数模期考Word格式文档下载.docx

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一、问题重述……………………………………………………………（3）

二、问题分析……………………………………………………………（3）

三、模型的假设…………………………………………………………（3）

四、定义与符号说明……………………………………………………（4）

五、模型的建立与求解…………………………………………………（4）

5.1等额本息还款法的数学模型…………………………………（4）

5.2等额不等息递减还款法的数学模型…………………………（6）

5.3两种还款方式的比较…………………………………………（8）

六、对模型的评价………………………………………………………（10）

6.1模型的优点……………………………………………………（10）

6.2模型的缺点……………………………………………………（10）

6.3模型的改进与推广……………………………………………（10）

七、参考文献……………………………………………………………（10）

八、附录…………………………………………………………………（11）

8.1求解等额本息还款法的数学模型的MATLAB程序……………（11）

8.2求解等本不等息递减还款法的数学模型的MATLAB程序……（11）

8.3两种还款方式图形比较的MATLAB程序………………………（12）

一、问题重述

目前银行一共提供两种还款方式，即等额本息还款法和等本不等息递减还款法（又叫等额本金还款法），且一般推荐提供等额本息还款法,关于这两种还款方式的争议由来已久，有人举例说一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元。

显然，这两种还款方式的利息存在差异,然而关于这两种还款方式是否有好坏之分以及银行是否在隐瞒信息，都还有待进一步的考证，为了解决还款人心中的疑惑，要求至少需要解决一下两个问题：

1.通过建立数学模型说明这两种还款方式是否真的有好坏之分

2.为不同的借款人提出合理并且适合他们的建议

二、问题分析

显然，不管是等额本息还款法还是等本不等息递减还款法，银行一定是希望通过贷款的手段获取一定的利益，而还款人关心的问题是用哪种还款方式还款是可以接受的，哪种还款方式能最大程度的保证自身的利益不受损。

等额本息还款法，即每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并等额本息还款法,逐月结清。

由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；

在贷款末期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较多。

等本不等息递减还款法（即等额本金还款法），即在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。

对于借款人来说，这两种还款方式当然是各有利弊，题目要求要对这两种还款方式分别建立数学模型，以便针对借款人的实际情况提出合理的建议。

所以，我们可以根据以上说明建立数学模型，并且通过对比来验证这两种还款方式是否有好坏之分。

三、模型假设

1.假设借款人只选择其中一种还款方式

2.假设借款人在还款期间没有再次贷款

3.假设还款期间银行的利率不变

4.假设等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式利率相等

5.假设还款期间借款人收入稳定并且有能力以任何一种还款方式还款

6.假设还款人以年为周期还款

7.以下部分数据经过四舍五入

四、定义与符号说明

贷款本金

年利率

还款总期数

每年还款额

等本不等息递减还款法第

年应还款本息总额

等额本息还款法第

年所欠银行贷款

年产生的利息

五、模型的建立与求解

5.1等额本息还款法的数学模型

为了简化数学模型，我们主要考察借款人每年的利息以及还款总额。

我们可以根据它的定义建立以下数学模型。

第一年产生的利息：

第一年所欠银行贷款：

第二年产生的利息：

第二年所欠银行贷款：

…

第

年产生的利息：

年所欠银行贷款：

由于第

年正好还完贷款，于是有

即每年还款额

为了更直观的表达等额本金还款法每年还款额以及还款总额，我们以20万元、20年的房贷为例，取中国建设银行最新贷款年利率6.55%，下表为借款人每年还款额以及还款总额：

表一：

等额本金还款法年还款额对照表

贷款年限（年）

当年利息

当年还款总额

1

13100

18223

2

12764

3

12407

4

12026

5

11620

6

11187

7

10727

8

10235

9

9712

10

9155

11

8561

12

7928

13

7254

14

6535

15

5769

16

4954

17

4085

18

3158

19

2172

20

1120

总计

164470

364470

图一

5.2等本不等息递减还款法的数学模型

等本不等息递减还款法，也叫等额本金还款法，是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。

首先，每年归还等额本金

第一年应还款本息总额：

第二年应还款本息总额：

年应还款本息总额：

为了更直观的表达等本不等息递减还款法每年还款额以及还款总额，我们以某借款人A的20万元、20年的房贷为例，取中国建设银行最新贷款年利率6.55%。

下表为借款人每年还款额以及还款总额：

表二：

等本不等息递减还款法年还款额对照表

13100

23100

12445

22445

11790

21790

11135

21135

10480

20480

19825

9170

19170

8515

18515

7860

17860

7205

17205

6550

16550

5895

15895

5240

15240

4585

14585

3930

13930

3275

13275

2620

12620

1965

11965

1310

11310

655

10655

137550

337550

图二

5.3两种还款方式的比较

由以上说明我们知道，等额本息还款法特点是每年还款总额相等，而等本不等息递减还款法（即等额本金还款法）的特点是前期支付的还款总额较高，并且逐年递减。

诚然，对于20万元、20年的房贷，两种还款方式的确相差一万余元，但是等额本息还款法操作相对简单，便于还款人更加合理地安排生活开支和理财，建议收入稳定，且预计后期没有重大开支（如子女的教育基金，重大的医疗开支等）的人群，比如刚刚参加工作的年轻人选择；

