专题2相似三角形的判定及应用.docx
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专题2相似三角形的判定及应用
专题2----相似三角形的判定及应用
专题2相似三角形的判定及应用
(一)
一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等,则这两个三角形相似.这是判定三角形相似的重要方法之一.由此,即知
(1)任何两个等边三角形都相似.
(2)任何顶角相等的两个等腰三角形相似.
(3)三角形的中位线截原三角形得到的小三角形与原三角形相似.
(4)一个锐角相等的两个直角三角形相似.
例1如图,设P是等边△ABC的边BC上任一点,连AP,作AP的中垂线交AB、AC于M、N.证明:
BP·PC=BM·CN.(1994年安徽省竞赛题)
例3如图,在锐角△ABC中,D、E、F分别是三条高AD、BE、CF的垂足,连DF、EF、FD,求证:
△DEC∽△AEF∽△DBF.
例4在等腰△ABC中,AB=AC=6,P为边BC上一点,且PA=4,求PB.PC的值.
例5如图,在△ABC的边AB上取一点D,连CD,过D作DE∥BC交AC于E,过E作EF∥CD交AB于F,求证:
AB≥4DF.
习题1
1.设△ABC的三边为,求证:
(1)若∠A=2∠B,则;
(2)若∠A=3∠B,则.
2.在△ABC中,∠A=600,∠B=800.求证:
AC2-AB2=AB·AC.
3.在△ABC中,∠C=3∠A,.求.
4.等腰△ABC的顶角∠A=1080,BC=m,AB=AC=n,记,,.试排出的大小关系.
5.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB+BD=25,AC-CD=4,求AD.
6.已知E五边形的周长等于,所有对角线的长度之和等于,求的值.
7.设O是△ABC内任一点,直线AO、BO、CO分别与三边相交于P、Q、R.令BC=,CA=,AB=,若,求证:
OP+OQ+OR<.
专题3相似三角形的判定及应用
(二)
一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,且对应夹角相等,则这两个三角形相似.这是判定三角形相似的又一重要方法.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边上一点,F是线段AD上一点,且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证:
BD=2CD.(1992年全国联赛题,同§2.2中例2)
例2如图,在△ABC外作△BPC、△CQA、△ARB,使∠PBC=∠CAQ=450,∠BCP=∠QCA=300,∠ABR=∠BAR=150.求证:
△POR是等腰直角三角形.(1991年四川省竞赛题)
例3如图,已知△ABC满足∠ACB=2∠ABC.设D是BC边上一点,且CD=2BD.
延长线段AD至E,使AD=DE.证明:
∠ECB+1800=2∠EBC.
例4锐角△ABC的三条高AAl、BBl、CCl的中点分别为A2、B2、C2.试求∠B2AlC2+∠C2B1A2+∠A2C1B2.(第22届全俄奥林匹克题)
例5在△ABC中,∠BAC=600,∠ACB=450.
(1)求:
这个三角形的三边之比AB:
BC:
CA;
(2)设P为△ABC内一点,且,,,求∠APB、∠BPC、∠CPA.(1990年武汉、重庆、广州、洛阳、福州联赛题)
习题2
1.等腰三角形ABC中,∠A=1000,AB=AC,角B的平分线交AC于D.求证:
BD+AD=BC.(第23届加拿大奥林匹克训练题)
2.在△ABC中,若∠A=2∠B,边AC=4,AB=5,求BC.
3.如图,△ABC和△A1B1C1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为D.求证:
AA1⊥CC1.(2000年重庆市竞赛题)
4.如图,大正方形ABCD及小正方形AEFG共顶点A,连BE、CF、DG,求BE:
CF:
DG.
5.在给定的不等边三角形A1A2A3中,用表示顶点关于由顶点引出的角平分线的对称点,其中,求证:
直线B12B21,B13B31与B23B32相互平行.(1982年保加利亚奥林匹克题)
专题3相似三角形的判定及应用(三)
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似.这也是判定三角形相似的两个重要方法.
例1如图,P是△ABC内一点,过P分别作直线平行于△ABC的各边,所成的小三角形、和的面积分别是4、9和49.求△ABC的面积.(第2届美国邀请赛题)
例2如图,过三角形内任何一点,引三条直线分别平行于它的边,它们把边分割成线段.求证:
.(第24届全苏奥林匹克题)
例3如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AD为∠BAC的平分线,DE∥CA,AD、CE相交于点O,令△AOC、△DOE、△BDE的面积分别为S1、S2、S3,求证:
,其中、分别为边AC和AB的长.(1991年安庆市竞赛题)
例4如图,在△ABC中,S△COE=S△DOF,且.
