第三编三角函数25页docWord文档下载推荐.docx
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∴sinθ＝＝－，cosθ＝＝.
∴sinθ＋cosθ＝－＝.
答案
5．（2010·
福州调研）已知θ∈且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈（0,1），则关于tanθ的值，
以下四个答案中，可能正确的是________（填序号）．
①－3 ②3或 ③－ ④－3或－
解析 在单位圆中，由三角函数线可知a<
1，
∴θ不在第一象限，θ∈，
又∵a>
0，∴sinθ＋cosθ>
∴θ∈，∴tanθ∈（－1,0）．
答案 ③
6．（2009·
江西九江模拟）若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<
0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析 依题意知
解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3，
又sinα<
0，∴α的终边在第三象限，
∴n<
0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
答案 2
7．（2010·
山东济南月考）已知角α的终边落在直线y＝－3x（x<
0）上，则－＝
解析 ∵角α的终边落在直线y＝－3x（x<
0）上，
在角α的终边上取一点P（x0，－3x0）（x0<
0），
∴－3x0>
0，∴P在第二象限，
∴－＝－＝1＋1＝2.
8．（2010·
南京模拟）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋
转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A、B两点间的距离d（cm）表示
成t（s）的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析 将解析式可写为d＝Asin（ωt＋φ）的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得
φ＝0；
当t＝30时，d＝10，可得ω＝，故d＝10sin.
答案 10sin
9．（2010·
泰州模拟）若0<
x<
，则sinx______x2（用“>
”，“<
”或“＝”填空）．
解析 利用数形结合，作出
在
的图象，同时作出
内的正弦线，由图象易得答案．
答案 >
二、解答题（本大题共3小题，共46分）
10．（14分）（2010·
镇江模拟）已知角θ的终边上一点P（－，m），且sinθ＝m，求cosθ与
tanθ的值．
解 ∵r＝，∴＝m，
若m＝0，则cosθ＝－1，tanθ＝0.
若m≠0，则m＝±
.
当m＝时，cosθ＝＝，tanθ＝－，
当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝，
综上可知，当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
当m＝时，cosθ＝－，tanθ＝－；
当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝.
11．（16分）（2010·
江苏南京模拟）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此
写出角α的集合：
（1）sinα≥；
（2）cosα≤－.
解
（1）作直线
交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则
OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的
集合为
（2）作直线
交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与
OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围．故满足条件的角
α的集合为
12．（16分）（2010·
佳木斯模拟）角α终边上的点P与A（a,2a）关于x轴对称（a≠0），角β终边上
的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·
cosα＋sinβ·
cosβ＋tanα·
tanβ的值．
解 由题意得，点P的坐标为（a，－2a），
点Q的坐标为（2a，a）．
sinα＝＝，
cosα＝＝，
tanα＝＝－2，
sinβ＝＝，
cosβ＝＝，
tanβ＝＝，
故有sinα·
cosβ＋tanα·
tanβ
＝·
＋·
＋（－2）×
＝－1.
3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．（2010·
南通模拟）cos（－π）－sin（－π）的值为___________________________．
解析 cos（－）－sin（－）＝cosπ＋sin
＝cos（4π＋）＋sin（4π＋）＝cos＋sin
＝＋＝.
江苏镇江一模）设tan（5π＋α）＝m，则的值为__________．
解析
＝
＝＝
＝＝.
又tan（5π＋α）＝m，∴tan（π＋α）＝m，tanα＝m，
∴原式＝.
3．（2009·
辽宁沈阳四校联考）已知＝2，则sinαcosα＝________.
解析 由已知得：
sinα＋cosα＝2（sinα－cosα），平方得：
1＋2sinαcosα＝4－8sinαcosα，∴sinαcosα＝.
4．（2008·
浙江理，8）若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝__________.
解析 由已知得sin（α＋φ）＝－（其中tanφ＝），即有sin（α＋φ）＝－1，所以α＋φ＝2kπ
－，α＝2kπ－－φ（k∈Z），所以tanα＝tan＝＝2.
5．（2008·
四川理，5）设0≤α<
2π，若sinα>
cosα，则α的取值范围是____________．
解析 由sinα>
cosα且0≤α<
2π，
当cosα>
0时，tanα>
，∴<
；
当cosα<
0时，tanα<
当cosα＝0时，sinα＝1满足条件，此时α＝.
