cosz、tanz等表示z轴的三角函数的简写符号，这是三角函数的观代形式。
由于上述数学家及19世纪许多数学家的勢力，形成了观代的三角函数仔号与手拿教学的完整理论。
2三角函数的基asiiji
在頁角三角形ABC中，a、b、c分别是4ZB.乙C的对边，乙C为直角。
则定义以下运算方武:
sinA=zA的对边长/斜jfl长,sinA记为乙A的正弦；
sinA=a/c
cosA=z.A的邻边长/料边长，cosA记为乙A的余弦；
cosA=b/c
tanA二乙A的对jj长/乙A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/btanAffi为乙A的正幼；
当乙A为鋭角时sinA、cosA、tanA统林力"
锐角三角函STo
SinA=cosBsinB=cosA
在平面直角坐标系xOy中，U点0引出一条射裁OP,设陡转角为8,设OP=r,P点的坐标为（x,y）o
iaift三角形中，&
对边为y临边为x斜边为「，运算方法见表一
表1
基本函数
英文
表iU
正弦函数
Sine
sin0=y/r
用e的对ii比斜边
余弦因数
Cosine
cos6=x/r
角&
的邻边比斜ji
正切函数
Tangent
tan0=y/x
的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cot0=x/y
的邻边比对边
正割函数
Secant
sec6=r/x
轴8的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
esc6=r/y
轴8的斜边比对边
2.1下列是关于三角函数的诱导公式
1终边相同的角的同一三角函数的值相等。
山此可得到下列公式：
公式一：
sin（2k;
r+a）=sina,
cos（2k兀+a）=cosa,
km（2£
・/r+a）=tana.其中keZ・
2P（X,y）,直线OP的反向延长线OE交冏0干F点，则F点的坐麻为F（-x,
-y）由Kt可得到下列公式:
公式二:
sin（^+a）=-sino\cos（/r+a）=-cosa、tan（/r+a）=tana・
公式三:
sin（—a）=-sina,cos（—a）=cosa,tan（-a）=-Uma.
公式Eh
sin（/r-a）=sina，cos（/r一a）=-cosa、tan（^-a）=-tan6Z・
我们可以用下面的话来概括公式一~四：
a+2k7r（kez）y-a^±
af^J三角函数，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号。
公式五:
sin（—-a）=cosa,
2
cos（--a）=sina.
由于f+a=/r-（f-a）,由公武皿及公武刃可得:
22
公式兀：
sinC^-+or）=cosor
N
cos（+ar〉=—sinar.
公式五、公式兀可JUItifto下：
的正取（余弦）函数值，分别等于a的余眩（正眩）函数值，前面加上一2
tflJaf成鋭角的符号。
2.2两角和、差的正弦、余眩、正切公武
sin（cr+Q）=sinacosp+cosasin
sin（<
sr—Q）=sinacos/3—cosasinp\cos（<
sr+/?
）=cosacosf3—sinasinpcos（cr—/?
）=cosacos/3+sinasin/?
;
/°
、tanatanQ
tan（6Z+Q）=——,
1—tanatanp
°
、tanatan/3
tan（6z+/?
）=——
1—tanatanp
2.3二倍角的正弦、余弦、正幼公式
sin2c=2sinccos6Z,
cos2c=cos~6Z—sin-c
=1—2sin2c=2cos2a—1,
.o1—cos2c
sin~cc=,
21+cos2c
COS6Z=
r2tana
tun2c=，
1—tan-"
cc
3.三角函数与生活
实际生活中，三角因数可以用来模抓很多周期现象，如物卑中简谐按动、生活中的潮汐现象，栩可以建立三角函数的模璽利用三角函数的性J贯解决有关冋题；
很多晟值冋趣也可以转化为三角函数来解决，房地产、航海、测量、国肪中那能找到三角函数的影子。
因而三角函数解决实际问題应用板广，解决实际冋题有一定的优越地位。
3.1火箭飞升间題
一枚运我火筋从地面0处发射，当火筋到iiAfiN,从地面C处的宙ii站测得AC的
更离是6kmffll角是43°
.lsi,火筋到jjBj此时测得BC的距离是6.13km,W角）145.54o
（1）火怖到达B点时距离发射点有多远？
（2）火怖UA点到3点的平均速度是乡少？
K：
（1）在RtAOCB中,sin45.54=—
CB
OB=6.13xsin45.54°
4.375（km）
火筋到发射点约4.38km
0A
（2）在RtZXOCA中，sin43。
=——CA
（3）OA=6xsin43=4.09（km）
v=（OB-OA）^t=（4.38一4.09）一1=0.3（km/s）
S：
火到B虑的平均速度豹为0.3km/s
3.2电缆捕设间題
如图，一条河宽a干米，两岸各有一座城市A和B,A与B的直线距离是b干米，今需肺设一条电缆连已知地下电缆的修建费是CJJ元/干米，水下电缆的修建费是dJJ元/干米，假定河岸是平行的直筑（没有弯曲），问应如fl»
设方可使总施工费用达到最少？
分折：
设电缆为AD+DB^费用最少，因为
河宽AC为定值，为了表示AD和BD的长,
不斯设ZC4D=0.
