北师大版八年级数学初二下册平行四边形的特征及同步练习 答案Word文档下载推荐.docx
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3.平行线之间的距离处处相等,实质是平行四边形对边相等.
易错误区分析
1.利用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形易犯如下错误.
例如:
已知如图12-1-1所示,在□ABCD中,AE=CF.
求证:
四边形EBFD是平行四边形
错证:
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=DC,AD=BC
∴在△ABE和△CDF中
AB=DC∠A=∠CAE=CF
∴△ABE≌△CDF(SAS)∴BE=DF∴四边形EBFD为平行四边形
分析:
BE=DF不能得出四边形EBFD是平行四边形,而由BE∥DF,再由已知□ABCD才能得出.
正确证:
连结BD
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD
BC又∴AE=CF∴ED=BF
∴∠1=∠2∴△BED≌△BFD
∴∠3=∠4∴BE∥DF
又∵ED∥BF∴四边形BEDF为平行四边形
2.运用平行四边形的性质和平行线距离处处相等,易犯下面的错误.
求证平行四边形对角线上的交点到一组对边的距离相等.
已知:
如图12-1-2,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥ABOF⊥CD,垂足分别为E,F.
OE=OF
∴OA=OCAB∥CD
∴∠3=∠4∵∠2=∠1∴△OAE≌△OCF∴OE=0F
错在用∠1=∠2,即把∠1与∠2当成对顶角了,因为OE,OF是从O点分别向AB、CD作两条垂线,而OE与OF是否是同一条直线还需证明,故不能直接利用∠1=∠2
正确证明:
∵四边形ABCD为平形四边形
∴OA=OCAB∥CD
∴∠3=∠4∵OE⊥ABOF⊥CD
∴∠AE0=∠CF0=90°
∴△OAE≌△OCF∴OE=OF
典型例题
例1.已知如图12-1-4所示,□ABCD中,AB的延长线上取一点E,使BE=AB,在CE上取一点M使CM=CD,连结DM并延长交AE的延长线于点F.
求证BD=BF
由于BD,BF是△BDF的两边,所以要证BD=BF,可由证△BDF中∠BDF=∠F入手,易知∠F=∠CDM=∠CMD=∠EMF,故只要证BD∥CE,由此由证法一又注意到BF=BE+EF,易知BE=AB=CD=CM,EF=EM,故BF=CE,从而只要证BD=CE,由此有证法二.
证法
(一):
∵四边形ABCD为平行四边形∴AB
CD
又∵E点在AB延长线上,且BE=AB∴AB
∴四边形BECD是平行四形∴BD∥CE∴∠BDF=∠EMF
∵∠EMF=∠CMD∴∠BDF=∠CMD
又∵CM=CD∴∠CMD=∠CDM∴∠BDF=∠CDM
∵AF∥CD∴∠CDM=∠F∴BDF=∠F
即BD=BF
证法
(二):
又∵E点在AB延长线上且BE=AB∴BE
∴四边形BECD是平行四边形∴BD=CE,BE=CD
又∵∠EMF=∠CMD,CD=CM∴∠CMD=∠CDM
∴∠EMF=∠CDM∵BE∥CD∴∠F=∠EMF∴EF=EM
∴BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD
即BF=BD
例2.如图12-1-5所示:
L1∥L2、AB∥CD、CE⊥L2、FG⊥L2、E、G分别为垂足,则下列说法中错误的是()
A.AB=CD
B.CE=FG
C.A,B两点的距离就是线段AB的长
D.L1与L2间的距离就是线段CD的长
根据平行线之间的距离处处相等,推出夹在两平行线之间的平行线段也相等.(由图象的平移也可得到)
答:
选D.
例3.如图12-1-6所示:
已知六边形ABCDEF的6个内角均为120°
,CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm,试求此六边形的周长.
分别求出六条边的长度,再求六边形的周长显然不可能,从图中可以发现AF分别绕A点,F点旋转60°
后分别与BA,EF在同一直线上.同理DC分别绕D,C旋转60°
后,分别与ED,BC在同一直线上,如图所示,得到一个平行四边形EMBN,△MFA与△DCN都为等边三角形,所以六边形的周长应等于平行四边形的周长减去AF+DC.
解:
由已知可得∠M=∠N=60°
,又∠B=∠E=120°
所以EN∥MB,EM∥NB,所以四边形MBNE为平行四边形
又因为△AMF,△CDN为等边三角形
所以MA=AF=MF=5cm,CD=CN=DN=2cm
MB=EN=8+5=13cm,ME=BN=8+2=10cm
故ED=13-2=11cm,EF=ME-MF=10-5=5cm
得六边形的周长为8+8+2+11+5+5=39cm
例4.把边长为3cm,5cm和7cm的两个三角形拼成一个四边形,一共能拼成几种不同的四边形?
