自习教室开放的优化管理.docx

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自习教室开放的优化管理

摘要

本文重点讨论了关于大学晚自习教室如何开放的优化问题。

全文主要运用了0-1整数规划、双目标规划等针对每个问题建立相关的数学模型，并运用Lingo对其进行求解。

问题一，只需达到节约用电的目的我们运用0-1整数规划模型，建立了以用电总功率最小的目标函数：

利用Lingo软件求解每小时用电总功率为74669W的最优教室开放方案:

开放教室35个教室，分别是3、4、5、6、7、8、9、10、12、13、14、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、34、35、36、37、38、39、40、43。

针对问题二，首先我们对宿舍区到自习区的距离进行了数据的归一化处理，接着，建立了距离满意度与总耗电量的双目标0-1规划模型。

并引入权重系数将其转化为单目标函数进行求解。

求得每小时用电总功率为75581W，需要关闭的教室依次为教室1,7，15，41，42，43，44，45。

针对第三问,通过计算我们得到了在满足题设条件下45间教室全部使用后还需要上自习的人数，在不考虑教室座位限制的情况下，我们以学生的满意程度最大为目标建立目标函数:

然后针对每个区建立相应的约束条件，用Lingo求解出各区需要的座位数，在使满意度尽可能地大的情况下，考虑到省电的原则我们选择在区建一个和23号教室规格相同的教室、在区建一个和32号教室规格相同的教室或者在区建一个和24号教室规格相同的教室、在区建一个和31号教室规格相同的教室。

关键词：

0-1整数规划满意函数Lingo

问题重述

近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法，相关数据见题目。

管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：

00---10：

00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。

根据某学校收集的教师相关数据（见附表1）完成以下问题：

1、假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。

问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.

2、假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第一区，…41,42,43,44,45为第9区。

这10个宿舍区到9个自习区的距离见附表2。

学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。

假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。

请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

另外尽量安排开放同区的教室。

3、假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。

这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。

假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。

搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。

问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。

模型假设

假设被开放的教室灯管全部打开

全校学生是否上自习是相互独立的，且上自习的可能性是相同的

每个教室的配套设施都是同等水平，影响学生对教室的满意度只与宿舍到

教室的远近相关，距离近则满意度高，距离远则满意度降低

问题一中同学们的满足程度与教室的选择以及宿舍至教室的距离无关

每个教室晚自习开放时间相同，并把每晚的开放时间看成是单位时间，并以单位时间的总功率为衡量尺度

假设搭建的教室与该区某教室的规格相同，学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离相同

符号说明

表示第i个教室的开放与否（0表示不开放，1表示开放）

R表示学校学生总人数

Z表示上自习的总人数

pi表示第i个教室灯管的用电总功率

p表示所有开放教室的用电总功率

N表示所有教室提供的座位总数

zi表示在第i个教室上自习的人数

表示宿舍区Am到自习区Bn归一化后的距离（m=1.2…10,n=1.2…9）

表示宿舍区Am到自习区Bn的实际距离

D表示宿舍区Am的学生对自习区Bn的满意程度

表示宿舍区Am的学生到自习区Bn的学生数量

表示第i个教室所在的自习区

四、问题分析

根据对题目的理解，我们知道问题的求解是在满足每题要求的情况下，设计出教室开放的最优方案，从而达到节约用电以及提高同学们满意度的目的。

以下是我们针对每一个问题所进行的分析。

4.1问题一的分析：

问题一的目标很明确，即以用电总功率最小为目标，通过控制教室的开放与否设计出一个最优方案。

因此我们想到引入0-1变量，运用0-1整数规划模型建立目标函数，再以题目中所给满座率要求得出约束条件，最后用Lingo编程求解出教室管理的最优方案。

4.2问题二的分析：

要使此问题得到较优解，我们首先应该考虑到两个方面，对于学校来讲，是达到节约用电的目的，就是说使用电功率总和最小；而对于学生来讲，应该尽可能的提高学生的满意度，即选择距离较近的自习区。

