小学数学解题思路大全式题的巧解妙算Word文档格式.docx
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十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。
原式＝（17＋9）×
10＋7×
9＝323
（10＋a）（10＋b） ＝100＋10a＋10b＋ab ＝[（10＋a）＋b]×
10＋ab。
（5）63×
69
十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以10，加個位數的積。
原式＝（63＋9）×
6×
10＋3×
9 ＝72×
60＋27＝4347。
（10a＋c）（10a＋d） ＝100aa＋10ac＋10ad＋cd ＝10a[（10a＋c）＋d]＋cd。
（6）83×
87
十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數，後兩位是個位數的積。
（10a＋c）（10a＋d） =100aa＋10a（c＋d）＋cd ＝100a（a＋1）＋cd（c＋d＝10）。
（7）38×
22
十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。
原式＝（30＋8）×
（30－8） ＝302－82＝836。
（8）88×
37
被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，後兩位是個位數的積。
（9）36×
15
乘數是15的兩位數相乘。
被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；
是奇數時，積為被乘數加上它本身減去1後的一半，和的後面添個5。
＝54×
10＝540。
55×
（10）125×
101
三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的後兩位數。
125＋1＝126。
原式＝12625。
再如348×
101，因為348＋3＝351，
原式＝35148。
（11）84×
49
一個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。
原式＝8400÷
2－84 ＝4200－84＝4116。
（12）85×
99
兩位數乘以9、99、999、…。
在被乘數的後面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。
原式＝8500－85＝8415
不難看出這類題的積：
最高位上的兩位數（或一位數），是被乘數與1的差；
最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；
中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。
設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a（a≠0），則
如果被乘數的個位數是1，例如
31×
999
在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。
71×
9999＝709999－70＝709929。
這是因為任何一個末位為1的兩位自然數都可表示為（10a＋1）的形式，由9組成的自然數可表示為（10n－1）的形式，其積為
（10a＋1）（10n－1）＝10n＋1a＋（10n－1）－10a。
（13）1÷
這是一道頗為繁複的計算題。
原式＝0.0526321。
根據「如果被除數不變，除數擴大（或縮小）若干倍，商反而縮小（或擴大）相同倍」和「商不變」性質，可很方便算出結果。
原式轉化為0.1÷
1.9，把1.9看作2，計算程式：
（1）先用0.1÷
2＝0.05。
（2）把商向右移動一位，寫到被除數裏，繼續除
如此除到循環為止。
仔細分析這個算式：
加號前面的0.05是0.1÷
2的商，後面的0.05×
0.1÷
1.9中0.05×
0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數裏，除以1.9。
這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。
除數末位是9，都可用此法計算。
例如1÷
29，用0.1÷
3計算。
1÷
399，用0.1÷
40計算。
2.估算
數學素養與能力（含估算能力）的強弱，直接影響到人們的生活節奏和工作、學習、科研效率。
已經引起世界有關專家、學者的重視，是個亟待研究的課題。
美國數學督導委員會，提出的12種面向全體學生的基本數學能力中，第6種能力即估算：
「學生應會通過心算或使用各種估算技巧快速進行近似計算。
當解題或購物中需要計算時，估算可以用於考查合理性。
檢驗預測或作出決定……」
（1）最高位估算
只計算式中幾個運算數字的最高位的結果，估算整個算式的值大概在什麼範圍。
例1
1137＋5044－3169
最高位之和1＋5－3＝3，結果在3000左右。
如果因為忽視小數點而算成560，依據「一個不等於零的數乘以真分數，積必小於被乘數」估算，錯誤立即暴露。
例3
51.9×
1.51
整體思考。
因為
51.9≈50， 而50×
1.51≈50×
1.5＝75， 又51.9＞50，1.51＞1.5，
所以51.9×
1.51＞75。
另外9×
1＝9， 所以原式結果大致是75多一點，三位小數的末位數字是9。
例4
3279÷
79
把3279和79，看作3200和80。
準確商接近40，若相差較大，則是錯的。
（2）最低位估算
例如，6403＋232＋1578
3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