6．（2010·
吉林长春调研）若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是__________．
解析 由sinα＋cosα＝tanα，0<
，
∴tan2α＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α，
∵0<
，∴0<
2α<
π，
∴0<
sin2α≤1，∴1<
tan2α≤2，
，∴tanα>
∴1<
tanα≤，而<
7．（2009·
苏州二模）sin21°
＋sin22°
＋sin23°
＋…＋sin289°
＝________.
解析 sin21°
＝sin21°
＋…＋sin245°
＋…＋sin2（90°
－2°
）＋sin2（90°
－1°
）
＋…＋（）2＋…＋cos22°
＋cos21°
＝（sin21°
）＋（sin22°
＋cos22°
）＋…＋（sin244°
＋cos244°
）＋＝44＋＝.
浙江嘉兴月考）已知f（x）＝，若α∈（，π），则f（cosα）＋f（－cosα）＝________.
解析 f（cosα）＋f（－cosα）＝＋
＝＋＝
∵α∈（，π），∴sinα>
∴f（cosα）＋f（－cosα）＝.
9．（2009·
北京）若sinθ＝－，tanθ>
0，则cosθ＝____________________________________.
解析 ∵sinθ＝－，tanθ>
0，∴cosθ<
∴cosθ＝－＝－.
答案 －
泰州模拟）化简：
（1）；
（2）sin（－x）＋cos（－x）．
解
（1）方法一 原式＝
方法二 原式＝
＝＝＝.
（2）原式＝2[sin（－x）＋·
cos（－x）]
＝2[sinsin（－x）＋coscos（－x）]
＝2cos（－＋x）＝2cos（x－）．
盐城模拟）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈（0，），求sinα、tanα
的值．
解 由sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，得
4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0
2cos2α（2sin2α＋sinα－1）＝0
2cos2α（2sinα－1）（sinα＋1）＝0.
因为α∈（0，），所以sinα＋1≠0，且cosα≠0，
所以2sinα－1＝0，即sinα＝，
所以α＝，即tanα＝.
12．（16分）（2009·
福建宁德模拟）已知0<
，若cosα－sinα＝－，试求
解 ∵cosα－sinα＝－，∴1－2sinα·
cosα＝，
∴2sinα·
∴（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.
，∴sinα＋cosα＝，
与cosα－sinα＝－联立解得：
cosα＝，sinα＝.
∴＝
＝＝－.
3.3和差倍角的三角函数
山东青岛模拟）cos43°
cos77°
＋sin43°
·
cos167°
的值为________．
解析 原式＝cos43°
cos（90°
＋77°
＝cos43°
－sin43°
sin77°
＝cos（43°
）＝cos120°
＝－.
南京模拟）已知α、β均为锐角，且cos（α＋β）＝sin（α－β），则tanα＝________.
解析 ∵cos（α＋β）＝sin（α－β），
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，
即cosβ（sinα－cosα）＋sinβ（sinα－cosα）＝0，
∴（sinα－cosα）（cosβ＋sinβ）＝0，
∵α、β均为锐角，
∴cosβ＋sinβ>
0，∴sinα－cosα＝0，
∴tanα＝1.
答案 1
湖北四校联考）在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则∠C的大小为________．
解析 两式平方相加可得9＋16＋24sin（A＋B）＝37，
sin（A＋B）＝sinC＝，所以C＝或π.如果C＝π，则0<
A<
，从而cosA>
，3cosA>
1
与4sinB＋3cosA＝1矛盾（因为4sinB>
0恒成立），故C＝.
4．（2009·
湖南长沙调研）在锐角△ABC中，设x＝sinA·
sinB，y＝cosA·
cosB，则x，y的大小
关系是________．
解析 方法一 ∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B>
，∴cos（A＋B）<
即cosAcosB－sinAsinB<
∴cosAcosB<
sinAsinB，即y<
x.
方法二 特殊值法
令A＝60°
，B＝45°
x＝×
y＝×
∴x>
y.
答案 y<
x
5．（2009·
广东韶关模拟）已知tanα＝2，则＝________.
