同济土木本科弹性力学课后题.docx

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同济土木本科弹性力学课后题

本教材习题和参考答案及部分习题解答

第二章

2.1计算：

（1），

（2），（3）。

答案

（1）;

答案

（2）;

解：

（3）。

2.2证明：

若，则。

（需证明）

2.3设、和是三个矢量，试证明：

证：

因为，

所以

即得。

2.4设、、和是四个矢量，证明：

证明：

2.5设有矢量。

原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。

试求矢量在新坐标系中的分量。

答案：

，

，

。

2.6设有二阶张量。

当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、、和。

提示：

坐标变换系数与上题相同。

答案：

，

，

，

。

2.7设有个数，对任意阶张量，定义

若为阶张量，试证明是阶张量。

证：

为书写简单起见，取，，则

2.8设为二阶张量，试证明。

证：

2.9设为矢量，为二阶张量，试证明：

（1），

（2）

证：

（1）

。

证：

（2）

2.10已知张量具有矩阵

求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

解：

2.11已知二阶张量的矩阵为

求的特征值和特征矢量。

解：

2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：

，

其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。

解：

因为

，

所以是的特征矢量，是和其对应的特征值。

设是和垂直的任意单位矢量，则有

所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。

令，，

则有

，

上面定义的是相互垂直的单位矢量。

张量可以表示成

所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是、和。

2.13设和是矢量，证明：

（1）

（2）

证：

（1）

（2）

2.14设，求及其轴向矢量。

解：

由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量

。

2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明：

（1）若原点在的外面，积分；

（2）若原点在的内部，积分。

证：

（1）当时，有

（b）

因为原点在的外面，上式在所围的区域中处处成立，所以由高斯公式得

。

（2）因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。

用表示由和所围的区域，在中式（b）成立，所以

即

在上，，，于是

。

2.16设，试计算积分。

式中是球面在平面的上面部分.

解：

用表示圆，即球面和平面的交线。

由Stokes公式得

。

第三章

3.1设是矢径、是位移，。

求，并证明：

当时，是一个可逆的二阶张量。

解：

的行列式就是书中的式（3.2），当时，这一行列式大于零，所以可逆。

3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。

求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。

解：

，，，

3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。

请证明：

（1）变形前的直线在变形后仍为直线；

（2）变形前的平面在变形后仍然是一个平面；

（3）变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。

证：

（1）方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成

（1）

其中是可变的参数。

变形后的矢径为

（2）

用点积式

（1）的两边，并利用式

（2）,得

上式也是直线方程，所表示的直线和矢量平行，过矢径为的点。

所以变形前的直线变形后仍然是直线。

（2）因为，所以可逆。

记，则

（3）

变形前任意一个平面的方程可以表示成

（4）

其中是和平面垂直的一个常矢量，是常数。

将式（3）代入式（4），得

（5）

上式表示的是和矢量垂直的平面。

所以变形前的平面在变形后仍然是平面。

（3）变形前两个平行的平面可以表示成

，

变形后变成

，

仍是两个平行的平面。

3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。

答案：

能；能。

3.5设位移场为，其中是二阶常张量，和是两个单位矢量，它们之间的夹角为。

求变形后的减小量。

答案：

。

3.6设和是两个单位矢量，和是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为，试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来，其中是面积变形前后的改变量。

解：

变形后，和变成

，

对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得

对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得

（a）

注意到

所以，从式（a）可得

利用习题2.4中的等式，上式也可写成

3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为，让坐标系绕轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。

答案：

，

，

，

，，

3.8在平面上，、、和轴正方向之间的夹角分别为、、，如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为、和。

求平面上任意方向的相对伸长度。

答案：

3.9试说明下列应变分量是否可能发生：

，，，

，，

其中和为常数。

解：

3.10确定常数，，，，，，之间的关系，使下列应变分量满足协调方程

，

，

，

。

解：

3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。

解：

（由于应变张量和空间位置无关，所以书中的式（3.36a）简化成……）

3.12设，，，，其中，，是常量，求位移的一般表达式。

解：

第四章

4.1已知物体内一点的六个应力分量为：

，，，，，

试求法线方向余弦为，，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。

答案：

总应力。

正应力。

剪应力。

4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。

证：

（利用应力张量的对称性……）

4.3某点的应力张量为

且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。

解：

设要求的单位法向矢量为，则按题意有

即

，，（a）

上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得

上式有两个解：

或。

若，则代入式（a）中的三个式子，可得，这是不可能的。

所以必有。

将代入式（a），利用，可求得

。

4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量

，

满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。

解：

将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。

在的边界上，有边界条件

，

所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。

将的表达式代入上面的第一个条件，得

（1）

在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成

，，

，

（2）

斜面上的外法向方向余弦为

，，（3）

将式

（2）和（3）代入边界条件，得

（4）

联立求解

（1）和（4），得

，，

4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为

，，，

，

和分别是坝身和水的比重。

求常数、、、，使上述应力分量满足边界条件。

解：

在的边界上，有边界条件

，

将题中的应力分量代入上面两式，可解得：

，。

在左侧的斜面上，，外法向方向余弦为

，，

把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：

，。

4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。

解：

物体表面上任意一点的外法向单位矢量为

或

按题意，边界条件为

因此

即

上式的指标形式为

。

4.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。

解：

球面的外法向单位矢量为

或

当时，有边界条件

即或。

当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为

即或。

4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。

（1）证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；

（2）写出物体表面上的面力表达式。

解：

（1）应力场必须满足平衡方程，所以

所以，只要令，就有。

（2）表面上的面力为

或。

4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。

解：

应力张量的三个不变量为：

，，。

特征方程是

上式的三个根即三个主应力为和

4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为

，，

求八面体各个面上的正应力和剪应力。

解：

，

，，

。

4.11某点的应力分量为，，求：

（1）过此点法向为的面上的正应力和剪应力；

（2）主方向、主应力、最大剪应力及其方向。

解：

（1），

。

正应力为。

剪应力为。

由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。

（2）用表示主应力，则

所以，三个主应力是，。

由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。