其中有几种是平形四边形?
由于要拼成四边形,故两个三角形一定有两条边重合在一起,这条重合的边即为四边形的对角线.因此找出问题的突破口,分三种情况讨论不难得出正确的答案.
(1)以3cm长的边为对角线,有两种拼法,得到两个四边形中有一个是平行四边形.
如图所示:
(2)以7cm长的边为对角线,也有两种拼法,得到两个四边形,其中有一个平行四边形.如图所示:
(3)以5cm长的边为对角线,也有两种拼法,得到两个四边形,其中也有一个是平行四边形,如图所示:
总共拼成6种不同的四边形,其中有3种是平行四边形.
创新思维
例1.一块平行四边形菜地,若它的面积是144,测得相邻两边上的高分别为8和9,请你用平行四边行形的特征和有关的知识计算出它的周长.
如图12-1-7所示:
要求周长必须求出BC,CD的长.从面积入手得.BC·
AE=144CD·
AF=144因而可求出周长.
因为BC·
AE=144,AE=8,所以BC=18
因为DC·
AF=144,AF=9,所以DC=16
所以平行四边形菜地的周长=2(BC+DC)=2(18+16)=68
例2.如图12-1-8,△ABC中AB=AC,点P在BC上任一点,PE∥AC,PF∥AB分别交AB,AC于E、F,试问线段PE,PF,AB之间有什么关系?
试证明你的结论.
对于由给定条件寻求结论的这类探索性问题,其解题思路一般是从给的条件出发探索、归纳、猜想出结论,然后对猜想的结论进行证明.
由线段PE,PF,AB之线段长度,不难得出三线段之间的关系为PE+PF=AB
证明:
∵PE∥AC∴∠EPB=∠C
又∵AB=AC∴∠B=∠C
∴∠EPB=∠B∴PE=EB①
∵PE∥ACPF∥AB∴四边形AEPF是平行四边形∴PF=AE②
由①+②得PE+PF=EB+AE,即PE+PF=AB
例3.如右图:
田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树,田村准备开挖池塘养鱼,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘为平行四边形,请问田村能否实现这一设想,若能,请你画出图形,若不能,请说明理由.(画图要留下痕迹,不写作法)
由平行四边形的特征可知,四棵树应在平行四边形的边上,面积要扩大一倍,则把△BOA、△BOC、△COD、△AOD的面积扩一倍即可,分别过点B,点D作AC的平行线;
过点A,点C分别BD的平行线,不难证明四边形A′B′C′D′就是符合条件的平行四边形的池塘.
能,画法如图.
中考练兵
1.已知如图12-1-9,平行四边形ABCD中E,F分别是BC,AD边上的点,且BE=DF,AC与EF交于点O.
OE=OF
∵四边形ABCD是平行四边形
BC∴∠1=∠2
∵BE=DF∴BC-BE=AD-DF即EC=AF
在△AOF和△COE中
∴△AOF≌△COE(AAS)∴OF=OE
2.如图12-1-10,□ABCD中,对角线AC和BD交于O,若AC=8,BD=6,则AB长的取什范围是()
A.1<AB<7B.2<AB<4
C.6<AB<8D.3<AB<4
由平行四边形的性质对角线互相平分得OA=4OB=3,由三角形三边关系得
OA-OB<AB<OA+OB即1<AB<7
故选A
3.如图12-1-12,将□ABCD沿AC折叠点B落在B′处,AB′交DC于点M,求证:
折叠后重合的部分(即△MAC)是等腰三角形.
∵△BAC≌B′AC∴AB′=AB,B′C=BC
又∵AD=BCCD=AB∴AD=B′CCD=AB′
∴△ADC≌△CB′A(SSS)∴∠ACD=∠CAB′
∴MA=MC即△MAC是等腰三角形
4.如图12-1-13,E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点,且AE=CF,求证:
△ABF≌△CDE
∴AB∥CD,∠CAB=∠DCA
∵AE二CF∴AE+EF=CF+EF即AF=CE
∴△ABF≌△CDE
随堂演练
一、判断题
1.平行四边形的对边分别相等()
2.平行四边形的对角线相等()
3.平行四边形的邻角互补()
4.平行四边形的对角相等()
5.平行四边形的对角线互相平分一组对角()
6.对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等()
二、选择题
1.已知□ABCD中:
AB=4cm,BC=7cm,则周长为()
A.11cmB.22cmC.28cmD.44cm
2.在□ABCD中,∠A比∠B大20°
,则∠C的度数为()
A.60°
B.80°
C.100°
D.120°
3.在□ABCD中,∠A:
∠B:
∠C:
∠D的值可以是()
A.1:
2:
3:
4B.3:
4:
3
C.3:
4D.3:
4
4.平行四边形两条对角线分成全等的三角形()
A.2对B.4对
C.6对D.8对
5.如图12-1-14中,□ABCD的内角∠BAD的平分线AE交BC于E,且AE=BE,则∠BCD的度数是()
B.30°
C.120°
D.60°
或120°
6.如图12-1-15,以A、B、C三点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形一共可以作()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
三、填空题
1.□ABCD中AB:
BC=4:
3,周长为28cm,则AD=cm,CD=cm.