解析 原式＝
无锡模拟）若＝2010，则＋tan2x的值为________．
解析 ＋tan2x＝＝
＝＝＝2010.
答案 2010
苏州调研）若锐角α、β满足（1＋tanα）·
（1＋tanβ）＝4，则α＋β＝________.
解析 由（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，
可得＝，
即tan（α＋β）＝.
又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.
8．（2009·
江苏南通二模）已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是____________．
解析 方法一 设x＝cosαsinβ，
则sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.
∵－1≤sin（α＋β）≤1，－1≤sin（α－β）≤1，
∴∴
∴－≤x≤.
方法二 设x＝cosαsinβ，
则sinαcosβcosαsinβ＝x.
即sin2αsin2β＝2x.
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.
答案 [－，]
苏、锡、常、镇四市调研）若tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，则tan（α＋）＝________.
解析 tan（α＋）＝tan[（α＋β）－（β－）]
＝.
10．（14分）（2008·
广东）已知函数f（x）＝Asin（x＋φ）（A>
0,0<
φ<
π）（x∈R）的最大值是1，其图象经过点M.
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α、β∈，且f（α）＝，f（β）＝，求f（α－β）的值．
解
（1）依题意知A＝1，则f（x）＝sin（x＋φ）．
将点M代入得sin＝，
而0<
π，∴＋φ＝π.
∴φ＝，故f（x）＝sin＝cosx.
（2）依题意有cosα＝，cosβ＝，而α、β∈，
∴sinα＝＝，
sinβ＝＝，
∴f（α－β）＝cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×
＋×
宿迁模拟）已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），|a－b|＝.
（1）求cos（α－β）的值；
（2）若0<
，－<
β<
0，且sinβ＝－，求sinα的值．
解
（1）a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ）．
|a－b|2＝（cosα－cosβ）2＋（sinα－sinβ）2
＝2－2cos（α－β），
∴＝2－2cos（α－β），∴cos（α－β）＝.
（2）∵0<
0且sinβ＝－，
∴cosβ＝，且0<
α－β<
π.
又∵cos（α－β）＝，∴sin（α－β）＝.
∴sinα＝sin[（α－β）＋β]
＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ
（－）＝.
常州模拟）求证：
＝sin2α.
证明 方法一 左边＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα
＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二 左边＝＝
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
方法三 左边＝＝cos2α·
＝cos2α·
tanα＝cosαsinα
3.4三角函数的图象与性质
大连一模）y＝sin（2x＋）的最小正周期是_____________________________．
解析 ∵y＝sinx的周期为2π，∴y＝sin（2x＋）的周期为＝π.
答案 π
扬州模拟）y＝2－cos的最大值为__________，此时x＝________.
解析 y＝2－cos的最大值为3，此时cos＝－1，
∴＝2kπ＋π，k∈Z，∴x＝6kπ＋3π（k∈Z）．
答案 3 6kπ＋3π（k∈Z）
盐城模拟）函数y＝tan（－x）的定义域是________________．
解析 y＝tan（－x）＝－tan（x－）．
要使y＝tan（－x）有意义，即y＝－tan（x－）有意义，
则x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋（k∈Z）．
答案 {x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}
牡丹江调研）已知函数y＝2cosx（0≤x≤1000π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
解析 如图，y＝2cosx的图象在[0,2π]上与直线y＝2围成封闭图形的面积为S＝4π，所以
在[0,1000π]上封闭图形的面积为4π×
500＝2000π.
答案 2000π
江苏盐城月考）已知函数y＝tanωx在（－，）内是减函数，则ω的取值范围是
________________．
解析 由已知条件ω<
0，又≥π，
∴－1≤ω<
0.
答案 －1≤ω<
6．（2008·
辽宁理，16）已知f（x）＝sin（ω>
0），f＝f，且f（x）在区间上有最
小值，无最大值，则ω＝________.
解析 如图所示，∵f（x）＝sin，
且f＝f，
又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，
∴f（x）在＝处取得最小值．
∴ω＋＝2kπ－（k∈Z）．
∴ω＝8k－（k∈Z）．
∵ω>
0，∴当k＝1时，ω＝8－＝；
当k＝2时，ω＝16－＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝.
浙江宁波检测）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周
期是π，且当x∈时，f（x）＝sinx，则f的值为________．
f＝f＝f＝f＝sin＝.