ad-acsin0
COS0
解：
设ZCAD=^0<
^<
900）,
AD=asec0.CB=Jb'
BD=\/b2-a2-atan0
・・・总费用为
y=adsec0+c（\Jb2一/-atan&
）=
间题转化为求“="
"
j]1"
的最小值及相应的eCOS&
sin。
-6%_「
值,而it=—ac-—表示点P（0,%）与点Q（cos&
sin&
）斜率-ac倍
cos0/c
（0<
&
v90。
），有图可得Q在;
单位圆周上运动，当貞线PQ与圆版切于点Q时,
4'
u取到最小值。
然后通ilEffl函数的边角关系求出貞线PQ的斜率，再求出此时
的最小ffluKO可，可以根据实际间题带人求值。
3.3救生员营救冋題
如图，某边肪巡谡队在一个海滨浴场岸ill的a贞处发现海中的〃贞有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员UA点直接跳人海中；
2号救生员沿岸边（岸ill看成是直线）向前胞到c点,再跳人海中；
3号救生员沿岸边向前腿300米到离3点最近的D点，再跳入海中.救生员在岸上胞的速度都是6
米/杪,在水中游泳的速度都是2米/杪.若如"
45。
生员同时从人直岀发，请说明堆先到这营救地点B.
（1）在△ABD中，ZA=45,ZD=90\AD=300.
AB=——=300>
/2
cos45
3D=AD・tan45=300
在HBCD中，•••Z.BCD=60,ZD=90,
BD300厂
・•・BC==十=200V3
sin60V3
T
■-C°
sin60_
迎竺=150血〜210
1号救生员到iiB点所用的时间为2（枚匚
300-100^3200*“250>
/3…
F=50+191./
2号救生员到达B点所用的时间为623
（汀
300+300=200
3号救生员到iJB点所用的时间为62（杪）
•.•191.7v200<
210,「J号救生员先到这营救地点3.
3.4足球射n间o
在圳练课上,教练间左前鋒，若你得球后，沿平行于ill线GC的直线EFJU
攻到前场（如图，设球门宽=“米，球门柱3到FE的距离BF=b米），那么
你推进到距底线CD多少米时,为射门的最佳位置？
（即射D角ZAPB1大时为射门的最隹位置）?
请你帮助左前鋒回答上逮间题。
分桥：
此題关建在于求解射n时最大射门角,m时就是最佳位置。
若直接在非特殊巾利用边来求ZAPS的最值，显得比较繁fit注克到ZAPB=ZAPF-4PF，而后两者都在心△中，故可陋用直角三角形的性质求解。
如图，设FP=x,ZAPB=a,乙BPF=g0为锐角儿贝iJZAPF=a+/?
fg（a+0）=£
±
^,/g0=2,
xx
tga=/g[（a+0）—0]=
fg（a+0）-仗0二a
\+tg（a+0）•tg/3x+3+b）•b
则y>
2Jx-——Wi=2yl（a+b）-b,当x=（J”）？
，即x=J（ci+b）・b时,y®
到vAX
最小值2yl（a+h）-b,从而可®
x=J（a+b）・b时，/ga蚁得最大值，K|1tga=^-j===^,a有最大值。
故当P点距底线CD为J（a+b）6米时,为射门的最佳位置。
依图像知,在白天的9-15时这个时间段可哄冲浪爱好者进行冲浪运动。
3.5食品包装冋題
某糖果厂为了扬宽其产晶的IB售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层色装进行设廿。
冋能否投廿出一个封冈的圓锥形状的外包装,其体枳最小和所用林料这到最省？
如果能,如何设itfif圆锥的底面半径和髙?