（3）規律估算
和大於每一個加數；
兩個真分數（或純小數）的和小於2；
一個真分數與一個帶分數（或一個純小數與一個帶小數）的和大於這個帶分數（或帶小數），且小於這個帶分數（或帶小數）的整數部分與2的和；
兩個帶分數（或帶小數）的和總是大於兩個帶分數（或帶小數）整數部分的和，且小於這兩個整數部分的和加上2；
奇數±
奇數＝偶數，偶數±
偶數＝偶數，奇數±
偶數＝奇數；
差總是小於被減數；
整數與帶分數（或帶小數）的差小於整數與帶分數（或帶小數）的整數部分的差；
帶分數（或帶小數），與整數的差大於帶分數（或帶小數）的整數部分與整數的差。
帶分數（或帶小數）與真分數（或純小數）的差小於這個帶分數（或帶小數），且大於帶分數（或帶小數）減去1的差；
帶分數與帶分數（或帶小數與帶小數）的差小於被減數與減數的整數部分的差，且大於這個差減去1；
如果兩個因數都小於1，則積小於任意一個因數；
若兩個因數都大於1，則積大於任意一個因數；
帶分數與帶分數（或帶小數與帶小數）的積大於兩個因數的整數部分的積，且小於這兩個整數部分分別加1後相乘的積；
例如，
A＜AB＜B。
奇數×
偶數＝偶數，偶數×
偶數＝偶數；
若除數＜1，則商＞被除數；
若除數＞1，則商＜被除數；
若被除數＞除數，則商＞1；
若被除數＜除數，則商＜1。
（4）位數估算
整數減去小數，差的小數位數等於減數的小數位數；
例如，320－0.68，差為兩位小數。
最高位的乘積滿十的兩個整數相乘的積的位數，等於這兩個數的位數和；
例如，451×
7103
最高位的積4×
7＝28，滿10，結果是3＋4＝7（位數）。
在整除的情況下，被除數的前幾位不夠除，商的位數等於被除數的位數減去除數的位數；
例如，147342÷
27
14不夠27除，商是4－2＝2（位數）。
被除數的前幾位夠除，商的位數等於被除數的位數與除數位數的差加上1。
例如，30226÷
238
302夠238除，商是5－3＋1＝3（位數）。
（5）取整估算
把接近整數或整十、整百、……的數，看作整數，或整十、整百…的數估算。
如1.98＋0.97≈2＋1，和定小於3。
12×
8.5≈10×
10，積接近100。
3.並項式
應用交換律、結合律，把能湊整的數先並起來或去括號。
3.34＋12.96＋6.66
＝12.96＋（3.34＋6.66）
＝12.96＋10＝22.96 ＝3－3＝0
15.74－（8.52＋3.74） ＝15.74－3.74－8.52 ＝12－8.52＝3.48
1600÷
（400÷
7） ＝1600÷
400×
7 ＝4×
7 ＝28
4.提取式
根據乘法分配律，可逆聯想。
＝（3.25＋6.75）×
0.4＝10×
0.4 ＝4
5.合乘式
＝87.5×
10×
1＝875
＝8－7＝1
6.擴縮式
例11.6×
16＋0.4×
36
＝0.4×
（64＋36） ＝0.4×
100＝40
例216×
45
7.分解式
例如，14×
72＋42×
76 ＝14×
3×
24＋42×
76 ＝42×
（24＋76） ＝42×
100＝4200
8.約分式
＝3×
7×
2＝42
例2169÷
4÷
28÷
13
=1988
例71988198********8÷
198********91989被除數與除數，分別除
9.拆分式
10.拆積式
例如，32×
1.25×
25 ＝8×
（4×
25） ＝10×
100＝1000
11.換和式
例10.1257×
8 ＝（0.125＋0.0007）×
8 ＝1＋0.0056＝1.0056
例48.37－5.68 ＝（8.37＋0.32）－（5.68＋0.32） ＝8.69－6＝2.69
12.換差式
13.換乘式
例1123＋234＋345＋456＋567＋678 ＝（123＋678）×
3 ＝801×
3＝2403
例2（6.72＋6.72＋6.72＋6.72）×
25 ＝6.72×
25）＝672
例345000÷
8÷
125 ＝45000÷
（8×
125） ＝45000÷
1000＝45
例49.728÷
3.2÷
25 ＝9.728÷
（0.8×
4×
25） ＝9.728÷
80
＝0.9728÷
8＝0.1216
例533333×
33333 ＝11111×
99999 ＝11111×
（100000－1）
＝1111100000－11111 ＝1111088889
綜合應用，例如
＝1000＋7＝1007
＝（11.75＋1.25－4.15－0.85）×
125.25（轉） ＝[（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）]×
125.25（合）
＝8×
125.25 ＝8×
（125＋0.25）（拆） ＝8×
125＋8×
0.25＝1002
14.換除式
例如，5600÷
（25×
7） ＝5600÷
7÷
25 ＝800÷
25＝32
15.直接除
17.以乘代加
例17＋4＋5＋2＋3＋6 ＝9×
3＝27
如果兩個分數的分子相同，且等於分母之和（或差），那麽這兩個分數的和（或差）等於它們的積。
18.以乘代減
知，兩個分數的分子都是1，分母是連續自然數，其差等於其積。
可見，各分數的分子都是1。
第一個減數的分母等於被減數的分母加1。
第二個減數的分母等於被減數的分母與第一個減數的分母的積加1，第n個減數的分母等於被減數的分母與第一、二、……第n-1個減數的分母的連乘積加上1。
（n爲不小於2的自然數）其差等於其積
19.以加代乘
一個整數與一個整數部分和分子都是1，分母比整數（另個乘數）小1
20.以除代乘
例如，25×
123678448 ＝123678448×
（100÷
4） ＝12367844800÷
4
＝3091961200
21.以減代除
＝1986－662＝1324
3510÷
15
＝（3510－1170）÷
10＝234
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