求证:
(1);
(2)S△AEF:
S△EOF=.(1990年四川竞赛题)
例5如图,在△UVW与△XYZ的边分别交于A、B、C、D、E、F,若,求证.
习题3
1.在△ABC中,D为BC的中点,过D作一直线交AC于E,交AB的延长线于F.求证:
AE:
EC=AF:
BF.(1978年北京市竞赛题)
2.在△ABC中,BC=2AC,D、E分别是边BC、AB上的点,且∠B=∠EDA=∠DAC.如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次为、、.求证:
5m.
3.在△ABC的与边BC平行的中位线MN上任取一点P,射线BP、CP分别交AC、AB于F、E,试证:
.
4.在正△ABC的边BC、CA上各有一点E、F,BE=CF=,EC=FA=,当BF平分AE时,试比较的大小.
5.△ABC的面积为1,DE∥AB交AC于D,交BC于E,连BD.设△DCE、△ABD、△BDE中面积最大者的值为.求的最小值.
6.四边形PQRS是锐角△ABC的内接矩形,S在AB上,R在AC上,Q在P与C之间.设S△ABC=S矩形ABCD,其中为不小于3的自然数.求证:
为无理数.
专题4直角三角形的相似及应用
直角三角形有一个特殊的角——直角,因而对于一般的相似三角形的判定方法中,现在已经确定了一个角对应相等,只需再寻求其余一个条件,即可判定两个直角三角形相似.
例1如图,已知P为Rt△ABC的斜边BC上一点,Q为PC的中点,过P作BC的垂线,交AB于R,H为AR的中点,过H向C所在一侧作射线HN上AB.证明:
射线HN上存在一点G,使AG=CQ,BG=BQ.(2002年全国联赛题)
例2如图,AD是锐角△ABC边BC上的高,E是AD上的一点且满足,过D作DF⊥BE于F.求证:
∠AFC=900.(1999年上海中学数学实验班选拔赛题)
例3如图,在△ABC中,∠A=900,AD⊥BC于D,∠B的平分线分别与AD、AC交于E、F.求证:
(1)AE=AF;
(2)若AC,则.(1993年四川省竞赛题)
例4如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延长交AC于E.已知AC:
AB=.求AE:
EC.(1999年山东省竞赛题)
例5如图,在四边形ABCD中,AD=DC=1,∠DAB=∠ECB=900.BC、AD的延长线交于P.求AB·S△PAB的最小值.(1994年四川省竞赛题)
例6如图,AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高,M、N分别是BE、CF的中点,求证:
△DMN∽△ABC.
习题4
1.设AA1、BB1、CC1为锐角△ABC的三条高,H为垂心,已知,求证:
△ABC为等腰三角形.(1991年苏联教委推荐试题)
2.△ABC中,∠C=900,D为AB上一点,作DE⊥BC于E,使BE=AC,且,又DE+BC=1.求证:
∠ABC=300.(1986年北京市竞赛题)
3.已知△ABC中,∠C=900,BE是∠B的平分线,CD⊥AB于D交BE于O,又过O作FG∥AB且分别交AC、BC于F、G.求证:
AF=CE.(1979年宁夏回族自治区竞赛题)
4.在△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,D是BC延长线上的一点,BE⊥AD于E,BE与AC交于点F.求证:
CD=CF及DE>DC.(1994年四川省竞赛题)
5.将长为12,宽为5的矩形纸片沿对角线对折后放在桌面上,求复盖桌面的面积.
6.在△ABC中,BC=,AC=,AB=,∠C=900,CD和BE是△ABC的两条中线,且CD⊥BE.求.(1997年安徽省部分地区竞赛题)
7.△ABC中,AB=2,AC=,∠A=∠BCD=450(D在AB的延长线上).求BC及△BDC的面积.(1997年山东省竞赛题)
8.在△ABC中,AB=AC,BC上的高AD=5,M为AD上一点,MD=1,且∠BMC=3∠BAC.试求△ABC的周长.(1995年四川省竞赛题)
9.在等边△ABC的边BC上取点D,使,作CH⊥AD,H为垂足,连结BH.求证:
∠DBH=∠DAB.(1993年黄冈地区竞赛题)
10.在凸五边形ABCDE中,顶点B、E的角是直角,又∠BAC=∠FAD.对角线BD和CE交于点O.求证:
直线AO与BE垂直.
11.给定△ABC,其中AB=AC,点M、E分别在AB、AC上,直线EF、MN分别垂直BC于F、N.求证:
不论MN、EF怎样平行移动,只要它们之间距离不变,则五边形AMNFE的周长为一定值.(1979年北京市竞赛题)