等本不等息递减还款法（即等额本金还款法）还贷最初几年压力较大，以后压力逐年递减，适宜初期就有一定的经济基础的人群，比如贷款初期有一定存款的中老年人。

为了更加清晰明了地说明等额本息还款法与等本不等息递减还款法（即等额本金还款法）之间的区别，仍然以20万元、20年的房贷、6.55%的年利率为例，以下是这两种还款方式的利息差和还款总额差的对照表及对照图：

表三:

两种还款方式利息及年还款额对照表

-4877

319

-4222

617

-3567

891

-2912

1140

-2257

1362

-1602

1557

-947

1721

-292

1852

363

1950

1018

2011

1673

2033

2328

2014

2983

3638

1839

4293

1679

4948

1465

5603

1193

6258

862

6913

465

7568

26970

图三

六、模型的评价与推广

6.1模型的优点

（1）图表结合，简单明了

（2）运用典型的例子，采用最新的数据，使模型形象化

（3）运用了MATLAB、EXCEL等数学软件，使数据真实可信

6.2模型的缺点

（1）没有考虑银行利率的动荡

（2）没有考虑通货膨胀或通货紧缩的因素

（3）没有考虑国家政策的变化

6.3模型的改进与推广

（1）除等额本息还款法和等本不等息递减还款法之外，银行还提供了其他的还款方式，例如：

双周供还款法：

这种还款法还款额约为原月供的一半左右，银行每两周扣款一次，罚息较高，这就要求还款人有固定且较高的收入，并且由于还款周期短，还款人需要有足够的时间和精力。

按期付息还本还款法：

即还款人与银行协商，为贷款本金和利息归还制定不同的还款时间周期，适宜房地产投资者。

此外，银行还提供了固定利率、递增法等等供不同的还款人选择，还款人可以根据自身情况选择合适的还款方式。

（2）还款人可选择几种还款方式结合实用。

七、参考文献

[1]中国建设银行官网,人工客服，

[2]XX百科，等额本息还款法，

[3]XX百科，等额本金还款法，

[4]XX文库，个人购房按揭贷款的还款方案探讨，

[5]郑洲顺，科学计算与数学建模，上海：

复旦大学出版社，2011

八、附件

8.1求解等额本息还款法的数学模型的MATLAB程序

r=200000;

a=0.0655;

t=20;

x=r*a*（1+a）^t/（（1+a）^t-1）

forn=1:

b（n）=a*（r*（1+a）^（n-1）-（x*（（1+a）^（n-1）-1））/a）

end

b（n）

n=1:

1:

20;

b（n）=a*（r*（1+a）.^（n-1）-（x*（（1+a）.^（n-1）-1））/a）

plot（n,b（n）,'

*'

n,x,'

ro'

）

title（'

A以等额本息还款法当年利息及当年还款总额散点图'

xlabel（'

还款年数'

ylabel（'

还款总额（利息）'

8.2求解等本不等息递减还款法的数学模型的MATLAB程序

b（n）=a*（r-r*（n-1）/t）

x（n）=r/t+a*（r-r*（n-1）/t）

x

x（n）=r/t+a*（r-r*（n-1）/t）

b（n）=a*（r-r*（n-1）/t）

plot（n,x（n）,'

n,b（n）,'

A以等本不等息递减还款法当年利息及当年还款总额散点图'

8.3两种还款方式图形比较的MATLAB程序

x1（n）=r/t+a*（r-r*（n-1）/t）

b1（n）=a*（r-r*（n-1）/t）

b2（n）=a*（r*（1+a）.^（n-1）-（x*（（1+a）.^（n-1）-1））/a）;

x2=a*r*（1+a）^t/（（1+a）^t-1）

bb（n）=b2（n）-b1（n）

xx（n）=x2-x1（n）

plot（n,x1（n）,'

n,b1（n）,'

n,x2,'

n,b2（n）,'

两种还款方式当年利息及当年还款总额比较散点图'