连云港模拟）sin2，cos1，tan2的大小顺序是________________．
解析 sin2>
0，cos1>
0，tan2<
∵cos1＝sin（－1），sin2＝sin（π－2），
又0<
－1<
π－2<
且y＝sinx在（0，）上是增函数，
从而sin（－1）<
sin（π－2），即cos1<
sin2.
故tan2<
cos1<
答案 tan2<
sin2
9．（2008·
全国Ⅱ理）若动直线x＝a与函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的图象分别交于M、N两
点，则|MN|的最大值为________．
解析 设x＝a与f（x）＝sinx的交点为M（a，y1），
x＝a与g（x）＝cosx的交点为N（a，y2），
则|MN|＝|y1－y2|＝|sina－cosa|
＝≤.
10．（14分）（2009·
福建莆田模拟）是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？
若存在，求出对应的a值；
若不存在，说明理由．
解 y＝1－cos2x＋acosx＋a－
＝－2＋＋－
当0≤x≤时，0≤cosx≤1，
若>
1，即a>
2，则当cosx＝1时
ymax＝a＋a－＝1，∴a＝<
2（舍去）．
若0≤≤1即0≤a≤2，则当cosx＝时，
ymax＝＋a－＝1，
∴a＝或a＝－4（舍去）．
若<
0，即a<
0时，则当cosx＝0时，
ymax＝a－＝1，
∴a＝>
0（舍去）．
综上所述，存在a＝符合题设．
11．（16分）（2008·
陕西）已知函数f（x）＝2sin·
cos＋cos.
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）＝f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
解
（1）∵f（x）＝sin＋cos＝2sin，
∴f（x）的最小正周期T＝＝4π.
当sin＝－1时，f（x）取得最小值－2；
当sin＝1时，f（x）取得最大值2.
（2）g（x）是偶函数．理由如下：
由
（1）知f（x）＝2sin，
又g（x）＝f，
∴g（x）＝2sin
＝2sin＝2cos.
∵g（－x）＝2cos＝2cos＝g（x），
∴函数g（x）是偶函数．
山东济宁第一次月考）设a＝，b＝（4sinx，cosx－
sinx），f（x）＝a·
b.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数ω>
0，若y＝f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；
（3）设集合A＝，B＝{x||f（x）－m|<
2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
解
（1）f（x）＝sin2·
4sinx＋（cosx＋sinx）·
（cosx－sinx）
＝4sinx·
＋cos2x
＝2sinx（1＋sinx）＋1－2sin2x＝2sinx＋1，
∴f（x）＝2sinx＋1.
（2）∵f（ωx）＝2sinωx＋1，ω>
由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
得f（ωx）的增区间是，k∈Z.
∵f（ωx）在上是增函数，
∴⊆.
∴－≥－且≤，
∴ω∈.
（3）由|f（x）－m|<
2，得－2<
f（x）－m<
2，
即f（x）－2<
m<
f（x）＋2.
∵A⊆B，∴当≤x≤π时，
不等式f（x）－2<
f（x）＋2恒成立．
∴f（x）max－2<
f（x）min＋2，
∵f（x）max＝f＝3，f（x）min＝f＝2，∴m∈（1,4）．
3.5三角函数的最值及应用
连云港模拟）函数y＝sin（－2x）－cos2x的最小值为________．
解析 y＝sin（－2x）－cos2x＝cos2x－sin2x＝cos（2x＋），其最小值为－1.
答案 －1
泰州模拟）若函数y＝2cosωx在区间[0，]上递减，且有最小值1，则ω的值可以
是________．
解析 由y＝2cosωx在[0，π]上是递减的，且有最小值为1，则有f（π）＝1，即2×
cos（ω×
π）＝1，即cosω＝，πω＝，即ω＝.
湖北黄石调研）设函数f（x）＝2sin（x＋）．若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析 f（x）的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2.
湖南株州模拟）函数y＝sin2x按向量a平移后，所得函数的解析式是y＝cos2x＋1，
则模最小的一个向量a＝________.
解析 ∵y＝sin2（x＋）＝cos2x，
∴a＝（－，1）．
答案 （－，1）
广东惠州二模）函数y＝Asin
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