2.□ABCD中∠A+∠C=140°
,则∠C=度,∠B=度.
3.□ABCD中周长为6Ocm,对角线相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长多8cm,则AB=cm,BC=cm.
4.□ABCD中BD是对角线,且BC=BD,∠CBD=70°
,则∠ADC=度.
四、解答题
1.已知平行四边形中相邻两边长度比是5:
3,其中较小边的长是6cm,求这个平行四边形的周长.
2.如图12-1-16所示,在□ABCD中,AD=2DC,M为BC边的中点,连结AM、DM,试问直线AM与DM有何位置关系?
说明你的理由?
3.如图12-1-17,AD∥BC,AD=8,BC=13,AB=6,CD=5,∠B=53°
.求∠D的度数.
五、证明题
1.已知:
如图12-1-18,在□ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)AE=CF
(2)AE∥CF
2.已知:
如图12-1-19,四边形ABCD为平行四边形,E、F是直线BD延长线上的两点,且DE=BF,求证AE=CF
参考答案
1.√2.×
点拨:
对角线不一定相等,但互相平分
3.√4.√
5.×
对角线不平分一组对角,只是自己互相平分6.√
1.B点拨:
周长=2(AB+BC)=2×
11=22cm
2.C点拨:
由∠A与∠B互补,∠A比∠B大20°
,可求出∠A,而∠A与∠C为对角,可得∠C的度数.
3.D点拨:
由平行四边形的性质可得∠A=∠C,∠B=∠D,满足这关系的只有D.
4.B点拨:
对角线与平行四边形的两条邻边构成2对三角形全等,两条对角线的一半与平行四边形的一边组成2对三角形全等.
5.C点拨:
AE平分∠BAD,则∠BAE=∠EAD,AE=BE,则∠B=∠BAE,因为AD∥BC,则∠AEB=∠EAD,即∠B=∠BEA=∠BAE=60°
,所以∠BCD=120°
6.C点拨:
将某一条边为对边,另外两条边为邻边,共有3种画法.
1.6;
8点拨:
由AB+BC=14cm,AB:
BC=4:
3得AB=8cm,BC=6cm,因为AB=CD,BC=AD,即AD=6cm,CD=8cm
2.70°
;
110°
点拨:
∠A=∠C所以∠C=70°
,∠B=180°
-70°
=110°
3.19;
11点拨:
△AOB为周长比△BOC的周长多8cm,即AB比BC多8cm,又因为AB+BC=
cm,就可求出AB和BC.
4.125
1.解:
如图
(1)所示
∵AB=6cm,AD:
AB=5:
∴AD=10cm∴平行四边形的周长为32cm
2.答:
互相垂直
由已知得AB=BM,故∠BMA=△BAM
又AD∥BC,故∠BAM=∠MAD,同样的道理∠CDM=∠MDA
又AB∥CD,故∠BAD+∠CDA=18O°
,即2∠DAM+2∠ADM=180°
即∠DAM+∠ADM=90°
,∠AMD=90°
,AM⊥DM
3.解:
如图
(2)所示,过A作AE∥DC交BC于E.
∵AD∥BC,AE∥DC
∴四边形AECD为平行四边形∴EC=AD=8
∴BE=BC-EC=13-8=5,EA=CD=5
∴∠BAE=∠B=53°
∴∠AEC=∠B+∠BAE=106°
∴∠D=∠AEC=106°
1.证明:
∴AB
DC∴∠ABE=∠CDF
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)∴AE=CF∴∠AEB=∠CFD
∴∠AED=∠BFC(等角的补角相等)∴AE∥CF
2.证明:
如图(3)所示
∴AD∥BC,AD=BC∴∠1=∠2
∵BD是直线∴∠1+∠3=180°
,∠2+∠4=180°
∴∠3=∠4
∴△ADE≌△CBF∴AE=CF