因式分解知识点归纳Word格式文档下载.docx
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6
mn（m,n都是正整数）
、幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（35）2310
幂的乘方法则可以逆用：
即amn（am）n（an）m
46（42）3（43）2
7、积的乘方法则：
（ab）n
anbn（n是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
2x3y2z）5=
（2）5
（x3）5
（y2）5
z5
32x15y10z5
8、同底数幂的除法法则：
am
an
amn
（a
0,m,n
都是正整数，且
n）
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（ab）
4
（ab）
（ab）3
a3b3
9、零指数和负指数；
a01，即任何不等于零的数的零次方等于1。
p
1
0,p是正整数），即一个不等于零的数的
p次方等于这个数的
p次方的倒数。
ap
23
）3
8
10、单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项
式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2x2y3z3xy
11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即m（abc）mambmc（m,a,b,c都是单项式）
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
]
2x（2x3y）3y（xy）
12、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
（3a2b）（a3b）
（x5）（x6）
三、知识点分析：
1.同底数幂、幂的运算：
mnm+n
a·
a=a（m，n都是正整数）.
例题1.
若2a2
64，则a=
；
若273n
（3）8，则n=
例题2.
若52x1
125，求（x
2）2009
x的值。
例题3.计算x
3
2m
2y
练习
1.若a2n
3，则a6n=
.
2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y
等于
。
2.积的乘方
nn
（n为正整数）.
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
（ab）=ab
计算：
nm3
mnnmp4
3.乘法公式
ababa2b2
完全平方和公式：
完全平方差公式：
abab
b2
例题1.利用平方差公式计算：
2009×
2007－20082
例题2.利用平方差公式计算：
2007
．
2008
20072
2006
3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
考点一、因式分解的概念
因式分解的概念：
1、下列从左到右是因式分解的是（）
A.x（a-b）=ax-bxB.x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2
C.x2-1=（x+1）（x-1）D.ax+bx+c=x（a+b）+c
2、若4a2kab9b2可以因式分解为（2a3b）2，则k的值为______
3、已知a为正整数，试判断a2a是奇数还是偶数？
4、已知关于x的二次三项式x2mxn有一个因式（x5），且m+n=17，试求m，n的值
考点二提取公因式法
提取公因式法：
mambmcm（abc）
公因式：
一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式
找公因式的方法：
1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母
3、字母的次数-相同字母的最低次数
习题
1、将多项式20a3b212a2bc分解因式，应提取的公因式是（）
A、ab
B、4a2b
C、4ab
D、4a2bc
2、已知（19x
31）（13x
17）（13x
17）（11x
23）可因式分解为（ax
b）（8xc），其中a，b，c均为
整数，则a+b+c等于（
A、-12
B、-32
C、38
D、72
3、分解因式
（1）6a（a
b）4b（a
b）
（2）3a（xy）6b（y
x）
（3）xnxn1xn2（4）（3）2011（3）2010
4、先分解因式，在计算求值
（1）（2x1）2（3x2）（2x1）（3x2）2
x（12x）（3x2）
其中x=1.5
（2）（a2）（a2a1）（a21）（2a）其中a=18
5、已知多项式x42012x22011x2012有一个因式为x2ax1，另一个因式为x2bx2012，
求a+b的值
6、若ab210，用因式分解法求ab（a2b5ab3b）的值
7、已知a，b，c满足ababbcbccaca3，求（a1）（b1）（c1）的值。
（a，b，c
都是正整数）
考点三、用乘法公式分解因式
平方差公式
ba
ba
运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反
1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（
A、x2
4y2
B、x2
2y2
1C、x2
4y2
D、x2
2、分解下列因式
（1）
3x
12
（x2）（x4）x
（）
（xy）
（4）x3xy2（5）（ab）21（6）9（ab）230（a2b2）25（ab）2
