高中数学第一章立体几何初步62垂直关系的性质学案北师大版必修2整理Word格式.docx
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图形语言
知识点二 平面与平面垂直的性质
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
如果两个平面互相垂直，那么在______________垂直于它们________的直线________于另一个平面
α⊥β，α∩β＝l，________，________⇒a⊥β
类型一 线面垂直的性质及应用
例1 如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC,A1D都垂直相交．求证:
EF∥BD1。
反思与感悟 证明线线平行的常用方法
（1）利用线线平行定义：
证共面且无公共点．
（2）利用三线平行公理：
证两线同时平行于第三条直线．
（3）利用线面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证线面平行．
（4）利用线面垂直的性质定理:
把证线线平行转化为证线面垂直。
（5）利用面面平行的性质定理：
把证线线平行转化为证面面平行．
跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，aα,a⊥AB.求证:
a∥l.
类型二 面面垂直的性质及应用
例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证:
BC⊥AB。
反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
（1）两个平面垂直；
（2）直线必须在其中一个平面内;
（3）直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°
且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB.
类型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD。
E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD;
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
反思与感悟
（1）证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理．
（2）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
①两个平面垂直；
②直线必须在其中一个平面内；
③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC，DC⊥BC。
求证：
平面ABD⊥平面ACD.
例4 已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°
，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°
E,F分别是AC，AD上的动点，且
＝
＝λ（0＜λ＜1）．
（1）求证:
不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
反思与感悟 解决开放性问题一般先从结论入手,分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．
跟踪训练4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．
（1）求证：
AE⊥DA1；
（2）在线段AA1上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？
并说明理由．
1．在空间中,下列命题正确的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则（ ）
A．a⊥βB．a∥β
C．a与β相交D．以上都有可能
3．已知直线l⊥平面α，直线m平面β。
有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β;
④l⊥m⇒α∥β。
其中正确的两个命题是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
4．如图,在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°
，PA＝1，AB＝2,则PB＝________.
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD,求证:
平面SCD⊥平面SBC。
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直"
与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
答案精析
问题导学
知识点一
思考 平行．
梳理 平行
知识点二
思考 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理 一个平面内 交线 垂直 aα
a⊥l
题型探究
例1 证明 如图，连接AB1,B1C，BD，B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理,BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C。
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C。
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1。
跟踪训练1 证明 ∵PA⊥α，lα,
∴PA⊥l.
同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α,aα，∴PA⊥a。
∵a⊥AB，PA∩AB＝A,
∴a⊥平面PAB.∴a∥l。
例2 证明 如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC。
又BC平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC，
∴PA⊥BC,又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB。
又AB平面PAB，
∴BC⊥AB。
跟踪训练2 证明
（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°
，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD。
∴BG⊥平面PAD.
（2）由
（1）可知BG⊥AD,由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG,
∴AD⊥PB。
例3 证明
（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.
又AD平面PAD，BE
平面PAD,
∴BE∥平面PAD。
（3）在平行四边形ABED中，由AB⊥AD，可得ABED为矩形，故有BE⊥CD.①
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD。
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD,
∴CD⊥EF.②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF。
由于CD平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD。
跟踪训练3 证明 ∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内,作AE⊥BC于点E,
如图，则AE⊥平面BCD.
又CD平面BCD，
∴AE⊥CD.又BC⊥CD,
AE∩BC＝E，
AE，BC平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，
又AB平面ABC，∴AB⊥CD。
又AB⊥AC,AC∩CD＝C，
AC、CD平面ACD.
∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD。
例4
（1）证明 ∵∠BCD＝90°
∴BC⊥CD.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD。
又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵
，∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC。
又∵EF平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC。
故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
（2）解 由
（1），得EF⊥平面ABC,BE平面ABC,
∴EF⊥BE.
要使平面BEF⊥平面ACD,只需BE⊥AC.
∵∠BCD＝90°
，BC＝CD＝1，∴BD＝
.
又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°
∴AB＝
，AC＝
∴BE＝
，∴AE＝
∴λ＝
。
故当λ＝
时，平面BEF⊥平面ACD。
跟踪训练4
（1）证明 连接AD1，BC1，
由正方体的性质可知，DA1⊥AD1,DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1。
又AE平面ABC1D1,
∴DA1⊥AE。
（2）解 如图所示A1点即为G点,证明如下:
连接A1F由
（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH,由DF⊥AH,DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，
∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.
又DF∩A1D＝D，
∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG。
当堂训练
1．D 2。
D 3.C 4.
5．证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD。
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD。
又因为BC平面SBC，
所以平面SCD⊥平面SBC.
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