构造一个距离满意度函数，用距离作为该函数的因变量，然后我们对距离进行数据归一化处理，将归一化的数据带入函数中运用lingo求解。

4.3问题三的分析：

通过计算我们知道即使所有教室全部开放，也无法满足需求，因此我们要考虑的问题是在哪个区新建教室才能够既使满意度尽可能高又同时达到省电的目的，在不考虑教室座位限制的情况下，我们以学生的满意程度最大为目标建立目标函数，然后针对每个区建立相应的约束条件，求解出各区需要的座位数，在使满意度尽可能地大的情况下，考虑到省电的原则做适当调整，选择出较优方案。

五、模型建立与求解

5.1模型一的建立与求解：

模型的建立：

通过分析题目，知道每个学生是否上自习是相互独立的，且可能性是0.7，并已知学校总人数为8000人。

因此根据其分布律知上自习人数服从二项分布即

～B（8000,0.7）

当N足够大时，由中心极限定理知：

～N（0,1）

其中，。

上式表明，当R充分大时，可以利用正态分布对做理论和实际计算。

则概率密度函数为：

根据概率密度的分位点解得：

＝５５２０，＝５６８０

即每天需要上自习的人数范围为［５５２０,５６８０］

目标函数的确立：

通过问题一的分析，首先引入0-1变量

以用电量最小为目标建立目标函数：

约束条件：

由于每个同学是否上自习相互独立，且上自习的可能性为0.7，所以上自习的人数服从二项分布

考虑到使需要上自习的同学满足程度不低于95%，即

因为题中指出开放的教室满座率不低于4/5，且不超过90﹪，所以我们以此建立约束条件：

综上，我们得出0-1整数规划模型的标准形式如下：

模型求解：

由Lingo软件编程求解得方案：

开放35个教室，分别是3、4、5、6、7、8、9、10、12、13、14、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、34、35、36、37、38、39、40、43。

该方案的最小总的单位时间耗电功率P=74669W

教室管理的最优方案如下：

教室

开与否

教室

开与否

教室

开与否

教室

开与否

教室

开与否

　√

（注：

×表示的是该教室不开放，√表示该教室开放）

开放教室总的座位数为5937，在保持每个教室的满座率不高于90%的情况下可用的座位数为5338，而满座率为80%时的座位数为4750，而自习人数在需要上自习学生中95%满足的情况下波动范围为[5244,5396]，在自习人数为5396时需要多坐5396-5338=58个座位可以用两三个教室的空座位来满足，满足尽量使满座率不高于90%的条件。

因此这样的教室安排可以满足题设的自习要求。

5.2模型二的建立与求解：

5.2.1对每个宿舍区到自习区的距离进行数据的归一化处理

我们对宿舍区到自习区的距离的数据进行归一化，附录2给出了各个宿舍区到各个自习区的距离，我们对表中的数据用以下的数据归一化公式进行归一化处理，即得到学生的满意度公式如下：

0.872123

0.097187

0.808184

0.70844

0.335038

0.721228

0.531969

0.946292

0.002558

0.41688

0.580563

0.485934

0.670077

0.570332

0.782609

0.419437

0.235294

0.470588

0.358056

0.797954

0.624041

0.212276

0.317136

0.542199

0.432225

0.199488

0.951407

0.396419

0.961637

0.588235

0.700767

0.117647

0.997442

0.227621

0.02046

0.204604

0.565217

0.503836

0.792839

0.355499

0.685422

0.030691

0.268542

0.590793

0.250639

0.73913

0.56266

0.058824

0.314578

0.795396

0.153453

0.368286

0.87468

0.800512

0.391304

0.368286

0.634271

0.424552

0.549872

0.966752

0.984655

0.693095

0.618926

0.314578

0.918159

0.976982

0.386189

0.391304

0.997442

0.994885

0.818414

0.411765

0.953964

0.636829

0.365729

0.278772

0.304348

0.925831

A10

0.547315

0.560102

0.652174

0.856777

0.322251

0.296675

0.268542

0.524297

0.445013

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