（7）20092011
201021
3、若n为正整数，则（2n1）2（2n1）2一定能被8整除
完全平方式a22abb2（ab）2
运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。
1、在多项式①x22xyy2②x22xyy2③x2xy+y2④4x21+4x中，能用完全平方公式
分解因式的有（）
A、①②B、②③C、①④D、②④
2、下列因式分解中，正确的有（）
①4a
a3b2
a（4a2b2）
②
x2y
2xy
xy
xy（x2）
③
aabac
a（a
bc）④
9abc6a2b
3abc（3
2a）
⑤
2x2y
2xy2
2xy（x
y）
A、0个B
、1个C
、2个D、5个
3、如果x2
2（m
3）x
16
是一个完全平方式，那么
m应为（
A、-5
B、3
C、7
D、7或-1
4、分解因式
（1）mx2
4mx
2m
（2）
2a2-4a
（3）
x3
2x2
（4）（2x3）2（x3）2（5）8x2y8xy2y
（6）（x2-2xy）2+2y2（x2-2xy）+y4（7）4x2－12xy+9y2－4x+6y-3
5、已知ab
2，ab
2，求1
a3ba2b2
ab3
6、证明代数式x2y210x8y45的值总是正数
7、已知a，b，c分别是ABC的三边长，试比较（a2b2c2）2与4a2b2的大小
考点四、十字相乘法
（1）二次项系数为
1的二次三项式x2
px
q中，如果能把常数项
q分解成两个因式a、b的积，
并且a
b等于一次项系数
p的值，那么它就可以把二次三项式x2
q分解成
x2
pxqx2
abxabxaxb
例题讲解
1、分解因式：
x2
x6
分析：
将
6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5。
由于6=2×
3=（-2）
×
（-3）=1×
6=（-1）
（-6），从中可以发现只有
2×
3
的分解适合，即2+3=5
解：
x2
5x
6=x2
（23）x231
=
（x
2）（x3）
2+1×
3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，
且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
2、分解因式：
7
原式=x2
[
（1）
6）]x（
1）（
6）
-1
=（x
1）（x
-6
（-1）+（-6）=-7
分解因式
（1）x2
14
x24
a2
15a
36
4x
（4）x2x2（5）y22y15（6）x210x24
2、二次项系数不为1的二次三项式——ax2
bxc
条件：
（1）a
a1a2
a1
c1
（2）cc1c2
c2
（3）ba1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
分解结果：
ax2
bx
c=（a1x
c1）（a2xc2）
例题讲解1、分解因式：
1110
1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
3x2
11x
10=（x
2）（3x5）
分解因式：
（1）
3x7x2
（3）10x217x3（4）6y211y10
3、二次项系数为1的多项式
例题讲解、分解因式：
a28ab128b2
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
a2
8ab
128b2=a2
[8b
（16b）]a
8b（
16b）
=（a
8b）（a16b）
3xy
2y2
m2
6mn8n2
6b2
4、二次项系数不为1的多项式
2x2
7xy
6y2
x2y2
-2y
把xy看作一个整体
-3y
（-3y）+（-4y）=-7y
（-1）+（-2）=-3
原式=（x2y）（2x
3y）
原式=（xy
1）（xy2）
（1）15x2
7xy4y2
（2）a2x2
6ax8
考点五、因式分解的应用
1、分解下列因式
（1）3x23
（2）x3y24x
（3）x36x227x（4）a2b22b1
2、计算下列各题
（1）（4a2
4a1）（2a1）
（2）（a2
b2c2
2ab）（abc）
3、解方程
（1）16（x1）2
25（x2）2
（2）（2x3）2
（2x3）
4、如果实数a
b，且
10a
1，那么a+b的值等于________
10b
22
32
42
52
62
......
20092
20102
20112
20122
5、
2009
2010
2011
2012
6、若多项式x2
ax12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数
a的值（写
出3个）
7、先变形再求值
（1）已知2xy
，xy
4，求2x4y3
x3y4的值
（2）已知3x28x20，求12x232x的值
8、已知a、b、c为三角形三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试说明该三角形是等边三角形
9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数
10、阅读下列因式分解的过程，回答问题
1x
x（x1）x（x1）2
（1x）[1
x（x
1）]
（1x）2（1x）（1x）3
上述分解因式的方式是
_________，共用了______次。
若分解1xx（x
1）x（x
1）2
...
1）2012，则需上述方法______次，结果为
_______________________
分解因式1xx（x
x（x
1）n（n为正整数）
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