KtWffi用的外色装体枳是名少？
用料是多少？
要求孩同雉的全面枳和体枳，需要知道它的下底面半径AC、骨线PA及高PC,迪些变量之间的关系可以通过一个“角"
把它『|朕系起来。
如图,设乙0鮫e,»
）00=1，下底面半径AC=R=cote,SO.=^_
高h=Rtan2e,eG（0,-）oI=ITRI+ITR2=KR（—^—+R）=uR2（—+1）
4cos20cos2^
=ircot2e（一+1）=一；
一—一；
l-tJiretair&
・（1一tair0）
1+tan20
V=-irR2h=-KR2•Rtg20=-7rR3tg26=-irctg362tg6=：
-n
3333l—/g&
3
tg20（l-tg20）
•••当且仅当tg2e=1-tg2o,JPtg6=^W，能使s惟和V同时取到最小值,
此时R=V2,h=2,即当圆维的下底面半径和高分别为血、2时能同时满足条件,外色装用料是8k,ft枳是-^o
3.6营救区域规则冋題
血图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A,—机MJ160干米/小时的速HUA岀发，30分外后因故障而停在湖里，已知机81岀发后先按直线前进，以后Q改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。
如何去营敕，用图示表示营救的区域。
1、要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；
设机
2、趣中涉及到方向问SL所以不Mi用方向角8作为变量来求解。
解：
以A为原虑，iJA的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图:
SI的最初航向的方位角为0,设0P方向前进m到这点P,然后向东前进n到达自Q发生故障而则曲=30,令点Q的坐标为（x,y）,
tlIx=msinO+n兀
则QGe[0,-]o
V=mcos02
|A（2|2=x2+y2=m2+n2+ImnsinO<
m2+n2+2mn=（m+n）2=900•••机东拐，.•」2+），2<
900。
①
5vx+y=m（sin0+cose）+n=V2msin（0+—）+n^m+n=30,
4
.-.x+y^30②
满足不等式组①和②的点Q（x,y）所在的EM,按対称性知上图明影区域所示。
3.7住宅间題
在某小区内,有一決地，选快地有选样三种悄况：
（1）是半径为10米的半圆;
（2）是半径为10米,圆心角为60的甯形;
（3）是半径为10米，圆心角为120的扇形；
在这块地里种块矩形的草皮,具体见下图，应如何设廿，使得此面枳最大?
面枳
的最大值是名少。
分折1：
第一种悄猊，如图所示：
连络OC,
设ABOC"
则BC=10sin&
OB=Wcos&
AB=2OB=20cos3
S,（1R=AB・BC=200sin&
cos&
=100sin2&
•••sin20<
1/.S炉形<
100
即20=90,&
=45
这时BO=AO=10cos45=5竝BC=5^2
此时，点A、D分别位于点0的左右方5血处时SIR得最大值100o
分折2：
第二种侑况，连络OC,设ZBOC=8,则BC=10sin&
OA=BCcot60=Ilb/Esin0
S^、；
=AB・BC=（OB—OA）・BC
=（lOcos&
-^^sin0）.lOsin&
=100sin0cos0-sin20
“50^3“
^rnax
=50sin20（1-cos20）
sin（2&
+—）=10=—
当fl仅当6时，即6时,
分折3：
如图所示：
连ISOB,e一
\CB
设ZAOB=0则AB=lOsin6OA=10cos&
\.・・”\
'
N...Xli
S血形=OA・AB=100sin&
=50sin2&
°
AD
当且仅当sin2&
=1时,|g~4S+50
3.8最值间題
fin图，ABCD是一块边长为100/7/的正方形地皮，其中
AST是一半径为AT=90m的扇形小山，其余部分部是平地。
一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使拒形的一个顷点P在弘ST上，相邻两边CQ,CR落在正方形的边BC,CD上,求矩形停车场PQCR面枳的最大値和最小值。
设ZPAB=e,（0°
<
<
9<
90°
）,S长RP交ABTM,
易得PQ=MB=AB—AM=100—90cos6>
RP=RM—PM=100—90sm^,
U而SgQCR=（100—90COS&
X100—90sin8）=10000-9000（sin6+cos<
9）+8100sin^cos^令f=sin&
+cos&
（1<
r<
a/2）,
iSgg=10000—9000?
+8100•匚二=4050（Z-J），+950,故当f=罟
299
N,S矩仰心有最小值950〃/；
当I=A/2m,s矩形pg有最大值（14050-9000逅府
涉员到角与边之间的相互关系，可以用边为变量翟立函数关系，求辭过程一般可以利用三角函数的相关知识，如正取、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式.函数单调性等。
4总结
三角因数的发展已经茜于完善，虽然一些不常用的函数接近舍弃，但貝余的三角san然在实际生活中发挥着車要的作用。
国師、鉄路建设、尿地产建设、竞技比赛以及安全问题上那可以广泛应用,方便了我们的日常生活。
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